График потока сигналов

«Граф Мейсона» перенаправляется сюда. Другие графы потоков см. в разделе График потоков (математика) .

Граф потока сигналов или граф потока сигналов ( SFG ), изобретенный Клодом Шенноном , но часто называемый графом Мэйсона в честь Сэмюэля Джефферсона Мэйсона, который ввел этот термин, — специализированный потоковый граф , ориентированный граф , в котором узлы представляют собой системные переменные, а ветви (ребра, дуги или стрелки) представляют собой функциональные связи между парами узлов. Таким образом, теория графов потока сигналов основывается на теории ориентированных графов (также называемых орграфами ), которая включает также теорию ориентированных графов . Эта математическая теория орграфов существует, конечно, совершенно независимо от ее приложений.

SFG чаще всего используются для представления потока сигналов в физической системе и ее контроллерах, образуя киберфизическую систему . Среди других их применений — представление потока сигналов в различных электронных сетях и усилителях, цифровых фильтрах , фильтрах с переменным состоянием и некоторых других типах аналоговых фильтров. Почти во всей литературе граф потока сигналов связан с набором линейных уравнений .

История

Вай-Кай Чен писал: «Концепция графа потока сигналов была первоначально разработана Шенноном [ 1942]. при работе с аналоговыми компьютерами. Наибольшая заслуга в разработке графов потоков сигналов обычно принадлежит Мэйсону [1953]. [1956]. Он показал, как использовать технику графического потока сигналов для решения некоторых сложных электронных задач относительно простым способом. Термин « график потока сигналов» использовался из-за его первоначального применения к электронным проблемам и связи с электронными сигналами и блок-схемами исследуемых систем».

Лоренс писал: «До Мэйсона работы К.Э. Шеннон разработал ряд свойств того, что сейчас известно как графы потоков. К сожалению, изначально газета имела ограниченную классификацию, и очень немногие люди имели доступ к материалам».

«Правила вычисления определителя графа Мэйсона были впервые даны и доказаны Шенноном [1942] с использованием математической индукции. Его работа осталась практически неизвестной даже после того, как Мейсон опубликовал свою классическую работу в 1953 году. Три года спустя Мейсон [1956] ] заново открыл правила и доказал их, рассматривая значение определителя и то, как оно меняется при добавлении переменных [...]»

Область применения

Робишо и др. определить область применения SFG следующим образом:

«Все физические системы, аналогичные этим сетям [состоящим из идеальных трансформаторов, активных элементов и гираторов], составляют область применения методов, разработанных [здесь]». Трент показал, что в эту категорию попадают все физические системы, удовлетворяющие следующим условиям.

1. Конечная система с сосредоточенными параметрами состоит из ряда простых частей, каждая из которых имеет известные динамические свойства, которые могут быть определены уравнениями, использующими два типа скалярных переменных и параметров системы. Переменные первого типа представляют собой величины, которые можно измерить, по крайней мере концептуально, путем прикрепления показывающего прибора к двум точкам соединения элемента. Переменные второго типа характеризуют величины, которые можно измерить, подключив счетчик последовательно с элементом. Относительные скорости и положения, перепады давления и напряжения являются типичными величинами первого класса, тогда как электрические токи, силы, скорости теплового потока являются переменными второго типа. Компания Firestone была первой, кто различал эти два типа переменных, используя имена через переменные и через переменные .
2. Переменные первого типа должны подчиняться закону сетки, аналогичному закону напряжения Кирхгофа, тогда как переменные второго типа должны удовлетворять закону падения, аналогичному закону тока Кирхгофа.
3. Физические размеры соответствующих произведений переменных двух типов должны быть согласованы. Для систем, в которых эти условия выполняются, можно построить линейный граф, изоморфный динамическим свойствам системы, описываемым выбранными переменными. Методы [...] могут быть применены непосредственно к этим линейным графикам, а также к электрическим сетям, чтобы получить граф потока сигналов системы».

