Номер Пелла

В математике числа Пелла представляют собой бесконечную последовательность целых чисел , известную с древних времен, которые составляют знаменатели ближайших рациональных приближений к квадратному корню из 2 . Эта последовательность приближений начинается 1 / 1 , 3 / 2 , 7 / 5 , 17/12 и 41/29 сопутствующих чисел , поэтому последовательность чисел Пелля начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений составляют половину Пелла или чисел Пелла – Люкаса ; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с 2, 6, 14, 34 и 82.

И числа Пелла, и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, аналогичного соотношению для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально , пропорционально степеням отношения серебра 1 + √ 2 . Числа Пелла не только используются для приближения квадратного корня из двух, но и для поиска квадратно-треугольных чисел , для построения целочисленных приближений к прямоугольному равнобедренному треугольнику и для решения некоторых перечисления . комбинаторных задач ^[1]

Как и в случае с уравнением Пелла , название чисел Пелла происходит от ошибочного приписывания Леонардом Эйлером уравнения и выведенных из него чисел Джону Пеллу . Числа Пелла-Люкаса также названы в честь Эдуарда Лукаса , который изучал последовательности, определяемые повторениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие числа Пелла являются последовательностями Люка .

Номера Пелла [ править ]

Числа Пелла определяются рекуррентным соотношением :

P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Проще говоря, последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелла представляет собой сумму удвоенного числа предыдущего числа Пелла и числа Пелла перед ним. Первые несколько членов последовательности:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … (последовательность A000129 в OEIS ).

Аналогично формуле Бине числа Пелла также можно выразить формулой замкнутой формы

$P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.$ Для больших значений n ( 1 + √ 2 ) ^н В этом выражении доминирует член, поэтому числа Пелла примерно пропорциональны степеням серебряного сечения 1 + √ 2 , что аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней золотого сечения .

Возможно третье определение из матричной формулы

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.

многие личности можно вывести или доказать На основе этих определений ; например, тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,

P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},

является непосредственным следствием матричной формулы (находится путем рассмотрения определителей матриц в левой и правой частях матричной формулы). ^[2]

Приближение к квадратному корню из двух [ править ]

Числа Пелла возникают исторически и особенно в рациональном приближении к √ 2 . Если два больших целых числа x и y образуют решение уравнения Пелля

x^{2}-2y^{2}=\pm 1,

тогда их соотношение x / y обеспечивает близкое приближение к √ 2 . Последовательность аппроксимаций этого вида такова:

{\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots

где знаменатель каждой дроби представляет собой число Пелла, а числитель представляет собой сумму числа Пелла и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид

{\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.

Приближение

{\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}

этот тип был известен индийским математикам в третьем или четвертом веке до нашей эры. ^[3] Греческие математики пятого века до нашей эры также знали об этой последовательности приближений: ^[4] Платон называет числители рациональными диаметрами . ^[5] Во втором веке нашей эры Теон из Смирны использовал термин « числа сторон и диаметров» для описания знаменателей и числителей этой последовательности. ^[6]

Эти приближения могут быть получены из цепных дробей разложения ${\sqrt {2}}$ :

{\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.

Усечение этого разложения до любого количества членов дает одно из приближений этой последовательности на основе чисел Пелла; например,

{\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.

Как описывает Кнут (1994), тот факт, что числа Пелля приближаются к √ 2, позволяет использовать их для точных рациональных приближений к правильному восьмиугольнику с координатами вершин Pi , _± Pi +1 _{( )} и ( ± Pi _{± +1} , ± П _я ) . Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. Альтернативно, точки $(\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)$ , $(0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))$ , и $(\pm P_{i},\pm P_{i})$ образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют одинаковые углы.

Простые числа и квадраты [ править ]

Простое число Пелла — это число Пелла, которое является простым . Первые несколько простых чисел Пелла равны

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (последовательность A086383 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел в последовательности всех чисел Пелла равны

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. (последовательность A096650 в OEIS )

Все эти индексы сами по себе являются простыми. Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля P _n может быть простым только в том случае, если n само является простым, потому что, если d является делителем n , то P _d является делителем P _n .

