Взаимность (электромагнетизм)

Эта статья о теоремах взаимности в классическом электромагнетизме. Чтобы узнать о несвязанных теоремах взаимности, см. Теорему взаимности (значения) . Для более общего использования этого термина см. Взаимность (значения) .

В классическом электромагнетизме взаимность относится к множеству связанных теорем, включающих обмен гармоническими электрического во времени плотностями тока (источниками) и результирующими электромагнитными полями в уравнениях Максвелла для нестационарных линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность тесно связана с концепцией симметричных операторов из линейной алгебры , примененной к электромагнетизму.

наиболее распространенной и общей такой теоремой является взаимность Лоренца (и ее различные частные случаи, такие как взаимность Рэлея-Карсона ), названная в честь работы Хендрика Лоренца в 1896 году после аналогичных результатов лорда Рэлея относительно света звука и Гельмгольца ( Поттон Возможно , , 2004). . В общих чертах он утверждает, что взаимосвязь между осциллирующим током и результирующим электрическим полем не изменится, если поменять местами точки, в которых протекает ток, и места, где измеряется поле. В конкретном случае электрической сети это иногда формулируется как утверждение о том, что напряжения и токи в разных точках сети могут меняться местами. С технической точки зрения из этого следует, что взаимное сопротивление первой цепи, обусловленное второй, такое же, как взаимное сопротивление второй цепи, обусловленное первым.

Взаимность полезна в оптике , которая (помимо квантовых эффектов) может быть выражена в терминах классического электромагнетизма, а также в терминах радиометрии .

Существует также аналогичная теорема в электростатике , известная как взаимность Грина , связывающая обмен электрическим потенциалом и плотностью электрического заряда .

Формы теорем взаимности используются во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенных систем. антенны Например, взаимность подразумевает, что антенны одинаково хорошо работают как передатчики или приемники, и, в частности, что диаграммы направленности излучения и приема идентичны. Взаимность также является основной леммой, которая используется для доказательства других теорем об электромагнитных системах, таких как симметрия матрицы импеданса и матрицы рассеяния , симметрия функций Грина для использования в вычислительных методах граничных элементов и трансфер-матриц, а также ортогональность. свойства гармонических мод в волноводных системах (как альтернатива доказательству этих свойств непосредственно из симметрий собственных операторов ).

взаимность Лоренца

В частности, предположим, что плотность тока $\mathbf {J} _{1}$ который создает электрическое поле $\mathbf {E} _{1}$ и магнитное поле $\mathbf {H} _{1}\,,$ где все три являются периодическими функциями времени с угловой частотой ω и, в частности, имеют зависимость от времени $\exp(-i\omega t)\,.$ Предположим, что у нас аналогично есть второй ток $\mathbf {J} _{2}$ на той же частоте ω, которая (сама по себе) создает поля $\mathbf {E} _{2}$ и $\mathbf {H} _{2}\,.$ Теорема взаимности Лоренца тогда утверждает, при некоторых простых условиях на материалы среды, описанные ниже, что для произвольной поверхности S, охватывающей объем V :

$\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .$

Эквивалентно, в дифференциальной форме (по теореме о дивергенции ):

$\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .$

Эта общая форма обычно упрощается для ряда особых случаев. В частности, обычно полагают, что $\ \mathbf {J} _{1}\$ и $\mathbf {J} _{2}$ локализованы (т.е. имеют компактную основу ) и что волны, приходящие с бесконечно далекого расстояния, отсутствуют. В этом случае, если интегрировать по всему пространству, члены поверхностно-интегрального характера сокращаются (см. ниже), и получается:

$\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .$

Этот результат (вместе со следующими упрощениями) иногда называют теоремой взаимности Рэлея-Карсона в честь работы лорда Рэлея о звуковых волнах и расширения Карсона (1924; 1930) на приложения для радиочастотных антенн. Часто это соотношение еще больше упрощается, рассматривая точечные дипольные источники, и в этом случае интегралы исчезают и остается просто произведение электрического поля на соответствующие дипольные моменты токов. Или, для проводов незначительной толщины, можно получить приложенный ток в одном проводе, умноженный на результирующее напряжение на другом, и наоборот; см. также ниже.