Основные понятия потокового графа

Следующая иллюстрация и ее значение были представлены Мэйсоном для иллюстрации основных понятий:

(a) Простой потоковый граф, (b) Стрелки (a), инцидентные узлу 2 (c) Стрелки (a), инцидентные узлу 3

В простых графах потока рисунка функциональная зависимость узла обозначена входящей стрелкой, узел, вызывающий это влияние, является началом этой стрелки, а в самом общем виде граф потока сигналов указывает входящими стрелками только те, которые узлы, которые влияют на обработку в принимающем узле, и в каждом узле i входящие переменные обрабатываются в соответствии с функцией, связанной с этим узлом, скажем F _i . Блок-граф в (a) представляет собой набор явных отношений:

${\begin{aligned}x_{\mathrm {1} }&={\text{an independent variable}}\\x_{\mathrm {2} }&=F_{2}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {3} })\\x_{\mathrm {3} }&=F_{3}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {2} },x_{\mathrm {3} })\\\end{aligned}}$

Узел x ₁ является изолированным узлом, поскольку стрелка не поступает; уравнения для х ₂ и х ₃ имеют графики, показанные в частях (б) и (в) рисунка.

Эти отношения определяют для каждого узла функцию, которая обрабатывает получаемые им входные сигналы. Каждый узел, не являющийся источником, каким-либо образом объединяет входные сигналы и передает результирующий сигнал по каждой исходящей ветви. «График потока, как он первоначально был определен Мэйсоном, подразумевает набор функциональных отношений, линейных или нет».

Однако обычно используемый граф Мейсона более ограничен, предполагая, что каждый узел просто суммирует свои входящие стрелки и что каждая ветвь включает только задействованный инициирующий узел. Таким образом, в этом более ограничительном подходе узел x ₁ не затрагивается, пока:

$x_{2}=f_{21}(x_{1})+f_{23}(x_{3})$

$x_{3}=f_{31}(x_{1})+f_{32}(x_{2})+f_{33}(x_{3})\ ,$

и теперь функции f _ij могут быть связаны с ветвями потока сигналов ij, соединяющими пару узлов x _i , x _j , вместо того, чтобы иметь общие отношения, связанные с каждым узлом. Вклад узла в себя, например f ₃₃ для x _3, называется замкнутым циклом . Часто эти функции представляют собой просто мультипликативные коэффициенты (часто называемые коэффициентами пропускания или коэффициентами усиления ), например, f _ij (x _j )=c _ij x _j , где c — скаляр, но, возможно, функция некоторого параметра, такого как переменная преобразования Лапласа s . Графики потока сигналов очень часто используются с сигналами, преобразованными Лапласом, поскольку тогда они представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений . В этом случае коэффициент пропускания c(s) часто называют передаточной функцией .

Выбор переменных

В общем, существует несколько способов выбора переменных в сложной системе. В соответствии с каждым выбором можно записать систему уравнений и каждую систему уравнений можно представить в виде графика. Такая формулировка уравнений становится прямой и автоматической, если иметь в своем распоряжении приемы, позволяющие строить график непосредственно по принципиальной схеме изучаемой системы. Структура полученных таким образом графиков простым образом связана с топологией , принципиальной схемы становится ненужным рассматривать уравнения и для получения графика , даже неявно. В некоторых случаях достаточно просто представить потокограмму на принципиальной схеме, и желаемые ответы можно получить, даже не рисуя потокограмму.

— Робишо

Неуникальность

Робишо и др. писал: «График потока сигналов содержит ту же информацию, что и уравнения, из которых он выведен; но между графом и системой уравнений не существует однозначного соответствия. Одна система будет давать разные графики в зависимости от порядок, в котором уравнения используются для определения переменной, записанной в левой части». Если все уравнения связывают все зависимые переменные, то их n! возможные SFG на выбор.

