Моделирование диодов

В электронике относится к математическим моделям , моделирование диодов используемым для аппроксимации фактического поведения реальных диодов для проведения расчетов и анализа цепей. диода ​ ВАХ ​ ​ ​ нелинейна ​ .

Очень точная, но сложная физическая модель составляет ВАХ из трех экспонент с несколько разной крутизной (т.е. коэффициентом идеальности ), которые соответствуют различным механизмам рекомбинации в устройстве; при очень больших и очень малых токах кривая может быть продолжена линейными сегментами (т.е. резистивное поведение).

В относительно хорошем приближении диод моделируется одноэкспоненциальным диодным законом Шокли . Эта нелинейность по-прежнему усложняет расчеты в схемах с диодами. поэтому часто используются даже более простые модели.

В этой статье обсуждается моделирование диодов с pn-переходом , но методы могут быть распространены и на другие твердотельные диоды.

Моделирование больших сигналов

Модель диода Шокли

Уравнение диода Шокли связывает ток диода $I$ диода с pn-переходом к напряжению на диоде $V_{D}$. диода Это соотношение и есть ВАХ :

$I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}-1\right)$,

где $I_{S}$ — ток насыщения или масштабный ток диода (величина тока, протекающего при отрицательном $V_{D}$ свыше нескольких $V_{\text{T}}$, обычно 10 ⁻¹²  А). Масштабный ток пропорционален площади поперечного сечения диода. Продолжаем символы: $V_{\text{T}}$ – тепловое напряжение ( $kT/q$, около 26 мВ при нормальной температуре) и $n$ известен как коэффициент идеальности диода (для кремниевых диодов $n$ составляет примерно 1 к 2).

Когда $V_{D}\gg nV_{\text{T}}$ формулу можно упростить до:

$I\approx I_{S}\cdot e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}$.

Однако это выражение является лишь приближением более сложной ВАХ. Его применимость особенно ограничена в случае ультрамелких переходов, для которых существуют более совершенные аналитические модели.

Пример схемы диод-резистор

Чтобы проиллюстрировать сложности использования этого закона, рассмотрим задачу определения напряжения на диоде, показанном на рисунке 1.

Рисунок 1: Диодная схема с резистивной нагрузкой.

Поскольку ток, текущий через диод, такой же, как ток во всей цепи, мы можем составить другое уравнение. По законам Кирхгофа ток, текущий в цепи, равен

$I={\frac {V_{S}-V_{D}}{R}}$.

Эти два уравнения определяют ток диода и напряжение диода. Чтобы решить эти два уравнения, мы могли бы заменить ток $I$ из второго уравнения в первое уравнение, а затем попытайтесь переставить полученное уравнение так, чтобы получить $V_{D}$ с точки зрения $V_{S}$. Трудность этого метода состоит в том, что закон диода нелинейный. Тем не менее, формула, выражающая $I$ непосредственно с точки зрения $V_{S}$ без участия $V_{D}$ можно получить с помощью Ламберта W -функции , которая является обратной функцией $f(w)=we^{w}$, то есть, $w=W(f)$. Это решение обсуждается далее.

Явное решение

Явное выражение для тока диода можно получить через Ламберта W -функцию (также называемую функцией Омеги). Ниже приводится инструкция по этим манипуляциям. Новая переменная $w$ представлен как

$w={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)$.

После замен $I/I_{S}=e^{V_{D}/nV_{\text{T}}}-1$:

$we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}e^{{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}$

и $V_{D}=V_{S}-IR$:

$we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{S}}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {-IR}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {IRI_{S}}{nV_{\text{T}}I_{S}}}e^{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}$

перестановка диодного закона через w становится:

$we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}$,

который с помощью Ламберта $W$-функция становится

$w=W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)$.

Окончательное явное решение

$I={\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)-I_{S}$.

С приближениями (справедливо для наиболее распространенных значений параметров) $I_{s}R\ll V_{S}$ и $I/I_{S}\gg 1$, это решение становится

$I\approx {\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}\right)$.