Единственные числа Пелла, которые являются квадратами , кубами или целыми числами более высокой степени, — это 0, 1 и 169 = 13. ². ^[7]

Однако, несмотря на небольшое количество квадратов и других степеней, числа Пелла тесно связаны с квадратно-треугольными числами . ^[8] В частности, эти числа возникают из следующего тождества чисел Пелля:

{\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.

Левая часть этого тождества описывает квадратное число, а правая — треугольное число , поэтому результатом является квадратное треугольное число.

Фалькон и Диас-Барреро (2006) доказали еще одно тождество, связав числа Пелля с квадратами и показав, что сумма чисел Пелля до P _{4 n +1} всегда является квадратом:

\sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.

Например, сумма чисел Пелля до P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , представляет собой квадрат P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Числа P _{2 n} + P _{2 n +1,} образующие квадратные корни из этих сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (последовательность A002315 в OEIS ),

известны как числа Ньюмана-Шенкса-Вильямса (НЮУ) .

Пифагоровы тройки [ править ]

Если прямоугольный треугольник имеет целые длины сторон a , b , c (обязательно удовлетворяющие теореме Пифагора a ² + б ² = с ²), то ( a , b , c ) называется тройкой Пифагора . Как описывает Мартин (1875), числа Пелла можно использовать для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отстоят друг от друга на одну единицу, что соответствует почти равнобедренным прямоугольным треугольникам. Каждая такая тройка имеет вид

\left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).

Образованная таким образом последовательность пифагорейских троек имеет вид

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), …

Числа Пелла–Лукаса [ править ]

Сопутствующие числа Пелла или числа Пела – Люкаса определяются рекуррентным соотношением

Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Другими словами: первые два числа в последовательности равны 2, и каждое последующее число образуется путем двойного прибавления предыдущего числа Пелла-Лукаса к числу Пелла-Лукаса перед этим или, что то же самое, путем добавления следующего числа Пелла к предыдущему. Число Пелла: таким образом, 82 соответствует 29, а 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2 , 2, 6 , 14 , 34. , 82 , 198 , 478 , …

Подобно взаимосвязи между числами Фибоначчи и числами Люка ,

Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}

для всех натуральных чисел n .

Сопутствующие числа Пелла могут быть выражены формулой замкнутой формы

Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.

Все эти числа четные ; каждое такое число в два раза больше числителя в одном из рациональных приближений к ${\sqrt {2}}$ обсуждалось выше.

Как и последовательность Лукаса, если число Пелля-Люкаса 1/2 n было Q _n простое число, необходимо, чтобы либо простым числом, либо степенью 2 . Простые числа Пелла – Лукаса:

3, 7, 17, 41, 239, 577, … (последовательность A086395 в OEIS ).

Для n этих

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, … (последовательность A099088 в OEIS ).

Вычисления и связи [ править ]

В следующей таблице приведены первые несколько степеней отношения серебра δ = δ _S = 1 + √ 2 и его сопряженного δ = 1 − √ 2 .

н	(1 + √ 2 ) ^н	(1 − √ 2 ) ^н
0	1 + 0 √ 2 = 1	1 − 0 √ 2 = 1
1	1 + 1 √ 2 = 2.41421…	1 − 1 √ 2 = −0.41421…
2	3 + 2 √ 2 = 5.82842…	3 − 2 √ 2 = 0.17157…
3	7 + 5 √ 2 = 14.07106…	7 − 5 √ 2 = −0.07106…
4	17 + 12 √ 2 = 33.97056…	17 − 12 √ 2 = 0.02943…
5	41 + 29 √ 2 = 82.01219…	41 − 29 √ 2 = −0.01219…
6	99 + 70 √ 2 = 197.9949…	99 − 70 √ 2 = 0.0050…
7	239 + 169 √ 2 = 478.00209…	239 − 169 √ 2 = −0.00209…
8	577 + 408 √ 2 = 1153.99913…	577 − 408 √ 2 = 0.00086…
9	1393 + 985 √ 2 = 2786.00035…	1393 − 985 √ 2 = −0.00035…
10	3363 + 2378 √ 2 = 6725.99985…	3363 − 2378 √ 2 = 0.00014…
11	8119 + 5741 √ 2 = 16238.00006…	8119 − 5741 √ 2 = −0.00006…
12	19601 + 13860 √ 2 = 39201.99997…	19601 − 13860 √ 2 = 0.00002…

