Взаимность (электрические сети)

Взаимность в электрических сетях — это свойство цепи, связывающее напряжения и токи в двух точках. Теорема взаимности утверждает, что ток в одной точке цепи из-за напряжения во второй точке такой же, как ток во второй точке из-за того же напряжения в первой. Теорема взаимности справедлива почти для всех пассивных сетей. Теорема взаимности является особенностью более общего принципа взаимности в электромагнетизме .

Описание

Если ток , $I_{\text{A}}$ , подаваемый в порт A, создает напряжение , $V_{\text{B}}$ , в порту B и $I_{\text{A}}$ введенный в порт B, производит $V_{\text{B}}$ в порту А, то сеть называется взаимной. Эквивалентно взаимность можно определить как двойственную ситуацию; подача напряжения, $V_{\text{A}}$ , в порту А вырабатывается ток $I_{\text{B}}$ в порту B и $V_{\text{A}}$ в порту B вырабатывает ток $I_{\text{B}}$ в порту А. ^[1] В общем, пассивные сети взаимны. Любая сеть, полностью состоящая из идеальных емкостей , индуктивностей (включая взаимные индуктивности ) и сопротивлений , то есть элементов, которые являются линейными и двусторонними , будет взаимной. ^[2] Однако пассивные компоненты, которые не являются взаимными, существуют. Любой компонент, содержащий ферромагнитный материал, скорее всего, будет невзаимным. Примеры пассивных компонентов, специально спроектированных так, чтобы быть невзаимными, включают циркуляторы и изоляторы . ^[3]

Передаточная функция взаимной сети обладает тем свойством, что она симметрична относительно главной диагонали , если выражается через матрицу z-параметров , y-параметров или s-параметров . Несимметричная матрица подразумевает невзаимную сеть. не Симметричная матрица подразумевает симметричную сеть . ^[4]

В некоторых параметризациях сетей репрезентативная матрица не симметрична для взаимных сетей. Распространенными примерами являются h-параметры и ABCD-параметры , но все они имеют некоторые другие условия взаимности, которые можно вычислить на основе параметров. Для h-параметров условие $h_{12}=-h_{21}$ а для параметров ABCD это $AD-BC=1$ . Эти представления смешивают напряжения и токи в одном и том же вектор-столбце и поэтому даже не имеют соответствующих единиц в транспонированных элементах. ^[5]

Пример

Пример взаимности можно продемонстрировать с помощью асимметричного резистивного аттенюатора . В качестве примера выбрана асимметричная сеть, поскольку симметричная сеть, очевидно, взаимна.

Подача тока 6 ампер в порт 1 этой сети дает 24 вольта на порту 2.

Подача тока 6 ампер в порт 2 дает 24 вольта в порту 1.

Следовательно, сеть взаимна. В этом примере порт, на который не подается ток, остается разомкнутым. Это связано с тем, что генератор тока, подающий нулевой ток, представляет собой разомкнутую цепь. Если, с другой стороны, нужно подать напряжение и измерить результирующий ток, то порт, к которому напряжение не приложено, будет замкнут накоротко. Это связано с тем, что генератор напряжения, подающий нулевое напряжение, представляет собой короткое замыкание.

Доказательство

Взаимность электрических сетей является частным случаем взаимности Лоренца , но ее также можно доказать более непосредственно на основе сетевых теорем. Это доказательство показывает взаимность для сети с двумя узлами с точки зрения ее матрицы допусков , а затем показывает взаимность для сети с произвольным количеством узлов с помощью аргумента индукции . Линейную сеть можно представить как набор линейных уравнений посредством узлового анализа . Для сети, состоящей из n +1 узлов (один из которых является опорным узлом), где, как правило, между каждой парой узлов имеется проход и где ток подается в каждый узел (обеспечиваемый идеальным источником тока, подключенным между узлом и опорный узел) эти уравнения можно выразить в виде матрицы проводимостей, ^[6]

{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\\vdots \\I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\cdots &Y_{1n}\\Y_{21}&Y_{22}&\cdots &Y_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\cdots &Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n}\end{bmatrix}}

