Метод Ван дер Пау

Метод Ван дер Пау — это метод, обычно используемый для измерения удельного сопротивления и коэффициента Холла образца. Его сила заключается в его способности точно измерять свойства образца любой произвольной формы, при условии, что образец примерно двумерный (т. е. он намного тоньше, чем ширина), твердый (без отверстий) и электроды расположены по его периметру . В методе Ван дер Пау используется четырехточечный датчик, размещенный по периметру образца, в отличие от линейного четырехточечного датчика : это позволяет методу Ван дер Пау получить среднее значение удельного сопротивления образца, тогда как линейная группа обеспечивает сопротивление в направлении измерения. ^[1] Эта разница становится важной для анизотропных материалов, которые можно правильно измерить с помощью метода Монтгомери , расширения метода Ван дер Пау (см., например, ссылку ^[2]).

По проведенным измерениям можно рассчитать следующие свойства материала:

Удельное сопротивление материала
Тип легирования (т.е. материал ли это P-типа или N-типа )
Плотность листов основного носителя ( количество основных носителей на единицу площади). Отсюда можно найти плотность заряда и уровень легирования.
Мобильность связи большинства операторов

Этот метод был впервые предложен Лео Дж. ван дер Пау в 1958 году. ^[3]

Условия [ править ]

Чтобы использовать эту технику, необходимо выполнить пять условий: ^[4]
1. Образец должен иметь плоскую форму и одинаковую толщину.
2. Образец не должен иметь изолированных отверстий.
3. Проба должна быть однородной и изотропной.
4. Все четыре контакта должны располагаться по краям образца.
5. Площадь контакта любого отдельного контакта должна быть как минимум на порядок меньше площади всего образца.

Второе условие можно ослабить. Метод Ван дер Пау можно применять и к образцам с одним отверстием. ^[5] ^[6]

Подготовка проб [ править ]

Чтобы использовать метод Ван дер Пау, толщина образца должна быть намного меньше ширины и длины образца. Для уменьшения ошибок в расчетах предпочтительно, чтобы образец был симметричным. Внутри образца также не должно быть изолированных отверстий.

Некоторые возможные места размещения контактов

Для проведения измерений необходимо четыре омических контакта разместить на образце . Для их размещения должны быть соблюдены определенные условия:

Они должны быть как можно меньше; любые ошибки, определяемые их ненулевым размером, будут порядка D/L , где D — средний диаметр контакта, а L — расстояние между контактами.
Они должны располагаться как можно ближе к границе образца.

Кроме того, все выводы контактов должны быть изготовлены из одной партии проводов, чтобы минимизировать термоэлектрические эффекты. По этой же причине все четыре контакта должны быть из одного материала.

Определения измерений [ править ]

Контакты пронумерованы от 1 до 4 в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего левого контакта.
Ток 1 I ₁₂ представляет собой положительный постоянный ток, подаваемый на контакт и отводимый от контакта 2 , и измеряется в амперах (А).
Напряжение 3 V ₃₄ представляет собой напряжение постоянного тока, измеренное между контактами и 4 ( т.е. V 4 _- V 3 ₎ без внешнего магнитного поля, измеренное в вольтах (В).
Удельное сопротивление ρ измеряется в Ом ⋅ метрах (Ом⋅м).
Толщина образца t измеряется в метрах (м).
Поверхностное сопротивление R _S измеряется в Омах на квадрат (Ом/кв. $\Omega /\Box$ ).

Измерения удельного сопротивления [ править ]

Среднее удельное сопротивление образца определяется выражением ρ = RS _⋅t , где поверхностное сопротивление определяется _RS следующим образом. Для анизотропного материала отдельные компоненты удельного сопротивления, например ρ _x или ρ _y , можно рассчитать с помощью метода Монтгомери .

