Модифицированный узловой анализ

В электротехнике . модифицированный узловой анализ ^[1] или MNA — это расширение узлового анализа , которое определяет не только напряжения в узлах схемы (как в классическом узловом анализе), но и токи некоторых ветвей. Модифицированный узловой анализ был разработан как формализм, позволяющий снизить сложность представления компонентов, определяемых напряжением, в узловом анализе (например, источники напряжения, управляемые напряжением). Это один из таких формализмов. Другие, такие как формулировка разреженной таблицы, ^[2] одинаково общие и связаны посредством матричных преобразований.

Метод

В MNA элементов используются определяющие уравнения ветвей или BCE, т. е. их характеристики вольтамперные и законы цепи Кирхгофа . Метод часто выполняется в четыре этапа: ^[3] но его можно сократить до трех:

Шаг 1

Напишите уравнения KCL схемы. В каждом узле электрической цепи запишите токи, входящие и выходящие из узла. Однако будьте осторожны: в методе MNA ток независимых источников напряжения снимается от «плюса» к «минусу» (см. рисунок 1). Также обратите внимание, что правая часть каждого уравнения всегда равна нулю, так что токам ветвей, входящим в узел, присваивается отрицательный знак, а тем, которые выходят, - положительный знак.

Шаг 2

Используйте BCE с точки зрения узловых напряжений цепи, чтобы исключить как можно больше токов ветвей. Запись BCE через напряжения узлов экономит один шаг. Если бы BCE были записаны в терминах напряжений ветвей, потребовался бы еще один шаг, т.е. замена напряжений ветвей на узловые. В этой статье буква «e» используется для обозначения узловых напряжений, а буква «v» используется для обозначения напряжений ветвей.

Шаг 3

Наконец, запишите неиспользуемые уравнения.

Пример

На рисунке показана последовательная RC-цепь, а в таблице показан BCE линейного резистора и линейного конденсатора. Обратите внимание, что в случае резистора проводимость $G$ я, $G=1/R$ , используется вместо $R$ . Теперь действуем, как описано выше.

Элемент	Уравнение ветвления
Резистор	$I_{R}=GV_{R}$
Конденсатор	$I_{C}=C{\frac {dV_{C}}{dt}}$

Шаг 1

В этом случае имеется два узла: $e_{1}$ и $e_{2}$ . Также есть три течения: $i_{V_{s}}$ , $i_{R}$ и $i_{C}$ .

В узле e1 KCL дает:

$i_{V_{s}}+i_{R}=0$

и в узле e2 :

$-i_{R}+i_{C}=0$

Шаг 2

С указанными в таблице BCE и наблюдением за тем, что:

$V_{s}=e_{1}$

$V_{R}=e_{1}-e_{2}$

$V_{C}=e_{2},$

результатом являются следующие уравнения:

$G(e_{1}-e_{2})+i_{V_{S}}=0$

$C{\frac {de_{2}}{dt}}+G(e_{2}-e_{1})=0$

Шаг 3

Обратите внимание, что в этот момент есть два уравнения, но три неизвестных. Недостающее уравнение возникает из-за того, что

$e_{1}=V_{s}$

и, наконец, у нас есть три уравнения и три неизвестных, что приводит к разрешимой линейной системе.

Модифицированный узловой анализ и DAE

Если вектор $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ определено, то приведенные выше уравнения можно представить в виде $Ex'(t)+Ax(t)=f,$

где $A={\begin{pmatrix}G&-G&1\\-G&G&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$ , $E={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&C&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ и $f={\begin{pmatrix}0&0&V_{s}\end{pmatrix}}^{T}$ .

Это линейное дифференциально-алгебраическое уравнение (ДАУ), поскольку $E$ является единственным. Можно доказать, что такой DAE, полученный в результате модифицированного узлового анализа, будет иметь индекс дифференциации меньше или равный двум, пока используются только пассивные компоненты RLC. ^[4]^{[ нужна полная цитата ]} При использовании активных компонентов, например операционных усилителей , индекс дифференциации может быть сколь угодно высоким. ^[5]

Негладкий анализ

DAE предполагают плавные характеристики для отдельных компонентов; например, диод можно смоделировать/представить в MNA с ДАЭ с помощью уравнения Шокли , но нельзя использовать явно более простую (более идеальную) модель, в которой резко экспоненциальные области прямой и пробойной проводимости кривой представляют собой просто прямые вертикальные линии. Анализ схем (включая MNA) с использованием уравнений последнего типа на самом деле более сложен (чем с использованием ДАУ) и является темой анализа негладких динамических систем (NSDS), который опирается на теорию дифференциальных включений . ^[6]^[7]

Ссылки

^ Хо, Рюли и Бреннан (апрель 1974 г.). «Модифицированный узловой подход к сетевому анализу». Учеб. 1974 Международный. Симпозиум по схемам и системам, Сан-Франциско . стр. 505–509. дои : 10.1109/TCS.1975.1084079 . {{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Хачтел Г., Брайтон Р. и Густавсон Ф. (январь 1971 г.). «Подход к сетевому анализу и проектированию на основе разреженных таблиц». Транзакции IEEE по теории цепей . 18 (1): 101–113. дои : 10.1109/TCT.1971.1083223 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Ченг, Чунг-Куан. Конспекты лекций для CSE245: Компьютерное моделирование и проверка цепей. Весна 2006. Лекция 1.
^ Тишендорф К. Топологический индекс DAE в схемном моделировании.
^ К.Е. Бренан; С.Л. Кэмпбелл; Л. Р. Петцольд (1996). Численное решение начальных задач в дифференциально-алгебраических уравнениях . СИАМ. стр. 173–177. ISBN 978-1-61197-122-4 .
^ Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и моделирование коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. стр. 3–4 (на примере диода). ISBN 978-90-481-9681-4 .
^ Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6 .

Внешние ссылки

«Модифицированный узловой анализ (описание алгоритма DC в технической документации Qucs)» . Проверено 22 декабря 2012 г.

[1] Хо, Рюли и Бреннан (апрель 1974 г.). «Модифицированный узловой подход к сетевому анализу». Учеб. 1974 Международный. Симпозиум по схемам и системам, Сан-Франциско . стр. 505–509. дои : 10.1109/TCS.1975.1084079 . {{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] Хачтел Г., Брайтон Р. и Густавсон Ф. (январь 1971 г.). «Подход к сетевому анализу и проектированию на основе разреженных таблиц». Транзакции IEEE по теории цепей . 18 (1): 101–113. дои : 10.1109/TCT.1971.1083223 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Ченг, Чунг-Куан. Конспекты лекций для CSE245: Компьютерное моделирование и проверка цепей. Весна 2006. Лекция 1.

[4] Тишендорф К. Топологический индекс DAE в схемном моделировании.

[BrenanCampbell1996-5] К.Е. Бренан; С.Л. Кэмпбелл; Л. Р. Петцольд (1996). Численное решение начальных задач в дифференциально-алгебраических уравнениях . СИАМ. стр. 173–177. ISBN 978-1-61197-122-4 .

[AcaryBonnefon2010-6] Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и моделирование коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. стр. 3–4 (на примере диода). ISBN 978-90-481-9681-4 .

[Kunze2000-7] Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]