сигналов

Методы линейного графа потока сигналов (SFG) применимы только к линейным стационарным системам , изучаемым соответствующей теорией . При моделировании интересующей системы первым шагом часто является определение уравнений, представляющих работу системы, без определения причин и следствий (это называется акаузальным моделированием). Затем из этой системы уравнений выводится SFG.

Линейная SFG состоит из узлов, обозначенных точками, и взвешенных ветвей направления, обозначенных стрелками. Узлы — это переменные уравнений , а веса ветвей — это коэффициенты. Сигналы могут пересекать ветвь только в направлении, указанном стрелкой. Элементы SFG могут представлять только операции умножения на коэффициент и сложения, которых достаточно для представления уравнений с ограничениями. Когда сигнал пересекает ветвь в указанном направлении, вес сигнала умножается на вес ветви. Когда две или более ветвей направляются в один и тот же узел, их выходы добавляются.

Для систем, описываемых линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, граф потока сигналов математически эквивалентен системе уравнений, описывающей систему, а уравнения, управляющие узлами, обнаруживаются для каждого узла путем суммирования входящих ветвей к этому узлу. Эти входящие ветви передают вклад других узлов, выраженный как значение подключенного узла, умноженное на вес соединительной ветви, обычно это действительное число или функция некоторого параметра (например, преобразования Лапласа переменная s ).

Для линейных активных сетей Чома пишет: «Под «представлением потока сигналов» [или «графиком», как его обычно называют] мы подразумеваем диаграмму, которая, отображая алгебраические отношения между соответствующими переменными ветвей сети, рисует недвусмысленную картину того, как приложенный входной сигнал «течет» от портов ввода-вывода».

Мотивацию для анализа SFG описывает Чен:

«Анализ линейной системы сводится в конечном итоге к решению системы линейных алгебраических уравнений. В качестве альтернативы обычным алгебраическим методам решения системы можно получить решение, рассматривая свойства некоторых ориентированных графов, связанных с система." [См. подраздел: Решение линейных уравнений .] «Неизвестные уравнений соответствуют узлам графа, а линейные связи между ними проявляются в виде направленных ребер, соединяющих узлы. ...Связанные с ними ориентированные графы во многих случаях может быть установлено непосредственно путем исследования физической системы без необходимости предварительной формулировки связанных с ней уравнений..."

Основные компоненты

Элементы и конструкции графа потока сигналов.

Граф линейного потока сигналов связан с системой линейных уравнений следующей формы:

${\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }t_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }\end{aligned}}$

где $t_{jk}$ = пропускание (или усиление) от $x_{k}$ к $x_{j}$.

На рисунке справа изображены различные элементы и конструкции графа потока сигналов (SFG).

Доказательство (а) представляет собой узел. В этом случае узел помечен $x$. Узел — это вершина, представляющая переменную или сигнал.

Исходный узел имеет только исходящие ветви (представляет собой независимую переменную). В частном случае входной узел характеризуется наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, направленных от узла, и отсутствием стрелок, указывающих внутрь узла. Любой открытый, полный SFG будет иметь хотя бы один входной узел.

Выходной приемный или узел имеет только входящие ветви ( представляет зависимую переменную). Хотя любой узел может быть выходным, для обеспечения ясности часто используются явные выходные узлы. Явные выходные узлы характеризуются наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих внутрь узла, и отсутствием стрелок, указывающих в сторону от узла. Явные выходные узлы не требуются.

узел Смешанный имеет как входящие, так и исходящие ветви.

Рисунок (b) представляет собой ветвь с мультипликативным выигрышем $m$. Смысл в том, что результат на кончике стрелки равен $m$ умножить вход на хвосте стрелки. Коэффициент усиления может быть простой константой или функцией (например, функцией некоторой переменной преобразования, такой как $s$, $\omega$, или $z$, для отношений Лапласа, Фурье или Z-преобразования).

Рисунок (c) представляет собой ветвь с мультипликативным выигрышем, равным единице. Если коэффициент усиления опущен, предполагается, что он равен единице.

Экспонат (г) $V_{in}$ является входным узлом. В этом случае, $V_{in}$ умножается на выигрыш $m$.