Основные измерения [ править ]

Для проведения измерения ток течет по одному краю образца (например, I ₁₂ напряжение на противоположном крае (в данном случае V ₃₄ ) и измеряется ). Из этих двух значений сопротивление (в данном примере $R_{12,34}$ ) можно найти с помощью закона Ома :

R_{12,34}={\frac {V_{34}}{I_{12}}}

В своей статье ван дер Пау показал, что поверхностное сопротивление образцов произвольной формы можно определить по двум из этих сопротивлений - одно, измеренное вдоль вертикальной кромки, например $R_{12,34}$ и соответствующий измеренный вдоль горизонтального края, например $R_{23,41}$ . Фактическое поверхностное сопротивление связано с этими сопротивлениями по формуле Ван дер Пау.

e^{-\pi R_{12,34}/R_{s}}+e^{-\pi R_{23,41}/R_{s}}=1

Взаимные измерения [ править ]

Теорема взаимности что [1] говорит нам,

R_{AB,CD}=R_{CD,AB}

Таким образом, можно получить более точное значение сопротивлений. $R_{12,34}$ и $R_{23,41}$ сделав два дополнительных измерения их обратных значений $R_{34,12}$ и $R_{41,23}$ и усреднение результатов.

Мы определяем

R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}}{2}}

и

R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}}{2}}

Тогда формула Ван дер Пау примет вид

e^{-\pi R_{\text{vertical}}/R_{S}}+e^{-\pi R_{\text{horizontal}}/R_{S}}=1

обратной Измерения полярности

Дальнейшее повышение точности значений сопротивления можно получить, повторяя измерения сопротивления после переключения полярности как источника тока, так и измерителя напряжения. Поскольку при этом измеряется та же часть образца, только в противоположном направлении, значения R _{по вертикали} и R _{по горизонтали} все равно можно рассчитать как средние значения измерений стандартной и обратной полярности. Преимущество этого заключается в том, что любые напряжения смещения, такие как термоэлектрические потенциалы из-за эффекта Зеебека , будут нейтрализованы.

Сочетание этих методов с обратными измерениями, приведенными выше, приводит к формулам для сопротивлений:

R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}+R_{21,43}+R_{43,21}}{4}}

и

R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}+R_{32,14}+R_{14,32}}{4}}

Формула Ван дер Пау принимает тот же вид, что и в предыдущем разделе.

Точность измерения [ править ]

Обе описанные выше процедуры проверяют повторяемость измерений. Если какое-либо из измерений обратной полярности не согласуется с достаточной степенью точности (обычно в пределах 3%) с соответствующим стандартным измерением полярности, то, вероятно, где-то в установке имеется источник ошибки, который следует изучить, прежде чем продолжить. Тот же принцип применим и к взаимным измерениям: они должны в достаточной степени согласовываться, прежде чем их можно будет использовать в каких-либо расчетах.

Расчет сопротивления листа [ править ]

В общем, формулу Ван дер Пау нельзя переформулировать, чтобы определить поверхностное сопротивление R _S через известные функции. Наиболее заметным исключением из этого правила является случай, когда R _{вертикальное} = R = R _{горизонтальное} ; в этом сценарии поверхностное сопротивление определяется выражением

R_{S}={\frac {\pi R}{\ln 2}}

Частное $\pi /\ln 2$ известна как константа Ван дер Пау и имеет приблизительное значение 4,53236. В большинстве других сценариев итерационный метод используется _{для численного решения формулы Ван дер Пау для RS} . Обычно считается, что формула не соответствует предварительным условиям теоремы Банаха о неподвижной точке , поэтому методы, основанные на ней, не работают. Вместо этого вложенные интервалы сходятся медленно, но неуклонно. Однако недавно было показано, что соответствующая переформулировка задачи Ван дер Пау (например, путем введения второй формулы Ван дер Пау) делает ее полностью разрешимой с помощью банахового метода неподвижной точки. ^[7]

Альтернативно, метод Ньютона-Рафсона сходится относительно быстро. Для уменьшения сложности обозначений введены следующие переменные:

s=e^{-\pi /{R_{s}}}

R_{v}=R_{vertical}

R_{h}=R_{horizontal}

Тогда следующее приближение $R_{s}^{+}$ рассчитывается по

R_{s}^{+}=R_{s}+R_{s}^{2}{\frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{\pi (R_{v}s^{R_{v}}+R_{h}s^{R_{h}})}}

Замеры зала [ править ]

Предыстория [ править ]

Когда заряженная частица, такая как электрон, помещается в магнитное поле , на нее действует сила Лоренца, пропорциональная напряженности поля и скорости, с которой она движется через него. Эта сила наиболее сильна, когда направление движения перпендикулярно направлению магнитного поля; в этом случае сила

F_{L}=qvB\,\!

