Топология схемы (электрическая)

Эта статья о топологии электрических цепей. Чтобы узнать о топологии полимеров, см. Топологию схемы .

Топология это — электронной схемы форма сети взаимосвязей компонентов схемы. Различные конкретные значения или номиналы компонентов считаются одной и той же топологией. Топология не связана ни с физическим расположением компонентов в схеме, ни с их положением на принципиальной схеме ; подобно математической концепции топологии , она касается только того, какие связи существуют между компонентами. Может существовать множество физических схем и принципиальных схем, которые имеют одну и ту же топологию.

Строго говоря, замена компонента на компонент совершенно другого типа — это все та же топология. Однако в некоторых контекстах их можно условно описать как разные топологии. Например, замена катушек индуктивности и конденсаторов в нижних частот фильтре приводит к созданию фильтра верхних частот . Их можно описать как топологии верхних и нижних частот, хотя топология сети идентична. Более правильный термин для этих классов объектов (то есть сети, где указан тип компонента, но не абсолютное значение) — сеть-прототип .

Топология электронной сети связана с математической топологией . В частности, для сетей, содержащих только двухполюсные устройства, топологию схемы можно рассматривать как применение теории графов . При сетевом анализе такой схемы с топологической точки зрения узлы сети являются вершинами теории графов, а ветви сети — рёбрами теории графов.

Стандартную теорию графов можно расширить для работы с активными компонентами и многополюсными устройствами, такими как интегральные схемы . Графы также можно использовать при анализе бесконечных сетей .

Принципиальные схемы

Принципиальные схемы в этой статье соответствуют обычным соглашениям в электронике; линии представляют собой проводники , закрашенные маленькие кружки представляют собой соединения проводников, а открытые маленькие кружки представляют собой клеммы для подключения к внешнему миру. В большинстве случаев импедансы изображаются прямоугольниками. На практической принципиальной схеме будут использоваться специальные символы для резисторов , катушек индуктивности , конденсаторов и т. д., но топология не связана с типом компонента в сети, поэтому символ общего импеданса вместо этого используется .

В разделе теории графов этой статьи представлен альтернативный метод представления сетей.

Имена топологий

Многие имена топологий связаны с их внешним видом при схематическом изображении. Большинство схем можно нарисовать разными способами и, следовательно, иметь разные имена. Например, все три схемы, показанные на рисунке 1.1, выглядят по-разному, но имеют одинаковую топологию.

Рисунок 1.1 . Топологии T, Y и Star идентичны.

Этот пример также демонстрирует общепринятое соглашение об именовании топологий по буквам алфавита, с которыми они похожи. Буквы греческого алфавита также можно использовать таким образом, например, топология Π ( pi ) и топология Δ ( дельта ).

Последовательные и параллельные топологии

Для сети с двумя компонентами или ветвями возможны только две топологии: последовательная и параллельная .

Рисунок 1.2 . Последовательная и параллельная топологии с двумя ветвями

Даже для этих простейших топологий существуют варианты представления схемы.

Рисунок 1.3 . Все эти топологии идентичны. Последовательная топология — это общее название. делитель напряжения В схемах этой цели используется или делитель потенциала. L-сечение — это общее название топологии при проектировании фильтров.

Для сети с тремя ветвями возможны четыре топологии.

Рисунок 1.4 . Последовательная и параллельная топологии с тремя ветвями

Обратите внимание, что параллельно-последовательная топология — это еще одно представление топологии «Дельта», обсуждаемой позже.

Последовательные и параллельные топологии можно продолжать строить со все большим и большим числом ветвей до бесконечности . Количество уникальных топологий, которые можно получить из $n\in \mathbb {N}$ последовательные или параллельные ветки — 1, 2, 4, 10, 24, 66, 180, 522, 1532, 4624, $\dots$ (последовательность A000084 в OEIS ).

Топологии Y и Δ

Рисунок 1.5 . Топологии Y и Δ

Y и Δ являются важными топологиями в линейном анализе сетей, поскольку это простейшие из возможных трехполюсных сетей. Преобразование Y-Δ доступно для линейных цепей. Это преобразование важно, поскольку существуют сети, которые невозможно анализировать с точки зрения последовательных и параллельных комбинаций. Эти сети часто возникают в трехфазных силовых цепях, поскольку они представляют собой две наиболее распространенные топологии для трехфазных обмоток двигателя или трансформатора.

