Число Лагранжа

В математике представляют числа Лагранжа собой последовательность чисел, которые появляются в границах, касающихся аппроксимации иррациональных чисел рациональными числами . Они связаны с теоремой Гурвица .

Определение

Гурвиц улучшил Питера Густава Лежена Дирихле критерий иррациональности до утверждения, что действительное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p / q , записанных в самых простых терминах, таких, что

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.$

Это было улучшением результата Дирихле, который имел 1/ q ² с правой стороны. Приведенный выше результат является наилучшим из возможных, поскольку золотое сечение φ иррационально, но если мы заменим √ 5 на любое большее число в приведенном выше выражении, то мы сможем найти только конечное число рациональных чисел, которые удовлетворяют неравенству для α = φ.

Однако Гурвиц также показал, что если мы опустим число φ и производные от него числа, то мы сможем увеличить число √ 5 . Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2 √ 2 . число √ 2 И снова эта новая граница является наилучшей из возможных в новых условиях, но на этот раз проблемой является . Если мы не допустим √ 2 , то мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2 √ 2 до √ 221/5 . Повторяя этот процесс, мы получаем бесконечную последовательность чисел √ 5 , 2 √ 2 , √ 221/5 , ... которые сходятся к 3. Эти числа называются числами Лагранжа . и названы в честь Жозефа Луи Лагранжа .

Связь

n -е число Лагранжа L _n определяется выражением

$L_{n}={\sqrt {9-{\frac {4}{{m_{n}}^{2}}}}}$

где m _n — n Маркова -е число , это n- е наименьшее целое число m такое, что уравнение

$m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy\,$

имеет решение в натуральных числах x и y .

Ссылки

• Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . Збл   0077.04801 .
• Конвей, Дж. Х. ; Гай, РК (1996). Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-97993-Х .

Внешние ссылки

• Число Лагранжа . Из MathWorld в Wolfram Research .
• Введение в иррациональность и трансцендентность диофантовых методов. Архивировано 9 февраля 2012 г. в Wayback Machine — конспекты онлайн-лекций Мишеля Вальдшмидта , «Числа Лагранжа» на стр. 24–26.