После определения тока напряжение на диоде можно найти с помощью любого из других уравнений.

Для большого х $W(x)$ может быть аппроксимировано $W(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1)$. Для общих физических параметров и сопротивлений ${\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}$ будет порядка 10 ⁴⁰ .

Итеративное решение

Напряжение диода $V_{D}$ можно найти с точки зрения $V_{S}$ для любого конкретного набора значений итерационным методом с использованием калькулятора или компьютера. Диодный закон преобразуется путем деления на $I_{S}$, и добавив 1. Диодный закон становится

$e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}={\frac {I}{I_{S}}}+1$.

Беря натуральные логарифмы обеих частей, экспоненту удаляют, и уравнение принимает вид

${\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)$.

Для любого $I$, это уравнение определяет $V_{D}$. Однако, $I$ также должен удовлетворять уравнению закона Кирхгофа, приведенному выше. Это выражение заменяется на $I$ чтобы получить

${\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)$,

или

$V_{D}=nV_{\text{T}}\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)$.

Напряжение источника $V_{S}$ - известное заданное значение, но $V_{D}$ находится по обе стороны уравнения, что приводит к итеративному решению: начальное значение для $V_{D}$ угадывается и помещается в правую часть уравнения. Проводя различные операции с правой стороны, приходим к новому значению для $V_{D}$. Это новое значение теперь подставляется в правую часть и так далее. Если эта итерация сходится значения $V_{D}$ становятся все ближе и ближе друг к другу по мере продолжения процесса, и мы сможем остановить итерацию, когда точность станет достаточной. Один раз $V_{D}$ найден, $I$ можно найти из уравнения закона Кирхгофа.

Иногда итерационная процедура критически зависит от первого предположения. В этом примере подойдет почти любое первое предположение, скажем $V_{D}=600\,{\text{mV}}$. Иногда итерационная процедура вообще не сходится: в этой задаче итерация, основанная на показательной функции, не сходится, поэтому уравнения были переставлены для использования логарифма. Поиск сходящейся итеративной формулировки — это искусство, и каждая проблема индивидуальна.

Графическое решение

Графическое определение рабочей точки через пересечение диодной характеристики с линией резистивной нагрузки.

Графический анализ — это простой способ получить численное решение трансцендентных уравнений, описывающих диод. Как и большинство графических методов, он имеет преимущество простой визуализации. Построив ВАХ . , можно получить приближенное решение с любой произвольной степенью точности Этот процесс является графическим эквивалентом двух предыдущих подходов, которые более поддаются компьютерной реализации.

Этот метод отображает два уравнения тока-напряжения на графике, и точка пересечения двух кривых удовлетворяет обоим уравнениям, давая значение тока, протекающего через цепь, и напряжения на диоде. Рисунок иллюстрирует такой метод.

Кусочно-линейная модель

Кусочно-линейная аппроксимация характеристики диода.

На практике графический метод сложен и непрактичен для сложных схем. Другой метод моделирования диода называется кусочно-линейным (PWL) моделированием . В математике это означает взять функцию и разбить ее на несколько линейных сегментов. Этот метод используется для аппроксимации характеристической кривой диода как серии линейных сегментов. Реальный диод моделируется как 3 последовательно соединенных компонента: идеальный диод, источник напряжения и резистор .

На рисунке показана ВАХ реального диода, аппроксимированная двухсегментной кусочно-линейной моделью. Обычно наклонный сегмент линии выбирается по касательной к кривой диода в Q. точке Тогда наклон этой линии определяется обратной величиной сопротивления диода при слабом сигнале в точке Q.

Математически идеализированный диод

ВАХ идеального диода.

Во-первых, рассмотрим математически идеализированный диод. В таком идеальном диоде, если диод смещен в обратном направлении, ток, протекающий через него, равен нулю. Этот идеальный диод начинает проводить ток при 0 В, и при любом положительном напряжении течет бесконечный ток, и диод действует как короткое замыкание. ВАХ идеального диода показаны ниже:

Идеальный диод последовательно с источником напряжения

Теперь рассмотрим случай, когда мы добавляем источник напряжения последовательно с диодом в виде, показанном ниже:

Идеальный диод с последовательным источником напряжения.