где $q$ – заряд частицы в кулонах , $v$ скорость, с которой он движется (сантиметры в секунду ), и $B$ напряженность магнитного поля ( Вб /см ²). Обратите внимание, что в полупроводниковой промышленности для измерения длины часто используются сантиметры, поэтому здесь они используются вместо единиц СИ — метров.

Когда ток подается на кусок полупроводникового материала, это приводит к устойчивому потоку электронов через материал (как показано в частях (a) и (b) прилагаемого рисунка). Скорость, с которой движутся электроны, равна (см. Электрический ток ):

v={\frac {I}{nAq}}

где $n$ - плотность электронов, $A$ - площадь поперечного сечения материала и $q$ элементарный заряд (1,602×10 ⁻¹⁹ кулоны ).

Если затем приложить внешнее магнитное поле перпендикулярно направлению тока, то возникающая сила Лоренца заставит электроны накапливаться на одном краю образца (см. часть (c) рисунка). Объединив два приведенных выше уравнения и отметив, что $q$ — заряд электрона, что приводит к формуле силы Лоренца, действующей на электроны:

F_{L}={\frac {IB}{nA}}

Это накопление создаст электрическое поле в материале из-за неравномерного распределения заряда, как показано в части (d) рисунка. Это, в свою очередь, приводит к разнице потенциалов в материале, известной как напряжение Холла. $V_{H}$ . Ток, однако, продолжает течь только вдоль материала, что указывает на то, что сила, действующая на электроны за счет электрического поля, уравновешивает силу Лоренца. Поскольку сила, действующая на электрон со стороны электрического поля $\epsilon$ является $q\epsilon$ , мы можем сказать, что напряженность электрического поля, следовательно, равна

\epsilon ={\frac {IB}{qnA}}

Наконец, величина напряжения Холла — это просто сила электрического поля, умноженная на ширину материала; то есть,

{\begin{aligned}V_{H}&=w\epsilon \\&={\frac {wIB}{qnA}}\\&={\frac {IB}{qnt}}\end{aligned}}

где $t$ это толщина материала. Поскольку плотность листа $n_{s}$ определяется как плотность электронов, умноженная на толщину материала, мы можем определить напряжение Холла через плотность листа:

V_{H}={\frac {IB}{qn_{s}}}

Делаем замеры [ править ]

Необходимо выполнить две серии измерений: одну с магнитным полем в положительном направлении z , как показано выше, и одну с отрицательным направлением z . В дальнейшем напряжения, записанные с положительным полем, будут иметь индекс P (например, V _{13, P} = V _{3, P} - V _{1, P} ), а напряжения, записанные с отрицательным полем, будут иметь индекс N (такой как V _{13, N} = V _{3, N} - V _{1, N} ). Для всех измерений величина подаваемого тока должна оставаться одинаковой; величина магнитного поля также должна быть одинаковой в обоих направлениях.

Прежде всего при положительном магнитном поле ток I ₂₄ к образцу прикладывают напряжение V _13,П и регистрируют ; Обратите внимание, что напряжения могут быть положительными или отрицательными. Затем это повторяется для I ₁₃ и V _{42, P} .

Как и раньше, мы можем воспользоваться теоремой взаимности, чтобы проверить точность этих измерений. Если поменять направление токов (т.е. подать ток I ₄₂ и измерить V _{31, P} , и повторить для I ₃₁ и V _{24, P} ), то V _{13, P} должно быть таким же, как V _{31, P,} с точностью до достаточно малая степень погрешности. Аналогично, V _{42, P} и V _{24, P} должны совпадать.