Рисунок 1.6

Примером этого является сеть на рисунке 1.6, состоящая из сети Y, соединенной параллельно с сетью Δ. Допустим, необходимо вычислить полное сопротивление между двумя узлами сети. Во многих сетях это можно сделать путем последовательного применения правил комбинации последовательных или параллельных импедансов. Однако это невозможно в том случае, когда в дополнение к правилам серии и параллельности необходимо преобразование Y-Δ. Топологию Y также называют звездообразной топологией. Однако звездообразная топология может также относиться к более общему случаю, когда к одному узлу подключено множество ветвей, а не только три.

См. также: Преобразование звездной сетки.

Простые топологии фильтров

Основная статья: Топология электронного фильтра

Рисунок 1.7 . Общие топологии балансных и несбалансированных фильтров.

Топологии, показанные на рисунке 1.7, обычно используются для проектирования фильтров и аттенюаторов . Топология L-образного сечения идентична топологии потенциального делителя. Топология Т-образного сечения идентична топологии Y. П-сечение имеет топологию, идентичную топологии Δ.

Все эти топологии можно рассматривать как краткий раздел лестничной топологии . Более длинные секции обычно описываются как лестничная топология. Подобные схемы обычно анализируются и характеризуются с точки зрения двухпортовой сети .

Топология моста

Основная статья: Мостовая схема

Рисунок 1.8

Топология моста является важной топологией, которая имеет множество применений как в линейных, так и в нелинейных приложениях, включая, среди многих других, мостовой выпрямитель , мост Уитстона и решеточный фазовый эквалайзер . Существует несколько способов отображения топологии моста на принципиальных схемах. Первое изображение на рисунке 1.8 представляет собой традиционное изображение мостовой схемы. Второй рендеринг ясно показывает эквивалентность топологии моста и топологии, полученной последовательными и параллельными комбинациями. Третий рендеринг более известен как решетчатая топология. Не столь очевидно, что это топологически эквивалентно. В этом можно убедиться, визуализируя верхний левый узел, перемещенный вправо от верхнего правого узла.

Рисунок 1.9 . Показана мостовая схема с мостовой выходной нагрузкой

Топологию сетевого моста нормально называть только в том случае, если она используется как двумя портами сеть с , каждый из которых состоит из пары диагонально противоположных узлов. Топология блока на рисунке 1.7 идентична топологии моста, но в случае фильтра каждый входной и выходной порты представляют собой пару соседних узлов. Иногда компонент загрузки (или нулевой индикации) на выходном порту моста включается в топологию моста, как показано на рисунке 1.9.

Топологии Bridged T и Twin-T

Рисунок 1.10 . Мостовая Т-топология

Топология Bridged T получена из топологии моста способом, описанным в статье о сети Zobel . В той же статье также обсуждается множество производных топологий.

Рисунок 1.11

Существует также топология Twin-T, которая имеет практическое применение, когда желательно, чтобы вход и выход имели общую ( заземляющую ) клемму. Это может быть связано, например, с тем, что входные и выходные соединения выполнены по коаксиальной топологии . Соединение входных и выходных клемм вместе при обычной мостовой топологии невозможно, и по этой причине Twin-T используется там, где в противном случае мост использовался бы для измерения баланса или нуля. Топология также используется в генераторе Twin-T в качестве генератора синусоидальных волн. В нижней части рисунка 1.11 показана перерисованная топология Twin-T, чтобы подчеркнуть связь с топологией моста.

Бесконечные топологии

Figure 1.12

Лестничная топология может расширяться без ограничений и широко используется в конструкциях фильтров. Существует множество вариантов лестничной топологии, некоторые из которых обсуждаются в статьях «Топология электронного фильтра» и «Фильтр составного изображения» .

Рисунок 1.13 . Антилестничная топология

Сбалансированную форму лестничной топологии можно рассматривать как график стороны призмы произвольного порядка. Сторона антипризмы образует топологию, которая в этом смысле является антилестницей. Антилестничная топология находит применение в схемах умножителей напряжения , в частности генераторе Кокрофта-Уолтона . Существует также полноволновая версия генератора Кокрофта-Уолтона, в которой используется двойная антилестничная топология.

Бесконечные топологии также могут быть сформированы путем каскадного соединения нескольких секций какой-либо другой простой топологии, например решетчатых или Т-образных секций. Такие бесконечные цепочки секций решетки встречаются при теоретическом анализе и искусственном моделировании линий передачи , но редко используются в качестве практической схемной реализации.

Компоненты с более чем двумя клеммами

Схемы, содержащие компоненты с тремя и более клеммами, значительно увеличивают количество возможных топологий. И наоборот, количество различных схем, представленных топологией, уменьшается, и во многих случаях схему легко узнать по топологии, даже если конкретные компоненты не идентифицированы.

