Универсальная параболическая константа

Универсальная параболическая константа — это длина красного цвета, разделенная на длину зеленого цвета.

Универсальная параболическая константа является математической константой .

Он определяется как отношение для любой параболы параболического длины дуги сегмента, образованного широкой прямой кишкой, к фокальному параметру. Фокусный параметр в два раза больше фокусного расстояния . Отношение P. обозначается На схеме широкая прямая кишка изображена синим цветом, образуемый ею параболический сегмент - красным, а фокальный параметр - зеленым. ( Фокус параболы — точка F , а директриса — прямая L. )

Значение P ​

$P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots$

(последовательность A103710 в OEIS ). Окружность . и парабола уникальны среди конических сечений тем, что имеют универсальную константу Аналогичные отношения для эллипсов и гипербол зависят от их эксцентриситетов . Это означает, что все круги подобны и все параболы подобны, а эллипсы и гиперболы — нет.

Вывод

Брать ${\textstyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$как уравнение параболы. Фокальный параметр $p=2f$ и полуширокая прямая кишка $\ell =2f$.

$${\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2ft)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$$

Свойства

P — трансцендентное число .

Доказательство . Предположим, P алгебраична что . Затем $\!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})$также должно быть алгебраическим. Однако по теореме Линдеманна– Вейерштрасса $\!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}$было бы трансцендентальным, но это не так. Следовательно, P трансцендентно.

Поскольку P трансцендентно, оно также иррационально .

Приложения

Среднее расстояние от случайно выбранной точки единичного квадрата до его центра равно

$d_{\text{avg}}={P \over 6}.$

Доказательство .

${\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}\end{aligned}}$

Существует также интересная геометрическая причина, по которой эта константа появляется в единичных квадратах. Среднее расстояние между центром единичного квадрата и точкой на границе квадрата равно ${P \over 4}$. Если мы равномерно выберем каждую точку по периметру квадрата, возьмем сегменты линий (нарисованные из центра), соответствующие каждой точке, сложим их вместе, соединяя каждый сегмент линии рядом с другим, уменьшая их масштаб, полученная кривая будет параболой. .