После завершения измерений вместо положительного прикладывают отрицательное магнитное поле и повторяют описанную выше процедуру для получения измерений напряжения V _{13, N} , V _{42, N} , V _{31, N} и V _{24, N} .

Расчеты [ править ]

Первоначально рассчитывается разница напряжений для положительного и отрицательного магнитных полей:

В ₁₃ = В _{13, П} − В _{13, Н}
В ₂₄ = В _{24, П} − В _{24, Н}
В ₃₁ = В _{31, П} − В _{31, Н}
В ₄₂ = В _{42, П} − В _{42, Н}

Тогда общее напряжение Холла будет

V_{H}={\frac {V_{13}+V_{24}+V_{31}+V_{42}}{8}}

.

Полярность этого напряжения Холла указывает на тип материала, из которого сделан образец; если он положительный, то материал P-типа, а если отрицательный, то материал N-типа.

Формулу, приведенную на заднем плане, можно затем изменить, чтобы показать, что плотность листа

n_{s}={\frac {IB}{q|V_{H}|}}

Обратите внимание, что напряженность магнитного поля B должна выражаться в единицах Вб/см. ² если n _s в см ⁻². Например, если сила указана в общепринятых единицах тесла , ее можно преобразовать, умножив на 10. ⁻⁴.

Прочие расчеты [ править ]

Мобильность [ править ]

Можно показать, что удельное сопротивление полупроводникового материала равно ^[8]

\rho ={\frac {1}{q(n\mu _{n}+p\mu _{p})}}

где n и p — концентрации электронов и дырок в материале соответственно, а μ _n и μ _p — подвижность электронов и дырок соответственно.

Как правило, материал достаточно легирован, так что существует разница на многие порядки между двумя концентрациями, что позволяет упростить это уравнение до

\rho ={\frac {1}{qn_{m}\mu _{m}}}

где n _m и мкм _— уровень легирования и подвижность основного носителя соответственно.

Если затем отметить, что сопротивление листа RS _— это удельное сопротивление, деленное на толщину образца, а плотность листа n _S — это уровень легирования, умноженный на толщину, мы можем разделить уравнение на толщину, чтобы получить

R_{s}={\frac {1}{qn_{s}\mu _{m}}}

Затем это можно изменить, чтобы получить подвижность основного носителя с точки зрения ранее рассчитанного сопротивления слоя и плотности слоя:

\mu _{m}={\frac {1}{qn_{s}R_{s}}}

Сноски [ править ]

^ Кун, Д.В.; Никербокер, CJ (1992). «Что вы измеряете, когда измеряете удельное сопротивление?» . Обзор научных инструментов . 63 (1): 207–210. Бибкод : 1992RScI...63..207K . дои : 10.1063/1.1142958 .
^ Оливейра, ФС; Чиприано, РБ; да Силва, FT; Роман, ЕС; душ Сантос, Калифорния М. (02.10.2020). «Простой аналитический метод определения удельного электросопротивления и поверхностного сопротивления с использованием процедуры Ван дер Пау» . Научные отчеты . 10 (1): 16379. Бибкод : 2020NatSR..1016379O . дои : 10.1038/s41598-020-72097-1 . ISSN 2045-2322 . ПМЦ 7532437 . ПМИД 33009433 .
^ Ван дер Пау, LJ (1958). «Метод измерения удельного сопротивления и эффекта Холла дисков произвольной формы» (PDF) . Отчеты об исследованиях Philips . 13 : 1–9. )
^ Вебстер, Джон Дж. (1999). Справочник по измерениям, приборам и датчикам . Нью-Йорк: CRC Press LLC. стр. 43 -1. ISBN 3-540-64830-5 .
^ Шиманский, К.; Цеслинский, Ю.Л.; Лапинский, К. (2013). «Метод Ван дер Пау на образце с изолированным отверстием» . Письма по физике А. 377 (8): 651–654. arXiv : 1301.1625 . Бибкод : 2013PhLA..377..651S . doi : 10.1016/j.physleta.2013.01.008 . S2CID 119233024 .
^ Шиманский, К.; Лапинский, К.; Цеслинский, Ю.Л. (2015). «Определение модуля Римана и сопротивления листа образца с отверстием методом Ван дер Пау» . Измерительная наука и технология . 26 (5): 055003. arXiv : 1412.0707 . Бибкод : 2015MeScT..26e5003S . дои : 10.1088/0957-0233/26/5/055003 . S2CID 119306065 .
^ Цеслинский, Ю.Л. (2012). «Модифицированный метод Ван дер Пау, основанный на формулах, решаемых методом фиксированной точки Банаха» . Тонкие твердые пленки . 522 : 314–317. arXiv : 1204.0085 . Бибкод : 2012TSF...522..314C . дои : 10.1016/j.tsf.2012.09.018 . S2CID 119671849 .
^ Сзе, С.М. (2001). Полупроводниковые приборы: физика и технология . Нью-Йорк: Уайли. п. 53. ИСБН 0-471-33372-7 .

