Уравнение диода Шокли

закона диодного закона Кривые вольт-амперного при 25 °C, 50 °C и двух факторах идеальности . Логарифмический масштаб зависимости уравнения , используемый для нижнего графика, полезен для выражения экспоненциальной .

Уравнение диода Шокли , или закон диода , названный в честь транзистора соавтора Уильяма Шокли из Bell Labs , моделирует экспоненциальную зависимость ток-напряжение (ВАХ) полупроводниковых диодов при с умеренным постоянным током прямом или обратном смещении :

$I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),$

где

$I_{\text{D}}$ ток диода,

$I_{\text{S}}$ - ток насыщения обратного смещения (или ток шкалы),

$V_{\text{D}}$ напряжение на диоде,

$V_{\text{T}}$ – тепловое напряжение , а

$n$ – это коэффициент идеальности , также известный как коэффициент качества или коэффициент выбросов .

Уравнение называется уравнением идеального диода Шокли, когда коэффициент идеальности $n$ равно 1, таким образом $n$ иногда опускается. Коэффициент идеальности обычно варьируется от 1 до 2 (хотя в некоторых случаях может быть выше) в зависимости от процесса изготовления и материала полупроводника . Коэффициент идеальности был добавлен для учета несовершенных переходов, наблюдаемых в реальных транзисторах, в основном из-за рекомбинации носителей заряда , когда носители заряда пересекают область обеднения .

Тепловое напряжение $V_{\text{T}}$ определяется как:

$V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},$

где

$k$ — постоянная Больцмана ,

$T$ – абсолютная температура p – n-перехода,

$q$ — элементарный заряд величина ) заряда электрона ( .

Например, оно составляет примерно 25,852   мВ при 300 К (27 ° C; 80 ° F).

Обратный ток насыщения $I_{\text{S}}$ не является постоянным для данного устройства, а меняется в зависимости от температуры; обычно более существенно, чем $V_{\text{T}}$, так что $V_{\text{D}}$ обычно уменьшается по мере $T$ увеличивается.

При обратном смещении член уравнения диода экспоненциальный близок к 0, поэтому ток близок к несколько постоянному значению. $-I_{\text{S}}$ значение обратного тока (примерно пикоампер для кремниевых диодов или микроампер для германиевых диодов, хотя это, очевидно, зависит от размера).

Для умеренных напряжений прямого смещения экспонента становится намного больше 1, поскольку тепловое напряжение по сравнению с этим очень мало. $-1$ в уравнении диода тогда пренебрежимо мал, поэтому прямой ток диода будет приближаться к

$I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.$

Использование уравнения диода в схемотехнических задачах проиллюстрировано в статье о моделировании диодов .

Ограничения

Внутреннее сопротивление вызывает «выравнивание» ВАХ реального диода при сильном прямом смещении. добавление сопротивления Уравнение Шокли не моделирует это, но последовательное поможет.

Область обратного пробоя (особенно представляющая интерес для стабилитронов ) не моделируется уравнением Шокли.

Уравнение Шокли не моделирует шум (например, шум Джонсона-Найквиста от внутреннего сопротивления или дробовой шум ).

Уравнение Шокли представляет собой зависимость постоянного тока (установившегося состояния) и, таким образом, не учитывает переходную реакцию диода , которая включает в себя влияние его внутреннего перехода, диффузионной емкости и времени обратного восстановления .

Вывод

Шокли вывел уравнение для напряжения на pn-переходе в большой статье, опубликованной в 1949 году. Позже он дает соответствующее уравнение для тока как функции напряжения при дополнительных предположениях, которое мы называем уравнением идеального диода Шокли. Он называет это «теоретической формулой исправления, дающей максимальное исправление», со ссылкой на статью Карла Вагнера , Physikalische Zeitschrift 32 , стр. 641–645 (1931).

Чтобы вывести свое уравнение для напряжения, Шокли утверждает, что общее падение напряжения можно разделить на три части:

• падение квазиуровня Ферми дырок от уровня приложенного напряжения на p-выводе до его значения в точке, где легирование нейтрально (которое мы можем назвать переходом),
• разница между квазиуровнем Ферми дырок на переходе и уровнем электронов на переходе,
• падение квазиуровня Ферми электронов от перехода к n-концу.