Другой частный случай теоремы взаимности Лоренца применяется, когда объем V полностью содержит оба локализованных источника (или, альтернативно, если V не пересекает ни один из источников). В этом случае:

$\ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .$

В практических задачах существуют и другие, более обобщенные формы Лоренца и других соотношений взаимности, в которых помимо плотности электрического тока $\ \mathbf {J} \$, плотность магнитного тока $\ \mathbf {M} \$ также используется. Эти типы отношений взаимности обычно обсуждаются в электротехнической литературе.

Взаимность для электрических сетей

Смотрите также: Взаимность (электрические сети)

Выше взаимность Лоренца была сформулирована в терминах внешнего источника тока и результирующего поля. Часто, особенно в электрических сетях, вместо этого предпочитают думать о внешнем напряжении и результирующих токах. Теорема взаимности Лоренца также описывает этот случай, предполагая омические материалы (т.е. токи, которые линейно реагируют на приложенное поле) с проводимости матрицей 3×3 , которая должна быть симметричной , что подразумевается другими условиями, приведенными ниже. Чтобы правильно описать эту ситуацию, необходимо тщательно различать внешне приложенные поля (от возбуждающих напряжений) и полные возникающие в результате поля (King, 1963).

Более конкретно, $\ \mathbf {J} \$ выше, состоял только из внешних «источниковых» членов, введенных в уравнения Максвелла. Теперь мы обозначаем это через $\ \mathbf {J} ^{(e)}\$ отличить его от общего тока, создаваемого как внешним источником, так и результирующими электрическими полями в материалах. Если этот внешний ток находится в материале с проводимостью σ , то он соответствует внешне приложенному электрическому полю. $\ \mathbf {E} ^{(e)}\$ где по определению σ :

$\ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .$

Более того, электрическое поле $\mathbf {E}$ выше состоял только из ответа на этот ток и не включал "внешнее" поле $\ \mathbf {E} ^{(e)}\ .$ Поэтому теперь мы обозначаем поле, полученное ранее, как $\ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,$ где полное поле определяется выражением $\ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .$

Теперь уравнение в левой части теоремы взаимности Лоренца можно переписать, переместив σ из члена внешнего тока $\mathbf {J} ^{(e)}$ к условиям поля ответа $\ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,$ а также добавление и вычитание $\ \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\$ термин, чтобы получить внешнее поле, умноженное на общий ток $\ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :$

${\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\ .\end{aligned}}$

Для предела тонких проводов это дает произведение внешнего приложенного напряжения (1), умноженное на результирующий общий ток (2), и наоборот. В частности, теорема взаимности Рэлея-Карсона превращается в простое суммирование:

$\ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}$

где $\ {\mathcal {V}}\$ и I обозначаю комплексные амплитуды приложенного переменного напряжения и результирующих токов соответственно в наборе элементов схемы (с индексом n ) для двух возможных наборов напряжений. $\ {\mathcal {V}}_{1}\$ и $\ {\mathcal {V}}_{2}\ .$

Чаще всего это упрощается до случая, когда каждая система имеет один источник напряжения. $\ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,$ в $\ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\$ и $\ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .$ Тогда теорема становится просто

$I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}$

или словами:

Ток в положении (1) от напряжения в (2) идентичен току в (2) от того же напряжения в (1).

Условия и доказательство взаимности Лоренца.

Теорема взаимности Лоренца — это просто отражение того факта, что линейный оператор $\operatorname {\hat {O}}$ относящийся $\mathbf {J}$ и $\mathbf {E}$ на фиксированной частоте $\omega$ (в линейных средах): $$\mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E}$$где $$\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E}$$обычно является симметричным оператором относительно « внутреннего продукта » ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ для векторных полей $\mathbf {F}$ и $\mathbf {G} \ .$(Технически эта несопряженная форма не является настоящим внутренним продуктом, поскольку она не имеет действительного значения для полей с комплексными значениями, но здесь это не проблема. В этом смысле оператор не является истинно эрмитовым, а скорее комплексно-симметричным. ) Это верно, когда диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость µ при заданном ω представляют собой симметричные матрицы 3×3 (симметричные тензоры ранга 2) – это включает общий случай, когда они являются скалярами (конечно, для изотропных сред). . Они не обязательно должны быть реальными – комплексные значения соответствуют материалам с потерями, таким как проводники с конечной проводимостью σ (которая включается в ε через $\varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega \$) – и поэтому теорема взаимности не требует инвариантности относительно обращения времени . Условие симметричности матриц ε и µ почти всегда выполняется; см. ниже исключение.

