Узловой анализ

Действующий закон Кирхгофа является основой узлового анализа.

В анализе электрических цепей узловой анализ , узловой анализ напряжения или метод тока ветви — это метод определения напряжения ( разности потенциалов ) между « узлами » (точками соединения элементов или ветвей) в электрической цепи с точки зрения ветви. токи.

Узловой анализ — это, по сути, систематическое применение закона тока Кирхгофа (KCL) для анализа цепей . Точно так же анализ сетки представляет собой систематическое применение закона напряжения Кирхгофа (KVL). Узловой анализ записывает уравнение в каждом электрическом узле, указывая, что сумма токов ветвей, падающих на узел, должна быть равна нулю (с использованием KCL). Токи ветвей записываются через напряжения в узлах схемы. Как следствие, каждое определяющее соотношение ветви должно давать ток как функцию напряжения; представление о приеме . Например, для резистора I _ветвь = V _ветвь * G, где G (= 1/R) — проводимость (проводимость) резистора.

Узловой анализ возможен, когда все ветвящиеся определяющие отношения элементов схемы имеют адмиттансное представление. Узловой анализ создает компактный набор уравнений для сети, который можно решить вручную, если он небольшой, или можно быстро решить на компьютере с помощью линейной алгебры. Из-за компактной системы уравнений многие моделирования цепей программы (например, SPICE ) используют узловой анализ в качестве основы. более общее расширение узлового анализа — модифицированный узловой анализ Когда элементы не имеют представления адмиттанса, можно использовать .

Процедура

1. Обратите внимание на все соединенные сегменты проводов в цепи. Это узлы узлового анализа.
2. Выберите один узел в качестве опорной точки . Выбор не влияет на напряжения элементов (но влияет на узловые напряжения) и является лишь вопросом соглашения. Выбор узла с наибольшим количеством соединений может упростить анализ. Для схемы из N узлов число узловых уравнений равно N −1.
3. Назначьте переменную для каждого узла, напряжение которого неизвестно. Если напряжение уже известно, нет необходимости назначать переменную.
4. Для каждого неизвестного напряжения составьте уравнение на основе закона тока Кирхгофа (т.е. сложите все токи, выходящие из узла, и отметьте сумму, равную нулю). Ток между двумя узлами равен напряжению узла, из которого ток выходит, минус напряжение узла, из которого ток поступает в узел, разделенные на сопротивление между двумя узлами.
5. Если между двумя неизвестными напряжениями есть источники напряжения, объедините два узла как суперузел . Токи двух узлов объединяются в одно уравнение и формируется новое уравнение для напряжений.
6. Решите систему уравнений одновременного действия для каждого неизвестного напряжения.

Примеры

Базовый случай

Базовый пример схемы с одним неизвестным напряжением, В ₁ .

Единственное неизвестное напряжение в этой цепи равно $V_{1}$. К этому узлу необходимо учитывать три соединения и, следовательно, три тока. Направление токов в расчетах выбрано в сторону от узла.

1. Ток через резистор $R_{1}$: $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$
2. Ток через резистор $R_{2}$: $V_{1}/R_{2}$
3. Ток через источник тока $I_{S}$: $-I_{S}$

Используя действующий закон Кирхгофа, получаем:

$${\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0$$

Это уравнение можно решить относительно V ₁ :

$$V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}$$

Наконец, неизвестное напряжение можно решить, заменив символы числовыми значениями. Любые неизвестные токи легко вычислить, если известны все напряжения в цепи.

$$V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}$$

Суперузлы

В этой схеме VA _{находится} между двумя неизвестными напряжениями и, следовательно, является суперузлом.

В этой схеме изначально имеется два неизвестных напряжения: V ₁ и V ₂ . Уже известно, что напряжение на V ₃ равно V _B , поскольку другой вывод источника напряжения находится под потенциалом земли.

Ток, проходящий через источник напряжения VA _, не может быть рассчитан напрямую. Поэтому мы не можем записать уравнения тока ни для V ₁ , ни для V ₂ . Однако мы знаем, что тот же текущий выходящий узел V2 _должен войти в узел _V1 . Несмотря на то, что узлы не могут быть решены по отдельности, мы знаем, что совокупный ток этих двух узлов равен нулю. Такое объединение двух узлов называется методом суперузла и требует одного дополнительного уравнения: V ₁ = V ₂ + V _A .

Полный набор уравнений для этой схемы:

$${\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}$$

Подставив $$V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}$$

Матричная форма уравнения напряжения узла

В общем, для схемы с $N$ узлов, уравнения напряжения узла, полученные с помощью узлового анализа, могут быть записаны в матричной форме, как показано ниже.Для любого узла $k$, заявляет KCL ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ где $G_{kj}=G_{jk}$ является отрицательным результатом суммы проводимостей между узлами $k$ и $j$, и $v_{k}$ напряжение узла $k$.Это подразумевает ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ где $G_{kk}$ представляет собой сумму проводимостей, подключенных к узлу $k$. Заметим, что первое слагаемое вносит линейный вклад в узел $k$ с помощью $G_{kk}$, а второй член вносит линейный вклад в каждый узел $j$ подключен к узлу $k$ с помощью $G_{jk}$ со знаком минус.Если независимый источник/вход тока $i_{k}$ также прикреплен к узлу $k$, приведенное выше выражение обобщается на ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$.Легко показать, что можно объединить приведенные выше уравнения напряжения в узлах для всех $N$ узлы и запишите их в следующей матричной форме

$${\begin{pmatrix}G_{11}&G_{12}&\cdots &G_{1N}\\G_{21}&G_{22}&\cdots &G_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\G_{N1}&G_{N2}&\cdots &G_{NN}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{N}\end{pmatrix}}$$или просто ${\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}$

Матрица $\mathbf {G}$ в левой части уравнения является сингулярным, поскольку оно удовлетворяет условию $\mathbf {G1} =0$ где $\mathbf {1}$ это $N\times 1$ матрица-столбец, содержащая только 1 с. Это соответствует факту сохранения тока, а именно ${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$и свободу выбора опорного узла (земли). На практике напряжение в опорном узле принимается равным 0. Считайте, что это последний узел, $v_{N}=0$. В этом случае несложно проверить, что полученные уравнения для остальных $N-1$ узлы остаются прежними, и поэтому можно просто отбросить последний столбец, а также последнюю строку матричного уравнения. Эта процедура приводит к $(N-1)\times (N-1)$ размерное неосингулярное матричное уравнение, в котором определения всех элементов остаются неизменными.

См. также

• Анализ сетки
• Матрица Ybus
• Топология (электрические цепи)
• Сохранение заряда
• Принципиальная схема

Ссылки

• П. Димо Узловой анализ энергетических систем Abacus Press, Кент, 1975 г.

Внешние ссылки

• Текущий метод ветвей
• Онлайн-решатель проблем с четырьмя узлами
• Простой пример узлового анализа