Теорема Брюна

Сходимость к постоянной Бруна.

В чисел теории теорема Брюна утверждает, что сумма обратных чисел - близнецов (пар простых чисел , которые отличаются на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Брюна , обычно обозначаемая B ₂ (последовательность A065421 в OEIS ). Теорема Брюна была доказана в Вигго Брюном 1919 году и имеет историческое значение для внедрения ситовых методов .

Асимптотические оценки простых чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных простых чисел-близнецов следует из оценок плотности последовательности простых чисел-близнецов. Позволять $\pi _{2}(x)$ обозначают количество простых чисел p ≤ x, для которых p + 2 также является простым (т.е. $\pi _{2}(x)$ — количество простых чисел-близнецов с наименьшим не более x ). Тогда у нас есть

$\pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.$

То есть простые числа-близнецы встречаются реже, чем простые числа, почти в логарифмическом коэффициенте. Эта оценка дает интуитивное представление о том, что сумма обратных чисел-близнецов сходится, или, другими словами, простые числа-близнецы образуют небольшой набор . В явном виде сумма

$\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится: его значение известно как константа Бруна.

Если бы сумма расходилась, это означало бы, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Поскольку вместо этого сходится сумма обратных чисел-близнецов, из этого результата невозможно сделать вывод о том, что существует конечное или бесконечное число простых чисел-близнецов. Константа Брюна может быть иррациональным числом только в том случае, если существует бесконечно много простых чисел-близнецов.

Численные оценки

Ряд сходится крайне медленно. Томас Найсли отмечает, что после суммирования первого миллиарда (10 ⁹ ) относительной ошибки по-прежнему составляет более 5%.

Вычисление простых чисел-близнецов до 10 ¹⁴ (и обнаружив ошибку Pentium FDIV ), Найсли эвристически оценил константу Бруна как 1,902160578. попутно Найсли расширил свои вычисления до 1,6 × 10. ¹⁵ по состоянию на 18 января 2010 г., но это не самое крупное вычисление такого типа.

В 2002 году Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все простые числа-близнецы до 10. ¹⁶ дать оценку что B ₂ ≈ 1,902160583104. Следовательно,

Год	BБ2	набор близнецов простые числа ниже #	к
1976	1.902160540	1 × 10 11	Брент
1996	1.902160578	1 × 10 14	Красиво
2002	1.902160583104	1 × 10 16	Себах и Демишель

Последнее основано на экстраполяции суммы 1,830484424658... для простых чисел-близнецов ниже 10. ¹⁶ . Доминик Клайв условно (в неопубликованной диссертации) показал, что B ₂ < 2,1754 (в предположении расширенной гипотезы Римана ). Безоговорочно показано, что B ₂ < 2,347.

Существует также константа Бруна для простых четверок . Простая четверка — это пара из двух пар простых чисел-близнецов, разделенных расстоянием 4 (наименьшим возможным расстоянием). Первые простые четверки — это (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для простых четверок, обозначаемая B ₄ , представляет собой сумму обратных величин всех простых четверок:

$B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots$

со значением:

B ₄ = 0,87058 · 83800 ± 0,00000 · 00005, диапазон ошибок имеет уровень достоверности 99% согласно Nicely.

Эту константу не следует путать с константой Бруна для двоюродных простых чисел пар простых чисел формы ( p , p +4), которая также записывается как B4 _{, как} . Вольф получил оценку сумм типа Бруна Bn _, равных 4/ n .

Дальнейшие результаты

Позволять $C_{2}=0.6601\ldots$ (последовательность A005597 в OEIS ) — константа простого числа-близнеца . Тогда предполагается , что

$\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.$

В частности,

$\pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}$

для каждого $\varepsilon >0$ и все достаточно большие x .

Доказаны многие частные случаи изложенного. Совсем недавно Цзе Ву доказал, что для достаточно x больших

$\pi _{2}(x)<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}$

где 4,5 соответствует $\varepsilon \approx 3.18$ в приведенном выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в предложении на сумму 1 902 160 540 долларов на патентном аукционе Nortel . Ставка была опубликована Google и была одной из трех ставок Google, основанных на математических константах . Более того, академические исследования константы в конечном итоге привели к тому, что ошибка Pentium FDIV стала заметным пиар- фиаско для Intel .

См. также

• Расхождение суммы обратных простых чисел
• Константа Мейселя-Мертенса

Ссылки

• Брун, Вигго (1915). «О законе Гольдбаха и числе пар простых чисел». Архив математики и естествознания . Б34 (8).
• Браун, Вигго (1919). "Серия 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61 +..., где знаменатели — простые числа-близнецы, сходится или конечен» . Бюллетень математических наук (на французском языке). 43 : 100–104, 124–128.
• Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета . стр. 73–74. ISBN  0-521-61275-6 .
• Ландау, Э. (1927). Элементарная теория чисел . Лейпциг, Германия: Хирцель. Перепечатано Провиденс, Род-Айленд: Амер. Матем., 1990.
• Левек, Уильям Джадсон (1996). Основы теории чисел Нью-Йорк: Издательство Dover Publishing. стр. 100-1 1–288. ISBN  0-486-68906-9 . Содержит более современное доказательство.
• Ву, Дж. (2004) [24 сентября 2007 г.]. «Двойное решето Чена, гипотеза Гольдбаха и проблема простых чисел-близнецов». Акта Арифметика . 114 (3): 215–273. arXiv : 0705.1652 . Бибкод : 2004AcAri.114..215W . дои : 10.4064/aa114-3-2 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Брюна» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Брюна» . Математический мир .
• Постоянная Бруна в PlanetMath .
• Себах, Паскаль и Ксавье Гурдон, Введение в простые числа-близнецы и вычисление констант Брюна , 2002. Современное подробное исследование.
• Статья Вольфа о суммах типа Брюна.