Для любого эрмитова оператора $\operatorname {\hat {O}}$ под внутренним продуктом $(f,g)\!$, у нас есть $(f,\operatorname {\hat {O}} g)=(\operatorname {\hat {O}} f,g)$ по определению, а теорема взаимности Рэлея-Карсона является просто векторной версией этого утверждения для этого конкретного оператора $\mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \ :$ то есть, $(\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})\ .$ Эрмитово свойство оператора здесь можно получить интегрированием по частям . Для конечного объема интегрирования поверхностные члены этого интегрирования по частям дают более общую теорему о поверхностном интеграле, приведенную выше. В частности, ключевым фактом является то, что для векторных полей $\mathbf {F}$ и $\mathbf {G} \ ,$ интегрирование по частям (или теорема о дивергенции ) по объему V , ограниченному поверхностью S, дает тождество: $$\int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ .$$

Затем это тождество применяется дважды к $(\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})$ уступить $(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})$ плюс поверхностный член, давая соотношение взаимности Лоренца.

Условия и доказательство взаимности Лоренца с использованием уравнений Максвелла и векторных операций.

Мы докажем общую форму электромагнитной теоремы взаимности Лоренца, которая утверждает, что поля $\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}$ и $\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}$ генерируется двумя разными плотностями синусоидального тока соответственно $\mathbf {J} _{1}$ и $\mathbf {J} _{2}$ той же частоты, удовлетворяют условию $$\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .$$

Давайте возьмем область, в которой диэлектрическая проницаемость и проницаемость могут быть функциями положения, а не времени. Уравнения Максвелла, записанные в терминах полных полей, токов и зарядов региона, описывают электромагнитное поведение региона. Два уравнения ротора: $${\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}$$

В условиях постоянной постоянной частоты из двух уравнений ротора мы получаем уравнения Максвелла для случая периодического времени: $${\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}$$

Следует признать, что символы в уравнениях этой статьи представляют собой комплексные множители $e^{j\omega t}$, давая синфазную и противофазную части относительно выбранного опорного значения. Комплексные векторные множители $e^{j\omega t}$ могут быть названы векторными векторами по аналогии с комплексными скалярными величинами, которые обычно называют векторами .

Эквивалентность векторных операций показывает, что $$\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )$$ для каждого вектора $\mathbf {E}$ и $\mathbf {H} \ .$

Если мы применим эту эквивалентность к $\mathbf {E} _{1}$ и $\mathbf {H} _{2}$ мы получаем: $$\mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .$$

Если продукты в уравнениях периода времени взяты, как указано в этой последней эквивалентности, и добавлены, $$-\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .$$

Теперь это можно интегрировать по объему проблем, $$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .$$

По теореме о дивергенции интеграл объёма $\operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})$ равен поверхностному интегралу от $\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}$ за границу. $$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .$$

Эта форма справедлива для обычных сред, но в обычном случае линейных, изотропных, не зависящих от времени материалов ε является скаляром, не зависящим от времени. Тогда вообще как физические величины $\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$ и $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .$

Тогда последнее уравнение становится $$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .$$

Точно аналогичным образом получаем для векторов $\mathbf {E} _{2}$ и $\mathbf {H} _{1}$ следующее выражение: $$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatorname {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .$$

Вычитая два последних уравнения по членам, получаем $$\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\operatorname {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .$$и, что эквивалентно, в дифференциальной форме $$\ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\$$ КЭД

Отмена поверхностного срока

Отмена поверхностных членов в правой части теоремы взаимности Лоренца для интегрирования по всему пространству не совсем очевидна, но может быть получена несколькими способами. Строгая трактовка поверхностного интеграла учитывает причинность взаимодействующих состояний волнового поля: вклад поверхностного интеграла на бесконечности исчезает только для взаимодействия временной свертки двух причинных волновых полей (временно-корреляционное взаимодействие приводит к ненулевому вклад).