где

I_{k}

— ток, подаваемый в узел k генератором (который равен нулю, если к узлу k не подключен источник тока )

V_{k}

— напряжение в узле k относительно опорного узла (можно также сказать, что это электрический потенциал в узле k )

Y_{jk}

( j ≠ k ) — отрицательный коэффициент проводимости, непосредственно соединяющий узлы j и k (если таковые имеются)

Y_{kk}

представляет собой сумму адмиттансов, подключенных к узлу k (независимо от другого узла, к которому подключен этот адмиттанс).

Это представление соответствует представлению, полученному с помощью узлового анализа . Если мы далее потребуем, чтобы сеть состояла из пассивных двусторонних элементов, то

Y_{jk}=Y_{kj}

поскольку проводимость, соединенная между узлами j и k, является тем же элементом, что и проводимость, соединенная между узлами k и j . Следовательно, матрица симметрична. ^[7] Для случая, когда $n=2$ матрица сводится к

{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}

.

Из чего видно, что

Y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}

и

Y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\ .

Но поскольку $Y_{12}=Y_{21}$ затем,

\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}

что является синонимом условия взаимности. Другими словами, отношение тока на одном порту к напряжению на другом является тем же самым соотношением, если управляемые и измеряемые порты поменяны местами. Таким образом, взаимность доказана для случая $n=2$ . ^[8]

В случае матрицы произвольного размера порядок матрицы можно уменьшить путем исключения узлов . После исключения s -го узла новая матрица проводимости будет иметь вид:

{\begin{bmatrix}(Y_{11}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{1s})&(Y_{12}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{1s})&(Y_{13}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{1s})&\cdots \\(Y_{21}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{2s})&(Y_{22}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{2s})&(Y_{23}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{2s})&\cdots \\(Y_{31}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{3s})&(Y_{32}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{3s})&(Y_{33}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{3s})&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}}

Видно, что эта новая матрица также симметрична. Узлы можно продолжать исключать таким образом до тех пор, пока не останется только симметричная матрица 2×2, включающая два интересующих узла. Поскольку эта матрица симметрична, доказано, что взаимность применяется к матрице произвольного размера, когда один узел приводится в действие напряжением и током, измеренными в другом. Аналогичный процесс с использованием матрицы импеданса из анализа сетки демонстрирует взаимность, когда один узел приводится в действие током, а напряжение измеряется в другом. ^[9]

Ссылки

^ Бакши и Бакши, стр. 7-27–7-28.
^ Кумар, с. 700
^ Харрис, с. 632
^ Чжан и Ли, с. 119
^ Кумар, с. 700
^ Гиймен, стр. 77–79
^ Гиймен, с. 79
^ Гиймен, стр. 148–149
^ Гиймен, стр. 149–150

Библиография

Бакши, UA; Бакши А.В., Электрические сети , Технические издания, 2008. ISBN 8184314647 .
Гиймен, Эрнст А., Вводная теория цепей , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1953. ОСЛК 535111
Кумар, К.С. Суреш, Электрические цепи и сети , Pearson Education India, 2008 г. ISBN 8131713903 .
Харрис, Винсент Г., «СВЧ-ферриты и их применение», гл. 14 дюймов, Майладил Т. Себастьян, Рик Убик, Хели Янтунен, Микроволновые материалы и их применение , John Wiley & Sons, 2017 г. ISBN 1119208521 .
Чжан, Кециан; Ли, Деджи, Электромагнитная теория микроволн и оптоэлектроники , Springer Science & Business Media, 2013 г. ISBN 3662035537 .

[1] Бакши и Бакши, стр. 7-27–7-28.

[2] Кумар, с. 700

[3] Харрис, с. 632

[4] Чжан и Ли, с. 119

[5] Кумар, с. 700

[6] Гиймен, стр. 77–79

[7] Гиймен, с. 79

[8] Гиймен, стр. 148–149

[9] Гиймен, стр. 149–150

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]