Коэффициенты представляют собой полукомпаньонные числа Пелля H _n и числа Пелля P _n, которые являются (неотрицательными) решениями H ² − 2 П ² = ±1 . – Квадратно-треугольное число это число

N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},

которое одновременно является t -м треугольным числом и s -м квадратным числом. Почти равнобедренная тройка Пифагора является целочисленным решением задачи ² + б ² = с ² где а + 1 = б .

В следующей таблице показано, что разделение нечетного числа H _n на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда n четное, и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетное. Все решения возникают таким образом.

н	Ч _н	П _н	т	т + 1	с	а	б	с
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Определения [ править ]

Полукомпаньонные числа Пелля H _n и числа Пелля P _n могут быть получены несколькими легко эквивалентными способами.

Возведение в полномочия [ править ]

\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}

\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.

Отсюда следует, что существуют закрытые формы :

H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.

и

P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.

Парные рецидивы [ править ]

H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Формулы взаимной рекуррентности [ править ]

Пусть n будет не менее 2.

H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};

P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.

формулировки Матричные

{\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

Так

{\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.

Приближения [ править ]

Разница между H _n и P _n √ 2 составляет

\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},

который быстро стремится к нулю. Так

\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}

чрезвычайно близок к 2 H _n .

Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношения H _n / P _n быстро приближается к √ 2 ; и H _n / H _{n -1} и P _n / P _{n −1} быстро приближается к 1 + √ 2 .

ЧАС ² − 2 П ² = ±1 [ править ]

Поскольку √ 2 иррационально, мы не можем иметь H / P = √ 2 , т. е.

{\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.

Лучшее, чего мы можем достичь, это либо

{\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.

(Неотрицательные) решения H ² − 2 П ² = 1 — это в точности пары ( H _n , P _n ) с четным n и решения H ² − 2 П ² = −1 — это в точности пары ( H _n , P _n ) с n нечетным. Чтобы увидеть это, сначала заметьте, что

H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),

так что эти различия, начиная с H ²
₀ - 2 П ²
₀ = 1 , попеременно 1 и −1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку

(2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).

Меньшее решение также имеет целые положительные числа, за одним исключением: H = P = 1 , которое происходит от H ₀ = 1 и P ₀ = 0.

Квадратные треугольные числа [ править ]

Требуемое уравнение

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}

эквивалентно $4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,$ который становится H ² = 2 П ² + 1 с заменами H = 2 t + 1 и P = 2 s . Следовательно, n -е решение есть

t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.

Заметим, что t и t + 1 взаимно простые, так что т ( т + 1) / 2 = с ² происходит именно тогда, когда они являются соседними целыми числами, одно из которых представляет собой квадрат H ² а другой дважды квадрат 2 П ². Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем

t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}

и $s_{n}=H_{n}P_{n}.$

Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.

н	Ч _н	П _н	т	т + 1	с	а	б	с
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Пифагоровы тройки [ править ]

Равенство c ² = а ² + ( а + 1) ² = 2 а ² + 2 a + 1 происходит именно тогда, когда 2 c ² = 4 а ² + 4 a + 2, что становится 2 P ² = Ч ² + 1 с заменами H = 2 a + 1 и P = c . Следовательно, -е решение есть n ₌ n ЧАС _{2 п +1} - 1 / 2 и c _п знак равно п _{2 п +1} .

В таблице выше показано, что в том или ином порядке a _n и b _n = a _n + 1 равны H _n H _{n +1} и 2 P _n P _{n +1,} тогда как c _n = H _{n +1} P _n + P _{п +1} Ч _н .