Другой простой аргумент заключался бы в том, что поля стремятся к нулю на бесконечности для локализованного источника, но этот аргумент не работает в случае сред без потерь: в отсутствие поглощения излучаемые поля затухают обратно пропорционально расстоянию, но площадь поверхности интеграла увеличивается. с квадратом расстояния, поэтому две скорости уравновешивают друг друга в интеграле.

Вместо этого принято (например, King, 1963) предполагать, что среда однородна и изотропна достаточно далеко. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает вид плоских волн, распространяющихся радиально наружу (в $\operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }$ направлении) с $\operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0$ и $\mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z$ где Z - скалярный импеданс ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ окружающей среды. Тогда следует, что $\ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,$ что по простому векторному тождеству равно ${\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .$ Сходным образом, $\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}$ и эти два члена отменяют друг друга.

Приведенный выше аргумент явно показывает, почему поверхностные члены могут сокращаться, но ему не хватает общности. В качестве альтернативы можно рассмотреть случай окружающей среды без потерь с граничными условиями излучения, налагаемыми принципом предельного поглощения (LAP): принять предел, когда потери (мнимая часть ε ) стремятся к нулю. При любых ненулевых потерях поля экспоненциально затухают с расстоянием, и поверхностный интеграл обращается в нуль независимо от того, является ли среда однородной. Поскольку левая часть теоремы взаимности Лоренца обращается в нуль при интегрировании по всему пространству с любыми ненулевыми потерями, она также должна исчезать в пределе, когда потери стремятся к нулю. (Обратите внимание, что LAP неявно налагает условие излучения Зоммерфельда о нулевых входящих волнах из бесконечности, потому что в противном случае даже сколь угодно малые потери устранили бы входящие волны, и предел не дал бы решения без потерь.)

Взаимность и функция Грина

Обратный оператор $\operatorname {\hat {O}} \ ,$ то есть в $\mathbf {E} =\operatorname {\hat {O}} ^{-1}\mathbf {J}$ (что требует указания граничных условий на бесконечности в системе без потерь), имеет ту же симметрию, что и $\operatorname {\hat {O}}$ и по сути является функции Грина сверткой . Итак, другой взгляд на взаимность Лоренца заключается в том, что он отражает тот факт, что свертка с электромагнитной функцией Грина представляет собой комплексно-симметричную (или антиэрмитову, ниже) линейную операцию при соответствующих условиях на ε и µ . Более конкретно, функцию Грина можно записать как $G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )$ давая n -ю компоненту $\mathbf {E}$ в $\mathbf {x} '$ от точечного дипольного тока в m -м направлении при $\mathbf {x}$ (по сути, $G$ дает матричные элементы $\operatorname {\hat {O}} ^{-1}$), а взаимность Рэлея-Карсона эквивалентна утверждению, что $G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .$ В отличие от $\operatorname {\hat {O}} \ ,$ Обычно невозможно дать явную формулу для функции Грина (за исключением особых случаев, таких как однородные среды), но она обычно вычисляется численными методами.

Магнитооптические материалы без потерь

Один случай, когда ε является не симметричной матрицей, относится к магнитооптическим материалам, и в этом случае обычное утверждение о взаимности Лоренца не выполняется (однако обобщение см. ниже). Если мы допустим магнитооптические материалы, но ограничимся ситуацией, когда поглощение материала незначительно , то ε и μ в общем случае представляют собой комплексные эрмитовы матрицы 3×3 . В этом случае оператор ${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$ является эрмитовым относительно сопряженного скалярного произведения ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,}$ и вариант теоремы взаимности все еще держится: $$-\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A}$$где изменения знака происходят от ${\frac {1}{i\omega }}$ в приведенном выше уравнении, что делает оператор $\operatorname {\hat {O}}$ антиэрмитовский (пренебрегая поверхностными терминами). Для частного случая $\mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,$ это дает новую формулировку закона сохранения энергии или теоремы Пойнтинга (поскольку здесь мы предполагали материалы без потерь, в отличие от вышеизложенного): Средняя по времени скорость работы, совершаемая током (задаваемая реальной частью $-\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E}$) равен среднему по времени исходящему потоку мощности (интегралу вектора Пойнтинга ). К тому же, однако, поверхностные члены, как правило, не исчезают, если интегрировать по всему пространству для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэлея-Карсона не выполняется без дополнительных предположений.

Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэлея-Карсона, является ключом к созданию таких устройств, как Фарадея изоляторы и циркуляторы . Ток на одной стороне изолятора Фарадея создает поле на другой стороне, но не наоборот.

Обобщение на несимметричные материалы

Для комбинации материалов с потерями и магнитооптических материалов и в целом, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни эрмитовыми матрицами, все же можно получить обобщенную версию взаимности Лоренца, рассматривая $(\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})$ и $(\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})$ существовать в разных системах .

В частности, если $(\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})$ удовлетворяют уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами $(\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,$ и $(\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})$ удовлетворяют уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами $\left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,$ где ${}^{\mathsf {T}}$ обозначает транспонирование , то имеет место уравнение взаимности Лоренца. Это можно далее обобщить на бианизотропные материалы путем транспонирования полного тензора восприимчивости 6×6.

Исключения из взаимности

Для нелинейных сред теорема взаимности обычно не выполняется. Взаимность также обычно не применяется к изменяющимся во времени («активным») средам; например, когда ε модулируется во времени каким-либо внешним процессом. (В обоих этих случаях частота ω обычно не является сохраняющейся величиной.)

Фельд-Тайская взаимность

В 1992 году тесно связанная теорема взаимности была независимо сформулирована Ю.А. Фельдом. и КТ Тай, и известен как взаимность Фельд-Тая или лемма Фельд-Тая . t связывает два локализованных источника тока, гармонических по времени, и результирующие магнитные поля :

$\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatorname {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\operatorname {d} V\ .$

Однако лемма Фельда-Тая справедлива только при гораздо более ограничительных условиях, чем взаимность Лоренца. Обычно для этого требуются инвариантные во времени линейные среды с изотропным однородным импедансом , т.е. постоянным скалярным соотношением µ / ε , за возможным исключением областей идеально проводящего материала.

Точнее, взаимность Фельда-Тая требует эрмитовой (или, скорее, комплексно-симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как указано выше, но также опирается на предположение, что оператор, связывающий $\ \mathbf {E} \$ и $\ i\omega \mathbf {J} \$ является постоянным скалярным кратным оператора, связывающего $\ \mathbf {H} \$ и $\ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,$ что верно, когда ε является постоянным скалярным кратным µ (два оператора обычно отличаются перестановкой ε и µ ). Как и выше, можно построить и более общую формулировку для интегралов по конечному объему.

Оптическая взаимность в радиометрических терминах

Помимо квантовых эффектов, классическая теория охватывает электрические и магнитные явления в ближней, средней и дальней зонах с произвольным течением времени. Оптика относится к почти синусоидальным колебательным электромагнитным эффектам в дальней зоне. Вместо парных электрических и магнитных переменных оптика, включая оптическую взаимность, может быть выражена в парных по поляризации радиометрических переменных, таких как спектральная яркость , традиционно называемая удельной интенсивностью .

В 1856 году Герман фон Гельмгольц писал:

«Луч света, исходящий из точки А, достигает точки В, претерпев любое количество преломлений, отражений и т. д. Пусть в точке А взяты любые две перпендикулярные плоскости а ₁ , а ₂ в направлении луча; и пусть колебания луча разделить на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем подобные плоскости 1 _, b 2 _в луче в точке , тогда можно доказать следующее утверждение. b B a ₁ исходит из A в направлении данного луча, то часть K его света, поляризованного в b _1, попадает в B количество света J, поляризованного в b ₁ исходит , то, наоборот, если из B , то такое же количество света К, поляризованный в 1 _, достигнет А ».