Рисунок 1.14 . Базовая топология усилителя , такая как с общим эмиттером. на транзисторе с биполярным переходом усилитель

Рисунок 1.15 . Сбалансированный усилитель, такой как на паре с длинным хвостом. усилитель

В более сложных схемах описание может продолжаться путем указания передаточной функции между портами сети, а не топологии компонентов.

Теория графов

Теория графов — это раздел математики, изучающий графы . В сетевом анализе графики широко используются для представления анализируемой сети. График сети отражает только определенные аспекты сети; те аспекты, которые связаны с его связностью или, другими словами, с его топологией. Это может быть полезным представлением и обобщением сети, поскольку многие сетевые уравнения инвариантны в сетях с одинаковой топологией. Сюда входят уравнения, выведенные из законов Кирхгофа и теоремы Теллегена .

История

Теория графов использовалась в сетевом анализе линейных пассивных сетей почти с момента формулировки законов Кирхгофа. Сам Густав Кирхгоф в 1847 году использовал графики как абстрактное представление сети в своем циклическом анализе резистивных цепей. Позже этот подход был распространен на схемы RLC, заменив сопротивления импедансами. В 1873 году Джеймс Клерк Максвелл предложил двойную версию этого анализа — узловой анализ. Максвелл также является автором топологической теоремы о том, что определитель матрицы адмиттансов узлов равен сумме всех произведений адмиттансов дерева. В 1900 году Анри Пуанкаре выдвинул идею представления графа с помощью его матрицы инцидентности . тем самым основав область алгебраической топологии . В 1916 году Освальд Веблен применил алгебраическую топологию Пуанкаре к анализу Кирхгофа. Веблен также отвечает за введение связующего дерева , помогающего выбирать совместимый набор сетевых переменных.

Рисунок 2.1. Принципиальная схема лестничного сетевого фильтра нижних частот: двухэлементная сеть

Комплексная каталогизация сетевых графиков применительно к электрическим цепям началась с Перси МакМагона в 1891 году (с дружественной для инженеров статьи в журнале «Электрик» в 1892 году), который ограничил свой обзор последовательными и параллельными комбинациями. Мак-Магон назвал эти графы ярмами-цепями. Рональд М. Фостер в 1932 году классифицировал графы по их нулевому или рангу и представил диаграммы для всех графов с небольшим количеством узлов. Эта работа возникла на основе более раннего исследования, проведенного Фостером во время сотрудничества с Джорджем Кэмпбеллом в 1920 году по 4-портовым телефонным ретрансляторам, и составило 83 539 различных графиков.

Долгое время топология в теории электрических цепей касалась только линейных пассивных сетей. Последние разработки полупроводниковых устройств и схем потребовали новых инструментов в топологии для их работы. Огромный рост сложности схем привел к использованию комбинаторики в теории графов для повышения эффективности компьютерных вычислений.

Графики и принципиальные схемы

Рисунок 2.2 . График лестничной сети, показанный на рисунке 2.1, с предполагаемой четырехступенчатой ​​лестницей.

Сети обычно классифицируются по типу электрических элементов, из которых они состоят. На принципиальной схеме эти типы элементов обозначены особым образом, каждый со своим уникальным символом. Резистивные сети — это одноэлементные сети, состоящие только из R элементов. Точно так же емкостные или индуктивные сети являются одноэлементными. Цепи RC , RL и LC представляют собой простые двухэлементные сети. Схема RLC представляет собой простейшую трехэлементную сеть. Лестничная LC - сеть, обычно используемая для фильтров нижних частот, может иметь много элементов, но является еще одним примером двухэлементной сети.

И наоборот, топология занимается только геометрическими отношениями между элементами сети, а не типом самих элементов. Сердцем топологического представления сети является граф сети. Элементы представлены как ребра графа. Край рисуется в виде линии, заканчивающейся точками или маленькими кружками, из которых могут исходить другие края (элементы). В схемном анализе ребра графа называются ветвями . Точки называются вершинами графа и представляют собой узлы сети. Узел и вершина — это термины, которые можно использовать как взаимозаменяемые при обсуждении графов сетей. На рисунке 2.2 показано графическое представление схемы, показанной на рисунке 2.1.

Кроме того, графики, используемые в сетевом анализе, обычно представляют собой как ориентированные графы , чтобы фиксировать направление тока и напряжения, так и помеченные графики , чтобы фиксировать уникальность ветвей и узлов. Например, граф, состоящий из квадрата ветвей, все равно оставался бы тем же топологическим графом, если бы две ветви были заменены местами, если только ветви не были помечены уникальным образом. В ориентированных графах два узла, к которым соединяется ветвь, обозначаются как исходный и целевой узлы. Обычно они обозначаются стрелкой, нарисованной на ветке.