При прямом смещении идеальный диод представляет собой просто короткое замыкание, а при обратном смещении — разомкнутую цепь.

Если анод диода подключен к 0   В, напряжение на катоде будет равно Vt , поэтому потенциал на катоде будет больше, чем потенциал на аноде, и диод будет смещен в обратном направлении. Чтобы диод стал проводить ток, напряжение на аноде необходимо довести до Vt . Эта схема аппроксимирует напряжение включения, присутствующее в реальных диодах. Комбинированная ВАХ этой схемы показана ниже:

ВАХ идеального диода при последовательном источнике напряжения.

Модель диода Шокли можно использовать для прогнозирования приблизительного значения $V_{t}$.

${\begin{aligned}&I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}-1\right)\\\Leftrightarrow {}&\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)={\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\\\Leftrightarrow {}&V_{D}=n\cdot V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)\approx n\cdot V_{\text{T}}\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}\right)\\\Leftrightarrow {}&V_{D}\approx n\cdot V_{\text{T}}\cdot \ln {10}\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}\end{aligned}}$

С использованием $n=1$ и $T=25\,{\text{°C}}$:

$V_{D}\approx 0.05916\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}$

Типичные значения тока насыщения при комнатной температуре:

• $I_{S}=10^{-12}$ для кремниевых диодов;
• $I_{S}=10^{-6}$ для германиевых диодов.

В качестве вариации $V_{D}$ идет с логарифмом отношения ${\frac {I}{I_{S}}}$, его значение меняется очень незначительно при большом изменении отношения. Использование десятичных логарифмов облегчает задачу. думайте по порядку.

Для тока 1,0   мА:

• $V_{D}\approx 0.53\,{\text{V}}$ для кремниевых диодов (9 порядков);
• $V_{D}\approx 0.18\,{\text{V}}$ для германиевых диодов (3 порядка).

Для тока 100   мА:

• $V_{D}\approx 0.65\,{\text{V}}$ для кремниевых диодов (11 порядков);
• $V_{D}\approx 0.30\,{\text{V}}$ для германиевых диодов (5 порядков).

Для кремниевых диодов обычно используются значения 0,6 или 0,7 В.

Диод с источником напряжения и токоограничивающим резистором

Последнее, что нужно, это резистор для ограничения тока, как показано ниже:

Идеальный диод с последовательным источником напряжения и резистором.

ВАХ : конечного контура выглядит следующим образом

ВАХ идеального диода с последовательным источником напряжения и резистором.

Настоящий диод теперь можно заменить комбинированным идеальным диодом, источником напряжения и резистором, а затем схема моделируется с использованием только линейных элементов. Если сегмент наклонной линии касается реальной кривой диода в точке Q , эта приблизительная схема имеет ту же самую схему слабого сигнала в точке Q, что и реальный диод.

Двойные PWL-диоды или модель с 3-линейным PWL

IV характеристика стандартной модели PWL (отмечена красными треугольниками), как описано выше. Для справки показана стандартная модель диода Шокли (отмечена синими ромбами). Параметры Шокли I _s = 1e - 12 А, V _t = 0,0258 В.

Если при моделировании характеристики включения диода требуется большая точность, модель можно улучшить, удвоив стандартную PWL-модель. В этой модели используются два параллельных кусочно-линейных диода, чтобы более точно смоделировать один диод.

Модель PWL Diode с двумя ветвями. Верхняя ветвь имеет более низкое прямое напряжение и более высокое сопротивление. Это позволяет диоду включаться более плавно и в этом плане более точно моделирует реальный диод. Нижняя ветвь имеет более высокое прямое напряжение и более низкое сопротивление, что обеспечивает высокий ток при высоком напряжении.

График ВАХ этой модели (отмечен красными треугольниками) по сравнению со стандартной моделью диода Шокли (отмечен синими ромбами). Параметры Шокли I _s = 1e - 12 А, V _t = 0,0258 В.