Примечания [ править ]

^ Например, Селлерс (2002) доказывает, что количество идеальных паросочетаний в декартовом произведении графа путей и графа K ₄ - e можно вычислить как произведение числа Пелла на соответствующее число Фибоначчи.
^ О матричной формуле и ее последствиях см. Ercolano (1979) и Kilic and Tasci (2005). Дополнительные идентификаторы чисел Пелла перечислены Хорадамом (1971) и Бикнеллом (1975).
^ Как записано в Шульба-сутрах ; см., например, Дутка (1986), который цитирует Тибо (1875) для получения этой информации.
^ См. Knorr (1976) для даты V века, которая соответствует утверждению Прокла о том, что числа сторон и диаметров были открыты пифагорейцами . Более подробное исследование более поздних греческих знаний об этих числах см. в Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) и Filep (1999).
^ Например, как отмечается в некоторых ссылках из предыдущей заметки, в « Государстве Платона » есть ссылка на «рациональный диаметр 5», под которым Платон имеет в виду 7, числитель приближения. 7/5 из которых 5 является знаменателем.
^ Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики: от Фалеса до Евклида , Courier Dover Publications, стр. 112, ISBN 9780486240732 .
^ Пето (1992); Кон (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются по принципу повторяемости, очень похожему на числа Пелла, Кон пишет, что аналогичный результат для чисел Фибоначчи доказать гораздо труднее. (Однако это было доказано в 2006 году Бюжо и др.)
^ Сесскин (1962). о квадратно-треугольных числах . Более подробный вывод см. В статье

Ссылки [ править ]

Бикнелл, Марджори (1975). «Праймер по последовательности Пелла и родственным последовательностям». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 13 (4): 345–349. МР 0387173 .
Кон, JHE (1996). «Совершенные силы Пелла» . Математический журнал Глазго . 38 (1): 19–20. дои : 10.1017/S0017089500031207 . МР 1373953 .
Дутка, Жак (1986). «О квадратных корнях и их представлениях». Архив истории точных наук . 36 (1): 21–39. дои : 10.1007/BF00357439 . МР 0863340 . S2CID 122277481 .
Эрколано, Джозеф (1979). «Матричные генераторы последовательностей Пелла». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 17 (1): 71–77. МР 0525602 .
Филип, Ласло (1999). «Числа по сторонам и диагонали Пифагора» (PDF ) Образовательная академия Acta Mathematica Ньиредьхазиенсис 15 : 1–7. Архивировано из оригинала (PDF) 0 июля 2020 г. Проверено 2 января 2007 г.
Хорадам, А.Ф. (1971). «Личность Пелла». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 9 (3): 245–252, 263. МР 0308029 .
Килич, Эмра; Таши, Дурсун (2005). «Линейная алгебра матрицы Пелля». Бюллетень Мексиканского математического общества, третья серия . 11 (2): 163–174. МР 2207722 .
Норр, Уилбур (1976). «Архимед и измерение круга: новая интерпретация». Архив истории точных наук . 15 (2): 115–140. дои : 10.1007/BF00348496 . МР 0497462 . S2CID 120954547 .
Норр, Уилбур (1998). « «Рациональные диаметры» и открытие несоизмеримости». Американский математический ежемесячник . 105 (5): 421–429. дои : 10.2307/3109803 . JSTOR 3109803 .
Кнут, Дональд Э. (1994). «Прыгающие графы». Математический вестник . 78 (483): 274–297. arXiv : math.CO/9411240 . Бибкод : 1994math.....11240K . дои : 10.2307/3620202 . JSTOR 3620202 . S2CID 16856513 .
Мартин, Артемас (1875). «Рациональные прямоугольные треугольники, почти равнобедренные». Аналитик . 3 (2): 47–50. дои : 10.2307/2635906 . JSTOR 2635906 .
Пето, А. (1992). «Последовательность Пелла содержит только тривиальные совершенные степени». Множества, графы и числа (Будапешт, 1991) . Коллок. Математика. Соц. Янош Бояи, 60 лет, Северная Голландия. стр. 561–568. МР 1218218 .
Риденхур, младший (1986). «Лестничная аппроксимация иррациональных чисел». Журнал «Математика» . 59 (2): 95–105. дои : 10.2307/2690427 . JSTOR 2690427 .
Сокол Сантана, Серджио; Диас-Барреро, Хосе Луис (2006). «Некоторые свойства сумм, включающих числа Пелла» . Миссурийский журнал математических наук . 18 (1). дои : 10.35834/2006/1801033 . hdl : 10553/72698 .
Селлерс, Джеймс А. (2002). «Разбиения домино и произведения чисел Фибоначчи и Пелла» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 5 : 12. Бибкод : 2002JIntS...5...12S . МР 1919941 . Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2020 г. Проверено 28 января 2007 г.
Сесскин, Сэм (1962). «Обращение» к последней теореме Ферма?». Журнал «Математика» . 35 (4): 215–217. дои : 10.2307/2688551 . JSTOR 2688551 .
Тибо, Джордж (1875). «О Сулвасутрах». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
Томпсон, Д'Арси Вентворт (1929). «III. — Избыток и недостаток: или немного больше и немного меньше». Разум . Новая серия. 38 (149): 43–55. дои : 10.1093/mind/XXXVII.149.43 . JSTOR 2249223 .
Ведова, Г.Ц. (1951). «Заметки о Теоне Смирнском». Американский математический ежемесячник . 58 (10): 675–683. дои : 10.2307/2307978 . JSTOR 2307978 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Номер Пелла» . Математический мир .
Последовательность OEIS A001333 (Числители цепных дробей, сходящихся к sqrt(2)) — Числители одной и той же последовательности аппроксимаций.