Заболеваемость

Основная статья: матрица заболеваемости

Инцидентность — одно из основных свойств графа. Ребро, соединенное с вершиной, называется инцидентным этой вершине. Инцидентность графа может быть записана в матричном формате с помощью матрицы, называемой матрицей инцидентности. Фактически, матрица инцидентности — это альтернативное математическое представление графика, которое избавляет от необходимости какого-либо рисунка. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы матрицы соответствуют ветвям. Элементы матрицы либо равны нулю (при отсутствии инцидентности), либо единице (при инцидентности между узлом и ветвью). Направление в ориентированных графах обозначается знаком элемента.

Эквивалентность

Графы эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации. Деформация может включать в себя операции перемещения , вращения и отражения ; сгибание и вытягивание ветвей; и перекрещивание или завязывание ветвей. Два графа, эквивалентные посредством деформации, называются конгруэнтными .

В области электрических сетей существуют два дополнительных преобразования, которые, как считается, приводят к созданию эквивалентных графов, которые не создают конгруэнтных графов. Первый из них – это перестановка последовательно соединенных ветвей. Это двойной обмен параллельно соединенными ветвями, которого можно достичь путем деформации без необходимости применения специального правила. Второй касается графов, разделенных на две или более отдельных частей , то есть графа с двумя наборами узлов, у которых нет ветвей, инцидентных узлу в каждом наборе. Две такие отдельные части считаются графом, эквивалентным графу, в котором части соединяются путем объединения узла каждой в один узел. Аналогично, эквивалентным считается граф, который можно разделить на две отдельные части путем разделения узла на две части.

Деревья и ссылки

Рисунок 2.3 . Одно из возможных деревьев графа на рисунке 2.2. Ссылки показаны пунктирными линиями.

Дерево — это граф , в котором все узлы прямо или косвенно связаны ветвями, но не образуют замкнутых петель. Поскольку замкнутых контуров нет, в дереве нет токов. В сетевом анализе нас интересуют связующие деревья , то есть деревья, которые соединяют каждый узел, присутствующий в графе сети. В этой статье под связующим деревом понимается неквалифицированное дерево , если не указано иное. Данный сетевой граф может содержать несколько различных деревьев. Ветви, удаленные из графа для формирования дерева, называются ссылками , ветки, оставшиеся в дереве, называются ветками . Для графа с n узлами количество ветвей в каждом дереве t должно быть;

$t=n-1\$

Важная взаимосвязь для анализа цепей:

$b=\ell +t\$

где b — количество ветвей в графе, а ℓ — количество ссылок, удаленных для формирования дерева.

Наборы для галстуков и наборы для вырезания

Целью анализа цепей является определение всех токов и напряжений ветвей сети. Эти сетевые переменные не все независимы. Напряжения ветвей связаны с токами ветвей передаточной функцией элементов, из которых они состоят. Таким образом, полное решение сети может быть либо с точки зрения токов ветвей, либо только напряжений ветвей. Не все токи ветвей независимы друг от друга. Минимальное количество токов ветвей, необходимое для полного решения, равно l . Это следствие того, что в дереве удалено l звеньев и в дереве не может быть токов. Поскольку остальные ветви дерева имеют нулевой ток, они не могут быть независимыми от токов связи. Токи ветвей, выбранные как набор независимых переменных, должны представлять собой набор, связанный со звеньями дерева: нельзя произвольно выбрать какие-либо l ветвей.

Что касается напряжений ветвей, полное решение сети можно получить с помощью t напряжений ветвей. Это следствие того, что короткое замыкание всех ветвей дерева приводит к тому, что напряжение везде становится нулевым. Таким образом, напряжения линий не могут быть независимыми от напряжений ветвей дерева.

Рисунок 2.4 . Вырезанный набор графа на рисунке 2.2, полученный из дерева на рисунке 2.3 путем разрезания ветви 3.

Распространенный подход к анализу заключается в расчете токов в контуре, а не токов ветвей. Затем токи ветвей находятся через контурные токи. Опять же, набор контурных токов не может быть выбран произвольно. Чтобы гарантировать набор независимых переменных, токи контуров должны быть связаны с определенным набором контуров. Этот набор петель состоит из петель, образованных заменой одного звена данного дерева графа анализируемой схемы. Поскольку замена одного звена в дереве образует ровно одну уникальную петлю, количество определенных таким образом петлевых токов равно l . Термин цикл в этом контексте отличается от обычного значения цикла в теории графов. Множество ветвей, образующих данную петлю, называется связующим множеством . Набор сетевых уравнений формируется путем приравнивания контурных токов к алгебраической сумме токов ветвей набора связей.