Моделирование малых сигналов

Сопротивление

Используя уравнение Шокли, сопротивление диода слабого сигнала $r_{D}$ диода можно определить относительно некоторой рабочей точки ( Q-точки ), где постоянный ток смещения равен $I_{Q}$ а приложенное напряжение Q-точки равно $V_{Q}$. Для начала проводимость диода по малому сигналу $g_{D}$ находится, то есть изменение тока в диоде, вызванное небольшим изменением напряжения на диоде, деленное на это изменение напряжения, а именно:

$g_{D}=\left.{\frac {dI}{dV}}\right|_{Q}={\frac {I_{s}}{n\cdot V_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\approx {\frac {I_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}$.

Последнее приближение предполагает, что ток смещения $I_{Q}$ достаточно велико, так что коэффициент 1 в скобках уравнения диода Шокли можно пренебречь. Это приближение является точным даже при весьма малых напряжениях, поскольку тепловое напряжение $V_{\text{T}}\approx 25\,{\text{mV}}$ при 300   К, так что $V_{Q}/V_{\text{T}}$ имеет тенденцию быть большим, что означает, что экспонента очень велика.

Отмечая, что сопротивление слабого сигнала $r_{D}$ является обратной величиной только что найденной проводимости слабого сигнала, сопротивление диода не зависит от переменного тока, но зависит от постоянного тока и определяется как

$r_{D}={\frac {n\cdot V_{\text{T}}}{I_{Q}}}$.

Емкость

Заряд диода, несущего ток $I_{Q}$ известно, что это

$Q=I_{Q}\tau _{F}+Q_{J}$,

где $\tau _{F}$ – время прямого прохождения носителей заряда: Первый член заряда — это заряд, проходящий через диод, когда ток $I_{Q}$ течет. Второй член — это заряд, накопленный в самом переходе, если рассматривать его как простой конденсатор ; то есть как пара электродов с противоположными зарядами на них. Это заряд, накопленный на диоде благодаря простому наличию напряжения на нем, независимо от тока, который он проводит.

Как и раньше, емкость диода представляет собой изменение заряда диода с изменением напряжения на диоде:

$C_{D}={\frac {dQ}{dV_{Q}}}={\frac {dI_{Q}}{dV_{Q}}}\tau _{F}+{\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}\approx {\frac {I_{Q}}{V_{\text{T}}}}\tau _{F}+C_{J}$,

где $C_{J}={\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}$ — емкость перехода, а первый член называется диффузионной емкостью , поскольку он связан с током, диффундирующим через переход.

Изменение прямого напряжения в зависимости от температуры

Уравнение диода Шокли имеет экспоненту $V_{D}/(kT/q)$, что позволяет ожидать, что прямое напряжение увеличивается с температурой. На самом деле это, как правило, не так: с ростом температуры ток насыщения $I_{S}$ возрастает, и этот эффект преобладает. Таким образом, по мере того, как диод становится более горячим , прямое напряжение (для данного тока) уменьшается .

Вот некоторые подробные экспериментальные данные, который показывает это для кремниевого диода 1N4005. Фактически, некоторые кремниевые диоды используются в качестве датчиков температуры; например, серия CY7 от OMEGA имеет прямое напряжение 1,02   В в жидком азоте (77   К), 0,54   В при комнатной температуре и 0,29   В при 100 °C.

Кроме того, наблюдается небольшое изменение запрещенной зоны материала с температурой. Для светодиодов это изменение запрещенной зоны также меняет их цвет: при охлаждении они смещаются в сторону синего конца спектра.

Поскольку прямое напряжение диода падает с ростом его температуры, это может привести к тепловому разгону из -за ограничения тока при параллельном включении в цепи биполярных транзисторов (поскольку переход база-эмиттер биполярного транзистора действует как диод), при котором снижается Прямое напряжение база-эмиттер приводит к увеличению рассеиваемой мощности коллектора, что, в свою очередь, еще больше снижает необходимое прямое напряжение база-эмиттер.

См. также

• Биполярный транзистор
• Моделирование полупроводниковых устройств