[1] Например, Селлерс (2002) доказывает, что количество идеальных паросочетаний в декартовом произведении графа путей и графа K ₄ - e можно вычислить как произведение числа Пелла на соответствующее число Фибоначчи.

[2] О матричной формуле и ее последствиях см. Ercolano (1979) и Kilic and Tasci (2005). Дополнительные идентификаторы чисел Пелла перечислены Хорадамом (1971) и Бикнеллом (1975).

[3] Как записано в Шульба-сутрах ; см., например, Дутка (1986), который цитирует Тибо (1875) для получения этой информации.

[4] См. Knorr (1976) для даты V века, которая соответствует утверждению Прокла о том, что числа сторон и диаметров были открыты пифагорейцами . Более подробное исследование более поздних греческих знаний об этих числах см. в Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) и Filep (1999).

[5] Например, как отмечается в некоторых ссылках из предыдущей заметки, в « Государстве Платона » есть ссылка на «рациональный диаметр 5», под которым Платон имеет в виду 7, числитель приближения. 7/5 из которых 5 является знаменателем.

[6] Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики: от Фалеса до Евклида , Courier Dover Publications, стр. 112, ISBN 9780486240732 .

[7] Пето (1992); Кон (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются по принципу повторяемости, очень похожему на числа Пелла, Кон пишет, что аналогичный результат для чисел Фибоначчи доказать гораздо труднее. (Однако это было доказано в 2006 году Бюжо и др.)

[8] Сесскин (1962). о квадратно-треугольных числах . Более подробный вывод см. В статье

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers

Номера Пелла [ править ]

Приближение к квадратному корню из двух [ править ]

Простые числа и квадраты [ править ]

Пифагоровы тройки [ править ]

Числа Пелла–Лукаса [ править ]

Вычисления и связи [ править ]

Определения [ править ]

Возведение в полномочия [ править ]

Парные рецидивы [ править ]

Формулы взаимной рекуррентности [ править ]

формулировки Матричные ​ ​

Приближения [ править ]

ЧАС 2 − 2 П 2 = ±1 [ править ]

Квадратные треугольные числа [ править ]

Пифагоровы тройки [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

формулировки Матричные

ЧАС ² − 2 П ² = ±1 [ править ]