Ссылки [ править ]

ван дер Пау, LJ (1958). «Метод измерения удельного сопротивления и эффекта Холла дисков произвольной формы» (PDF) . Отчеты об исследованиях Philips . 13 : 1–9.
ван дер Пау, LJ (1958). «Метод измерения удельного сопротивления и коэффициента Холла на ламелях произвольной формы» (PDF) . Технический обзор Philips . 20 : 220–224.
«Измерения эффекта Холла» . Национальный институт стандартов и технологий. Архивировано из оригинала 15 июня 2006 г. Проверено 24 июня 2006 г.
Измерение электропроводности и удельного сопротивления методом Ван дер Пау.

[1] Кун, Д.В.; Никербокер, CJ (1992). «Что вы измеряете, когда измеряете удельное сопротивление?» . Обзор научных инструментов . 63 (1): 207–210. Бибкод : 1992RScI...63..207K . дои : 10.1063/1.1142958 .

[2] Оливейра, ФС; Чиприано, РБ; да Силва, FT; Роман, ЕС; душ Сантос, Калифорния М. (02.10.2020). «Простой аналитический метод определения удельного электросопротивления и поверхностного сопротивления с использованием процедуры Ван дер Пау» . Научные отчеты . 10 (1): 16379. Бибкод : 2020NatSR..1016379O . дои : 10.1038/s41598-020-72097-1 . ISSN 2045-2322 . ПМЦ 7532437 . ПМИД 33009433 .

[3] Ван дер Пау, LJ (1958). «Метод измерения удельного сопротивления и эффекта Холла дисков произвольной формы» (PDF) . Отчеты об исследованиях Philips . 13 : 1–9. )

[4] Вебстер, Джон Дж. (1999). Справочник по измерениям, приборам и датчикам . Нью-Йорк: CRC Press LLC. стр. 43 -1. ISBN 3-540-64830-5 .

[5] Шиманский, К.; Цеслинский, Ю.Л.; Лапинский, К. (2013). «Метод Ван дер Пау на образце с изолированным отверстием» . Письма по физике А. 377 (8): 651–654. arXiv : 1301.1625 . Бибкод : 2013PhLA..377..651S . doi : 10.1016/j.physleta.2013.01.008 . S2CID 119233024 .

[6] Шиманский, К.; Лапинский, К.; Цеслинский, Ю.Л. (2015). «Определение модуля Римана и сопротивления листа образца с отверстием методом Ван дер Пау» . Измерительная наука и технология . 26 (5): 055003. arXiv : 1412.0707 . Бибкод : 2015MeScT..26e5003S . дои : 10.1088/0957-0233/26/5/055003 . S2CID 119306065 .

[7] Цеслинский, Ю.Л. (2012). «Модифицированный метод Ван дер Пау, основанный на формулах, решаемых методом фиксированной точки Банаха» . Тонкие твердые пленки . 522 : 314–317. arXiv : 1204.0085 . Бибкод : 2012TSF...522..314C . дои : 10.1016/j.tsf.2012.09.018 . S2CID 119671849 .

[8] Сзе, С.М. (2001). Полупроводниковые приборы: физика и технология . Нью-Йорк: Уайли. п. 53. ИСБН 0-471-33372-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]