Можно выбрать набор независимых контурных токов без привязки к деревьям и наборам связей. Достаточным, но не необходимым условием выбора набора независимых шлейфов является наличие в каждом выбранном шлейфе хотя бы одной ветви, которая ранее не входила в состав уже выбранных шлейфов. Особенно простым является выбор, используемый при анализе сетки , в котором все петли выбираются как сетки. Анализ сетки можно применять только в том случае, если можно отобразить график на плоскость или сферу без пересечения каких-либо ветвей. Такие графы называются планарными графами . Возможность отображения на плоскости или сфере является эквивалентным условием. Любой конечный граф, отображенный на плоскость, можно сжимать до тех пор, пока он не будет отображаться в небольшой области сферы. И наоборот, сетку любого графа, отображенного на сферу, можно растягивать до тех пор, пока пространство внутри нее не займет почти всю сферу. Тогда весь граф занимает лишь небольшую область сферы. Это то же самое, что и первый случай, следовательно, график также будет отображаться на плоскости.

Существует подход к выбору сетевых переменных с напряжениями, аналогичный и двойственный методу контурного тока. Здесь напряжение, связанное с парами узлов, является первичными переменными, и через них находятся напряжения ветвей. В этом методе также необходимо выбрать определенное дерево графа, чтобы гарантировать независимость всех переменных. Двойным комплектом галстуков является обрезанный комплект . Набор связей формируется, позволяя всем ссылкам графа, кроме одной, быть разомкнутыми. Набор вырезов формируется путем короткого замыкания всех ветвей дерева, кроме одной. Вырезанный набор состоит из ветки дерева, которая не была закорочена, и любых звеньев, которые не закорочены другими ветвями дерева. Разрезанный набор графа создает два непересекающихся подграфа , то есть разрезает граф на две части и представляет собой минимальный набор ветвей, необходимый для этого. Набор сетевых уравнений формируется путем приравнивания напряжений пар узлов к алгебраической сумме напряжений ветвей отрезанного набора. Двойственным частным случаем анализа сетки является узловой анализ .

Недействительность и ранг

Нульность N графа с s отдельными частями и b ветвями определяется следующим образом:

$N=b-n+s\$

Нулевость графа представляет собой количество степеней свободы его набора сетевых уравнений. Для планарного графа нуль равна количеству ячеек в графе.

Ранг R графа определяется следующим образом:

$R=n-s\$

Ранг играет ту же роль в узловом анализе, что и нуль в анализе сетки. То есть он дает необходимое количество уравнений напряжения узла. Ранг и недействительность являются двойственными понятиями и связаны между собой;

$R+N=b\$

Решение сетевых переменных

После выбора набора геометрически независимых переменных состояние сети выражается через них. В результате получается набор независимых линейных уравнений, которые необходимо решать одновременно , чтобы найти значения сетевых переменных. Этот набор уравнений можно выразить в матричном формате, что приводит к матрице характеристических параметров сети. Матрицы параметров принимают форму матрицы импеданса, если уравнения были сформированы на основе анализа контуров, или матрицы проводимости, если уравнения были сформированы на основе анализа узлов.

Эти уравнения можно решить многими известными способами. Одним из методов является систематическое исключение переменных . Другой метод предполагает использование определителей . Это известно как правило Крамера и обеспечивает прямое выражение неизвестной переменной через определители. Это полезно тем, что обеспечивает компактное выражение решения. Однако для чего-то большего, чем самые тривиальные сети, для этого метода требуются большие вычислительные усилия при работе вручную.

Двойственность

Два графа являются двойственными, если отношения между ветвями и парами узлов в одном из них такие же, как отношения между ветвями и циклами в другом. Двойник графа можно найти целиком графическим методом .

Двойник графа — это другой граф. Для данного дерева в графе дополнительный набор ветвей (т. е. ветвей, не входящих в дерево) образует дерево в двойственном графе. Набор уравнений токовой петли, связанных с наборами связей исходного графа и дерева, идентичен набору уравнений пары узлов напряжения, связанных с наборами разрезов двойного графа.

В следующей таблице перечислены двойственные концепции топологии, связанные с теорией цепей.

Рисунок 2.5 . Двойственный граф графа на рисунке 2.2.