Он показывает, что первое и третье из них можно выразить как сопротивление, умноженное на ток: $I_{\text{D}}R_{1}.$ Что касается второго, разницы между квазиуровнями Ферми в переходе, то он говорит, что по этой разнице мы можем оценить ток, текущий через диод. Он указывает, что ток на p-терминале состоит только из дырок, тогда как на n-терминале это все электроны, и сумма этих двух представляет собой постоянный общий ток. Таким образом, общий ток равен уменьшению тока дырки от одной стороны диода к другой. Это уменьшение обусловлено превышением рекомбинации электронно-дырочных пар над генерацией электронно-дырочных пар. Скорость рекомбинации равна скорости генерации в состоянии равновесия, то есть когда два квазиуровня Ферми равны. Но когда уровни квазиФерми не равны, то скорость рекомбинации равна $e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}$ раз превышает скорость генерации. Затем мы предполагаем, что большая часть избыточной рекомбинации (или уменьшения дырочного тока) происходит в слое, проходящем на одну диффузионную длину дырки. $L_{\text{p}}$ в n-материал и одну диффузионную длину электрона $L_{\text{n}}$ в p-материал и что разница между квазиуровнями Ферми в этом слое постоянна при $V_{\text{J}}.$ Затем мы находим, что полный ток, или падение дырочного тока, равен

$I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),$

где

$I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),$

и $g$ это скорость генерации. Мы можем решить для $V_{\text{J}}$ с точки зрения $I_{\text{D}}$:

$V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right),$

и полное падение напряжения тогда

$V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right).$

Когда мы предполагаем, что $R_{1}$ мала, получаем $V=V_{\text{J}}$ и уравнение идеального диода Шокли.

Небольшой ток, протекающий при сильном обратном смещении, является результатом термической генерации электронно-дырочных пар в слое. Электроны затем перетекают к n-терминалу, а дырки — к p-терминалу. Концентрация электронов и дырок в слое настолько мала, что рекомбинация там незначительна.

В 1950 году Шокли и его коллеги опубликовали короткую статью, описывающую германиевый диод , который точно соответствовал идеальному уравнению.

В 1954 году Билл Пфанн и В. ван Росбрук (которые также работали в Bell Telephone Laboratories) сообщили, что, хотя уравнение Шокли применимо к некоторым германиевым переходам, для многих кремниевых переходов ток (при заметном прямом смещении) был пропорционален $e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},$ при этом A имеет значение 2 или 3. Это фактор идеальности $n$ выше.

Фейнман дал вывод, используя броуновский храповик в «Фейнмановских лекциях по физике» I.46.

Фотоэлектрическое преобразование энергии

В 1981 году Алексис де Вос и Герман Паувелс показали, что более тщательный анализ квантовой механики перехода при определенных предположениях дает зависимость тока от напряжения вида

$I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],$

где A — площадь поперечного сечения перехода, F _i — количество входящих фотонов на единицу площади в единицу времени с энергией, превышающей энергию запрещенной зоны, а F _o ( V ) — исходящие фотоны, заданные к

$F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{kT_{c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .$

Требуется коэффициент 2, умножающий исходящий поток, поскольку фотоны испускаются с обеих сторон, но предполагается, что входящий поток исходит только с одной стороны.Хотя анализ проводился для фотоэлектрических элементов при освещении, он применим также и тогда, когда освещение представляет собой просто фоновое тепловое излучение, при условии, что для этого входящего потока также используется коэффициент 2. Анализ дает более строгое выражение для идеальных диодов в целом, за исключением того, что он предполагает, что ячейка достаточно толстая, чтобы производить этот поток фотонов. Когда освещение представляет собой просто фоновое тепловое излучение, характеристика равна

$I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].$

Обратите внимание, что, в отличие от закона Шокли, ток стремится к бесконечности при достижении напряжения на промежутке hν _g /q . Это, конечно, потребует бесконечной толщины, чтобы обеспечить бесконечное количество рекомбинаций.

Это уравнение было недавно пересмотрено для учета нового температурного масштаба в пересмотренном текущем $I_{\text{S}}$ используя последнюю модель для 2D материалов на основе диода Шоттки.