Иногда это называют Гельмгольца . принципом взаимности (или реверсии) Когда волна распространяется через материал, на который воздействует приложенное магнитное поле, взаимность может быть нарушена, поэтому этот принцип неприменим. Точно так же, когда на пути луча имеются движущиеся объекты, этот принцип может оказаться совершенно неприменимым. Исторически сложилось так, что в 1849 году сэр Джордж Стоукс сформулировал свой принцип оптической реверсии, не обращая внимания на поляризацию.

Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы его можно было использовать для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, когда эксперименты являются проверкой предлагаемого закона.

Самая простая формулировка принципа: если я вижу тебя, то и ты можешь видеть меня . Этот принцип использовался Густавом Кирхгофом при выводе закона теплового излучения и Максом Планком при анализе закона теплового излучения .

Для алгоритмов трассировки лучей глобального освещения входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсии друг друга, не влияя на результат функции распределения двунаправленной отражательной способности (BRDF).

Взаимность Грина

В то время как вышеупомянутые теоремы взаимности относились к осциллирующим полям, взаимность Грина является аналогичной теоремой для электростатики с фиксированным распределением электрического заряда (Панофски и Филлипс, 1962).

В частности, пусть $\phi _{1}$ обозначают электрический потенциал, возникающий в результате полной плотности заряда $\rho _{1}$. Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона : $-\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}$, где $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума . Аналогично, пусть $\phi _{2}$ обозначают электрический потенциал, возникающий в результате полной плотности заряда $\rho _{2}$, удовлетворяя $-\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}$. В обоих случаях мы предполагаем, что распределения зарядов локализованы, так что потенциалы можно выбрать так, чтобы они обращались к нулю на бесконечности. Тогда теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов по всему пространству:

$\int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatorname {d} V\ .$

Эта теорема легко доказывается из второго тождества Грина . Аналогично, это утверждение, что

$\int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})dV=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatorname {d} V\ ,$

то есть это $\nabla ^{2}$ является эрмитовым оператором (как следует из двукратного интегрирования по частям).

См. также

• Принцип поверхностной эквивалентности

Ссылки

• Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (Аддисон-Уэсли: Ридинг, Массачусетс, 1960). §89.
• Рональд В. П. Кинг , Фундаментальная электромагнитная теория (Дувр: Нью-Йорк, 1963). §IV.21.
• К. Альтман и К. Сач, Взаимность, пространственное отображение и обращение времени в электромагнетике (Kluwer: Dordrecht, 1991).
• Г. А. Лоренц, «Теорема Пойнтинга об энергии в электромагнитном поле и два общих положения о распространении света», Версль. Кон. Акад. Влажный. Амст. 4 , 176–187 (1895/96).
• Р. Дж. Поттон, «Взаимность в оптике», « Отчеты о прогрессе в физике» 67 , 717–754 (2004). (Обзорная статья по истории этой темы.)
• Дж. Р. Карсон, «Обобщение теоремы взаимности», Bell System Технический журнал 3 (3), 393–399 (1924).
• Дж. Р. Карсон, «Теорема о взаимной энергии», там же . 9 (4), 325–331 (1930).
• Я. Фельд Н., О квадратичной лемме в электродинамике, Сов. Физика: Докл. 37 , 235-236 (1992).
• К.-Т. Тай, «Дополнительные теоремы взаимности в теории электромагнетизма», IEEE Trans. Антенны, предложение 40 (6), 675-681 (1992).
• Вольфганг К. Х. Панофски и Мельба Филлипс, Классическое электричество и магнетизм (Аддисон-Уэсли: Ридинг, Массачусетс, 1962).
• М. Стампф, Электромагнитная взаимность в теории антенн (Wiley-IEEE Press: Пискатауэй, Нью-Джерси: 2018).
• М. Стампф, Электромагнитная взаимность во временной области при моделировании антенн (Wiley-IEEE Press: Пискатауэй, Нью-Джерси: 2020).
• В. С. Асадчи, М. С. Мирмуса, А. Диас-Рубио, С. Фан и С. А. Третьяков, «Учебное пособие по электромагнитной невзаимности и ее происхождению», в Proceedings of the IEEE , vol. 108, нет. 10, стр. 1684–1727, октябрь 2020 г., doi:10.1109/JPROC.2020.3012381 .