Краткое изложение двойственных концепций

Текущий	Напряжение
Дерево	Лабиринт
Ветвь	Ветвь
сетка	Узел
Петля	Пара узлов
Связь	Ветка дерева
Комплект галстуков	Набор вырезок
Короткое замыкание	Открытая цепь
Параллельное соединение	Последовательное соединение
Недействительность	Классифицировать

Двойник дерева иногда называют лабиринтом. Оно состоит из пространств, соединенных связями, так же, как дерево состоит из узлов, соединенных ветвями дерева.

Дуалы не могут быть сформированы для каждого графа. Двойственность требует, чтобы каждый набор связей имел набор двойных разрезов в двойном графе. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда граф можно отобразить на сфере без пересечения ветвей. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что связующий набор необходим для «связывания» графа на две части, а его двойственный набор, разрезной набор, необходим для разрезания графа на две части. Граф конечной сети, который не отображается на сфере, потребует n -кратного тора . Набор связей, проходящий через отверстие в торе, не сможет связать граф на две части. Следовательно, двойственный граф не будет разрезан на две части и не будет содержать требуемого разрезаемого множества. Следовательно, только плоские графы имеют двойственные графы.

Дуалы также не могут быть сформированы для сетей, содержащих взаимные индуктивности, поскольку нет соответствующего емкостного элемента. Можно разработать эквивалентные схемы, которые имеют двойники, но двойник не может быть напрямую сформирован из взаимной индуктивности.

Удаление узлов и сетки

Операции над набором сетевых уравнений имеют топологическое значение, которое может помочь визуализировать происходящее. Исключение напряжения узла из набора сетевых уравнений топологически соответствует исключению этого узла из графа. Для узла, соединенного с тремя другими узлами, это соответствует хорошо известному преобразованию Y-Δ . Преобразование может быть расширено на большее количество подключенных узлов и тогда известно как преобразование звездообразной сетки .

Обратным этому преобразованию является преобразование Δ-Y, которое аналитически соответствует исключению тока сетки, а топологически соответствует исключению сетки. Однако исключение потока сетки, сетка которой имеет общие ветви с произвольным числом других сеток, вообще говоря, не приведет к созданию реализуемого графа. Это связано с тем, что график преобразования общей звезды представляет собой граф, который не отображается на сфере (он содержит звездные многоугольники и, следовательно, множественные пересечения). Двойник такого графа не может существовать, но это граф, необходимый для представления обобщенного исключения сетки.

Взаимная связь

Рисунок 2.6 . Схема с двойной настройкой, часто используемая для соединения каскадов настроенных усилителей. A , график схемы с двойной настройкой. B — эквивалентный граф с объединенными непересекающимися частями.

В обычном графическом представлении цепей нет средств явного представления взаимных индуктивных связей, например, возникающих в трансформаторе , и такие компоненты могут привести к образованию несвязного графа, состоящего из более чем одной отдельной части. Для удобства анализа граф, состоящий из нескольких частей, можно объединить в один граф, объединив по одному узлу в каждой части в один узел. Это не влияет на теоретическое поведение схемы, поэтому проведенный на ней анализ остается действительным. Однако на практике имело бы значение, если бы схема была реализована таким образом, что это разрушило бы изоляцию между частями. Примером может служить трансформатор, заземленный как на первичной, так и на вторичной стороне. Трансформатор по-прежнему функционирует как трансформатор с тем же коэффициентом трансформации, но больше не может использоваться в качестве изолирующего трансформатора .

Более поздние методы теории графов позволяют работать с активными компонентами, что также проблематично в традиционной теории. Эти новые методы также способны справляться с взаимными связями.

Активные компоненты

Существует два основных подхода к взаимодействию и активным компонентам. В первом из них Сэмюэл Джефферсон Мейсон в 1953 году представил графы потока сигналов . Графы потока сигналов представляют собой взвешенные ориентированные графы. Он использовал их для анализа цепей, содержащих взаимные связи и активные сети. Вес направленного ребра на этих графиках представляет собой коэффициент усиления, например, имеющийся в усилителе. В целом графы потоков сигналов, в отличие от описанных выше обычных ориентированных графов, не соответствуют топологии физического расположения компонентов.

Второй подход заключается в расширении классического метода за счет включения взаимных связей и активных компонентов. Для достижения этой цели было предложено несколько методов. В одном из них строятся два графика: один представляет токи в цепи, а другой — напряжения. Пассивные компоненты будут иметь одинаковые ветви в обоих деревьях, а активные — нет. Метод основан на выявлении связующих деревьев, общих для обоих графов. Альтернативный метод расширения классического подхода, требующий только одного графа, был предложен Ченом в 1965 году. Метод Чена основан на корневом дереве .

