Символьный анализ схемы

Символьный анализ цепей — это формальный метод анализа цепей, предназначенный для расчета поведения или характеристик электрической/электронной цепи с независимыми переменными (время или частота), зависимыми переменными (напряжение и ток) и (некоторыми или всей) цепью. элементы, представленные символами. ^[1]^[2]

При анализе электрических/электронных цепей мы можем задавать два типа вопросов: каково значение определенной переменной цепи ( напряжение , ток , сопротивление , коэффициент усиления и т. д.) или какова связь между некоторыми переменными схемы или между переменной цепи и компоненты схемы и частота (или время). Такая зависимость может иметь форму графика, на котором числовые значения переменной цепи отображаются в зависимости от частоты или значения компонента (наиболее распространенным примером может быть график зависимости величины передаточной функции от частоты).

Анализ символьных схем занимается получением этих отношений в символической форме, т. е. в форме аналитического выражения , где комплексная частота (или время) и некоторые или все компоненты схемы представлены символами.

Выражения частотной области

В частотной области наиболее распространенной задачей символьного анализа схем является получение связи между входными и выходными переменными в виде рациональной функции от комплексной частоты. ${\mathit {s}}\,$ и символьные переменные $\mathbf {x}$ :

T(s,\mathbf {x} )={\frac {N(s,\mathbf {x} )}{D(s,\mathbf {x} )}}

Вышеуказанное соотношение часто называют сетевой функцией. Для физических систем $N(s,\mathbf {x} )$ и $D(s,\mathbf {x} )$ являются полиномами в ${\mathit {s}}\,$ с реальными коэффициентами:

T(s,\mathbf {x} )={\frac {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}(\mathbf {x} )s^{i}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}b_{i}(\mathbf {x} )s^{i}}}=K{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(s-z_{i}(\mathbf {x} ))}{\displaystyle \prod _{i=1}^{m}(s-p_{i}(\mathbf {x} ))}}

где $z_{i}(\mathbf {x} )$ это нули и $p_{i}(\mathbf {x} )$ – полюса сетевой функции; $m\geqslant n$ .

Хотя существует несколько методов генерации коэффициентов $a_{i}(\mathbf {x} )$ и $b_{i}(\mathbf {x} )$ , не существует метода получения точных символических выражений для полюсов и нулей для полиномов порядка выше 5.

Типы символьных сетевых функций

В зависимости от того, какие параметры сохраняются в виде символов, у нас может быть несколько разных типов символических сетевых функций. Лучше всего это проиллюстрировать на примере. Рассмотрим, например, схему биквадратного фильтра с идеальными операционными усилителями , показанную ниже. Мы хотим получить формулу коэффициента пропускания по напряжению (также называемого коэффициентом усиления по напряжению ) в частотной области: ${T_{v}(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)}\,$ .

Рисунок 1: Биквадратная схема с идеальными операционными усилителями. (Эта диаграмма была создана с использованием функции захвата схем в SapWin .)

Сетевая функция с s в качестве единственной переменной

Если комплексная частота ${\mathit {s}}\,$ — единственная переменная, формула будет выглядеть так (для простоты мы используем числовые значения: $R_{i}=i,C_{i}=0.01i\,$ ):

T(s)={\frac {3.48s}{13.2s^{2}+1.32s+0.33}}

Полусимволическая сетевая функция

Если комплексная частота ${\mathit {s}}\,$ а некоторые переменные схемы сохраняются в виде символов (полусимвольный анализ), формула может иметь вид:

${\begin{aligned}T(s,\mathbf {x} )&={\frac {1.74C_{2}s}{6.6C_{1}C_{2}s^{2}+0.66C_{2}s+0.33}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}]\end{aligned}}$

Полностью символическая сетевая функция

Если комплексная частота ${\mathit {s}}\,$ и все переменные схемы являются символическими (полностью символьный анализ), коэффициент пропускания напряжения определяется выражением (здесь $G_{i}=1/R_{i}\,$ ):

${\begin{aligned}T(s,\mathbf {x} )&={\frac {G_{4}G_{6}G_{8}C_{2}s}{G_{6}G_{11}C_{1}C_{2}s^{2}+G_{1}G_{6}G_{11}C_{2}s+G_{2}G_{3}G_{5}G_{11}}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}~G_{1}~G_{2}~G_{3}~G_{4}~G_{5}~G_{6}~G_{8}~G_{11}]\end{aligned}}$

