Число Лагранжа
В математике числа Лагранжа представляют собой последовательность чисел, которые появляются в границах, касающихся аппроксимации иррациональных чисел рациональными числами . Они связаны с теоремой Гурвица .
Определение [ править ]
Гурвиц улучшил Питера Густава Лежена Дирихле критерий иррациональности до утверждения, что действительное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p / q , записанных в самых простых терминах, таких, что
Это было улучшением результата Дирихле, который имел 1/ q 2 с правой стороны. Приведенный выше результат является наилучшим из возможных, поскольку золотое сечение φ иррационально, но если мы заменим √ 5 на любое большее число в приведенном выше выражении, то мы сможем найти только конечное число рациональных чисел, которые удовлетворяют неравенству для α = φ.
Однако Гурвиц также показал, что если мы опустим число φ и производные от него числа, то мы сможем увеличить число √ 5 . Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2 √ 2 . число √ 2 И снова эта новая граница является наилучшей из возможных в новых условиях, но на этот раз проблемой является . Если мы не допустим √ 2 , то мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2 √ 2 до √ 221/5 . Повторяя этот процесс, мы получаем бесконечную последовательность чисел √ 5 , 2 √ 2 , √ 221 /5, ... которые сходятся к 3. [1] Эти числа называются числами Лагранжа . [2] и названы в честь Жозефа Луи Лагранжа .
с Маркова Связь числами
е n- число Лагранжа L n определяется выражением
где m n — е n- число Маркова , [3] это n -е наименьшее целое число m такое, что уравнение
имеет решение в натуральных числах x и y .
Ссылки [ править ]
- Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . Збл 0077.04801 .
- Конвей, Дж. Х. ; Гай, РК (1996). Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-97993-Х .
Внешние ссылки [ править ]
- Число Лагранжа . Из MathWorld в Wolfram Research .
- Введение в иррациональность и трансцендентность диофантовых методов. Архивировано 9 февраля 2012 г. в Wayback Machine — конспекты онлайн-лекций Мишеля Вальдшмидта , «Числа Лагранжа» на стр. 24–26.