Гиперграфики

Другой способ расширения классической теории графов для активных компонентов — использование гиперграфов . Некоторые электронные компоненты не представлены естественным образом с помощью графиков. Транзистор имеет три точки подключения, но нормальная ветвь графа может подключаться только к двум узлам. Современные интегральные схемы имеют гораздо больше связей. Эту проблему можно решить, используя гиперграфы вместо обычных графов.

Рисунок 2.7 . Пример гиперграфа. Правильные ребра показаны черным, гиперребра — синим, а щупальца — красным.

В традиционном представлении компоненты представлены ребрами, каждое из которых соединяется с двумя узлами. В гиперграфе компоненты представлены гиперребрами , которые могут соединяться с произвольным количеством узлов. Гиперребра имеют щупальца , которые соединяют гиперребро с узлами. Графическим представлением гиперребра может быть прямоугольник (по сравнению с ребром, который представляет собой линию), а представлением его щупалец — линии, ведущие от прямоугольника к соединенным узлам. В ориентированном гиперграфе щупальца несут метки, определяемые меткой гиперребра. Обычный ориентированный граф можно рассматривать как гиперграф с гиперребрами, каждое из которых имеет по два щупальца. Эти два щупальца помечены как источник и цель и обычно обозначаются стрелкой. В обычном гиперграфе с большим количеством щупалец потребуется более сложная разметка.

Гиперграфы можно охарактеризовать с помощью матриц инцидентности. Обычный граф, содержащий только двухтерминальные компоненты, будет иметь ровно две ненулевые записи в каждой строке. Любая матрица инцидентности с более чем двумя ненулевыми элементами в любой строке является представлением гиперграфа. Количество ненулевых записей в строке — это ранг соответствующей ветви, а наивысший ранг ветви — это ранг матрицы инцидентности.

Неоднородные переменные

Классический сетевой анализ разрабатывает набор сетевых уравнений, сетевые переменные которых однородны либо по току (анализ контура), либо по напряжению (анализ узла). Найденный таким образом набор сетевых переменных не обязательно является минимумом, необходимым для формирования набора независимых уравнений. Может быть разница между количеством переменных в циклическом анализе и в узловом анализе. В некоторых случаях минимально возможное количество может быть меньше любого из этих значений, если требования к однородности смягчены и разрешено сочетание переменных тока и напряжения. Результат Киши и Катаджини в 1967 году. заключается в том, что абсолютное минимальное количество переменных, необходимых для описания поведения сети, определяется максимальным расстоянием между любыми двумя пересекающимися лесами сетевого графа.

Сетевой синтез

Теория графов может быть применена к синтезу сетей . Классический сетевой синтез реализует искомую сеть в одной из множества канонических форм . Примерами канонических форм являются реализация импеданса движущей точки Брюном с помощью канонической лестничной сети Кауэра, канонической формы Фостера или реализация иммитанса из его положительно-действительных функций . С другой стороны, топологические методы не начинаются с заданной канонической формы. Скорее, форма является результатом математического представления. Некоторые канонические формы для своей реализации требуют взаимной индуктивности. Основная цель топологических методов сетевого синтеза заключалась в устранении необходимости во взаимных индуктивностях. Одна теорема, вытекающая из топологии, заключается в том, что реализация импеданса ведущей точки без взаимных связей минимальна тогда и только тогда, когда нет контуров, состоящих только из индукторов или только из конденсаторов.

Теория графов наиболее эффективна в синтезе сетей, когда элементы сети могут быть представлены действительными числами (одноэлементные сети, такие как резистивные сети) или двоичными состояниями (например, коммутационные сети).

Бесконечные сети

Возможно, самой ранней сетью с бесконечным графом, которую нужно было изучить, была лестничная сеть, используемая для представления линий передачи , разработанная в ее окончательной форме Оливером Хевисайдом в 1881 году. Конечно, все ранние исследования бесконечных сетей ограничивались периодическими структурами, такими как лестницы или сетки с одними и теми же элементами, повторяющимися снова и снова. Лишь в конце 20 века стали доступны инструменты для анализа бесконечных сетей с произвольной топологией.

Бесконечные сети представляют в основном лишь теоретический интерес и являются игрушкой математиков. Бесконечные сети, не ограниченные ограничениями реального мира, могут иметь некоторые весьма нефизические свойства. Например, в некоторых случаях законы Кирхгофа могут не работать, и можно определить бесконечные резисторные лестницы, сопротивление ведущей точки которых зависит от нагрузки на бесконечности. Еще одним нефизическим свойством теоретических бесконечных сетей является то, что, как правило, они будут рассеивать бесконечную мощность, если на них не наложены ограничения в дополнение к обычным сетевым законам, таким как законы Ома и Кирхгофа. Однако существуют и реальные приложения. Пример линии электропередачи является одним из класса практических задач, которые можно смоделировать бесконечно малыми элементами ( модель распределенных элементов ). Другими примерами являются запуск волн в сплошную среду, проблемы краевого поля и измерение сопротивления между точками подложки или в скважине.