Все приведенные выше выражения чрезвычайно полезны для понимания работы схемы и понимания того, как каждый компонент влияет на общую производительность схемы. Однако по мере увеличения размера схемы количество членов в таких выражениях растет экспоненциально. Таким образом, даже для относительно простых схем формулы становятся слишком длинными, чтобы иметь какую-либо практическую ценность. Один из способов решения этой проблемы — исключить численно незначительные члены из символического выражения, удерживая неизбежную ошибку ниже заранее определенного предела. ^[3]

Форма последовательности выражений

Другая возможность сократить символическое выражение до приемлемой длины — представить сетевую функцию последовательностью выражений (SoE). ^[4] Конечно, интерпретируемость формулы теряется, но такой подход очень полезен при повторяющихся численных расчетах. Для генерации таких последовательностей был разработан пакет программного обеспечения STAINS (символический двухпортовый анализ посредством внутреннего подавления узлов). ^[5] Существует несколько типов SoE, которые можно получить из STAINS. Например, компактный SoE для $T_{v}(s)\,$ нашего биквада

x1 = G5*G3/G6
x2 = -G1-s*C1-G2*x1/(s*C2)
x3 = -G4*G8/x2
Ts = x3/G11

Приведенная выше последовательность содержит дроби. Если это нежелательно (например, когда появляется деление на ноль), мы можем сгенерировать бездробное SoE:

x1 = -G2*G5
x2 = G6*s*C2
x3 = -G4*x2
x4 = x1*G3-(G1+s*C1)*x2
x5 = x3*G8
x6 = -G11*x4
Ts = -x5/x6

Еще один способ сократить выражение — факторизовать многочлены. $N(s,\mathbf {x} )$ и $D(s,\mathbf {x} )$ . В нашем примере это очень просто и приводит к:

Num = G4*G6*G8*s*C2
Den = G11*((G1+s*C1)*G6*s*C2+G2*G3*G5)
Ts = Num/Den

Однако для более крупных схем факторизация становится сложной комбинаторной проблемой, и конечный результат может быть непрактичным как для интерпретации, так и для численных расчетов.

См. также

Внешние ссылки

SCAM — скрипт MATLAB для вычисления передаточных функций символьных схем.
Как использовать Wolfram System Modeller для анализа символьных схем .

Ссылки

^ Г. Гилен и В. Сансен, Символический анализ для автоматизированного проектирования аналоговых интегральных схем. Бостон: Kluwer Academic Publishers, 1991.
^ Лабреш П., презентация: Линейные электрические цепи: символический сетевой анализ , 1977 г.
^ Б. Родански, М. Хассун, «Символический анализ», в Справочнике по схемам и фильтрам: Основы схем и фильтров, 3-е изд., Вай-Кай Чен, редактор. CRC Press, 2009, стр. 25-1 – 25-29.
^ М. Пьерчала, Б. Родански, «Генерация последовательных символических сетевых функций для крупномасштабных сетей путем сокращения схемы до двухпортовой», Транзакции IEEE в схемах и системах I: Фундаментальная теория и приложения , том. 48, нет. 7 июля 2001 г., стр. 906–909.
^ LP Huelsman, «STAINS — символический двухпортовый анализ посредством подавления внутреннего узла», журнал IEEE Circuits & Devices, март 2002 г., стр. 3-6.

[1] Г. Гилен и В. Сансен, Символический анализ для автоматизированного проектирования аналоговых интегральных схем. Бостон: Kluwer Academic Publishers, 1991.

[2] Лабреш П., презентация: Линейные электрические цепи: символический сетевой анализ , 1977 г.

[3] Б. Родански, М. Хассун, «Символический анализ», в Справочнике по схемам и фильтрам: Основы схем и фильтров, 3-е изд., Вай-Кай Чен, редактор. CRC Press, 2009, стр. 25-1 – 25-29.

[4] М. Пьерчала, Б. Родански, «Генерация последовательных символических сетевых функций для крупномасштабных сетей путем сокращения схемы до двухпортовой», Транзакции IEEE в схемах и системах I: Фундаментальная теория и приложения , том. 48, нет. 7 июля 2001 г., стр. 906–909.

[5] LP Huelsman, «STAINS — символический двухпортовый анализ посредством подавления внутреннего узла», журнал IEEE Circuits & Devices, март 2002 г., стр. 3-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]