Трансфинитные сети еще дальше расширяют идею бесконечных сетей. К узлу на конце бесконечной сети может быть подключена еще одна ветвь, ведущая в другую сеть. Эта новая сеть сама по себе может быть бесконечной. Таким образом, можно построить топологии, в которых есть пары узлов без конечного пути между ними. Такие сети бесконечных сетей называются трансфинитными сетями.

См. также

• Символьный анализ схемы
• Топология сети 　　　　　　
• Топологический квантовый компьютер

Библиография

• Бриттен, Джеймс Э., Представление нагрузочной катушки: Джордж А. Кэмпбелл и Майкл И. Пупин», Technology and Culture , т. 11 , № 1, стр. 36–57, The Johns Hopkins University Press, январь 1970 г. дои : 10.2307/3102809 .
• Кэмпбелл, Г.А., «Физическая теория электрического волнового фильтра» , Технический журнал Bell System , ноябрь 1922 г., том. 1, нет. 2, стр. 1–32.
• Седербаум, И., «Некоторые приложения теории графов к сетевому анализу и синтезу» , IEEE Transactions on Circuits and Systems , том 31 , выпуск 1, стр. 64–68, январь 1984 г.
• Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Фостер, Рональд М., «Геометрические схемы электрических сетей» , Труды Американского института инженеров-электриков , том 51 , выпуск 2, стр. 309–317, июнь 1932 г.
• Фостер, Рональд М.; Кэмпбелл, Джордж А., «Сети максимальной мощности для телефонных подстанций и цепей ретрансляторов» , Труды Американского института инженеров-электриков , том 39 , выпуск 1, стр. 230–290, январь 1920 г.
• Гиймен, Эрнст А., Вводная теория цепей , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1953. ОСЛК   535111
• Добрый, Дитер; Фезер, Курт, «Методы испытаний высоким напряжением» , переводчик Ю. Нараяна Рао, Newnes, 2001 г. ISBN   0-7506-5183-0 .
• Киши, Геня; Кадзитани, Йоджи, «Максимально удаленные деревья и главное разбиение линейного графа» , IEEE Transactions on Circuit Theory , том 16 , выпуск 3, стр. 323–330, август 1969 г.
• МакМахон, Перси А., «Цепи-ярмо и многочастные композиции в связи с аналитическими формами, называемыми «деревьями»», Труды Лондонского математического общества , том 22 (1891), стр. 330–346. два : 10.1112/plms/s1-22.1.330 .
• МакМахон, Перси А., «Комбинации сопротивлений» , «Электрик» , том 28 , стр. 601–602, 8 апреля 1892 г.
  Перепечатано в журнале «Дискретная прикладная математика» , том 54 , вып.2–3, стр. 225–228, 17 октября 1994 г. два : 10.1016/0166-218X(94)90024-8 .
• Минас, М., «Создание семантических представлений диаграмм», Применение преобразований графов с промышленной релевантностью: международный семинар, AGTIVE'99, Керкраде, Нидерланды, 1–3 сентября 1999 г.: материалы , стр. 209–224, Springer, 2000 г. ISBN   3-540-67658-9 .
• Дневник радио Redifon, 1970 , William Collins Sons & Co, 1969.
• Скиена, Стивен С., Руководство по разработке алгоритмов , Springer, 2008 г., ISBN   1-84800-069-3 .
• Суреш, Кумар К.С., Глава 11 «Введение в топологию сети», « Электрические цепи и сети» , Pearson Education India, 2010 г. ISBN   81-317-5511-8 .
• Тули, Майк, BTEC First Engineering: обязательные и избранные дополнительные модули для BTEC First in Engineering , Routledge, 2010 г. ISBN   1-85617-685-1 .
• Уайлдс, Карл Л.; Линдгрен, Нило А., «Сетевой анализ и синтез: Эрнст А. Гиймен», Век электротехники и информатики в Массачусетском технологическом институте, 1882–1982 , стр. 154–159, MIT Press, 1985. ISBN   0-262-23119-0 .
• Земанян, Армен Х., Бесконечные электрические сети , издательство Кембриджского университета, 1991. ISBN   0-521-40153-4 .