Экспонат (д) $I_{out}$ является явным выходным узлом; входящий фронт имеет выигрыш $m$.

На рисунке (f) показано сложение. Когда две или более стрелок указывают на узел, сигналы, передаваемые ребрами, суммируются.

На рисунке (g) изображен простой цикл. Контурное усиление $A\times m$.

На рисунке (h) показано выражение $Z=aX+bY$.

Термины, используемые в линейной теории SFG, также включают:

• Путь. Путь — это непрерывный набор ветвей, пройденных в направлении, указанном стрелками ветвей.
  • Открытый путь. Если ни один узел повторно не посещается, путь открыт.
  • Путь вперед. Путь от входного узла (источника) к выходному узлу (приемнику), который не посещает повторно ни один узел.
• Прирост пути : произведение выигрышей всех ветвей пути.
• Петля. Закрытый путь. (он начинается и заканчивается в одном и том же узле, и ни один узел не затрагивается более одного раза).
• Коэффициент усиления петли : произведение коэффициентов усиления всех ветвей цикла.
• Неприкасающиеся петли. Несоприкасающиеся петли не имеют общих узлов.
• Сокращение графа. Удаление одного или нескольких узлов из графа с помощью преобразований графа.
  • Остаточный узел. В любом предполагаемом процессе сокращения графа узлы, которые необходимо сохранить в новом графе, называются остаточными узлами.
• Разделение узла. Разделение узла соответствует разделению узла на два полуузла, один из которых является приемником, а другой - источником.
• Индекс : Индекс графа — это минимальное количество узлов, которые необходимо разделить, чтобы удалить все петли в графе.
  • Индексный узел. Узлы, которые разбиваются для определения индекса графа, называются индексными узлами и, как правило, они не уникальны.

сокращение источников

Граф потока сигналов можно упростить с помощью правил преобразования графов. Эти правила упрощения также называются алгеброй графов потока сигналов . Цель этого сокращения — связать интересующие зависимые переменные (остаточные узлы, приемники) с независимыми переменными (источниками).

Систематическое сокращение линейного графа потока сигналов представляет собой графический метод, эквивалентный методу исключения Гаусса-Жордана для решения линейных уравнений.

Представленные ниже правила можно применять снова и снова, пока граф потока сигналов не будет приведен к «минимальной остаточной форме». Дальнейшее сокращение может потребовать исключения цикла или использования «формулы сокращения» с целью напрямую соединить узлы-приемники, представляющие зависимые переменные, с узлами-источниками, представляющими независимые переменные. Таким образом, любой граф потока сигналов можно упростить путем последовательного удаления внутренних узлов до тех пор, пока не останутся только узлы ввода, вывода и индекса. Робишо описал этот процесс систематического сокращения потоковых графов:

Сокращение графа происходит путем исключения определенных узлов для получения остаточного графа, показывающего только интересующие переменные. Такое устранение узлов называется « поглощением узлов ». Этот метод близок к знакомому процессу последовательного исключения нежелательных переменных из системы уравнений. Удалить переменную можно, удалив соответствующий узел графа. Если достаточно сократить граф, можно получить решение для любой переменной, и это цель, которую мы будем иметь в виду при описании различных методов сокращения графа. Однако на практике методы редукции будут использоваться исключительно для преобразования графа в остаточный граф, выражающий некоторые фундаментальные отношения. Полные решения легче получить, применяя правило Мейсона . Сам граф программирует процесс сокращения. Действительно, простой просмотр графика легко подсказывает различные этапы приведения, которые выполняются с помощью элементарных преобразований, исключения петель или использования формулы приведения.

- Робишо, Графики потоков сигналов и их приложения, 1962 г.

Для цифрового сокращения графа потока с использованием алгоритма Робишо расширяет понятие простого графа потока до обобщенного графа потока:

Прежде чем описывать процесс приведения... соответствие между графиком и системой линейных уравнений... необходимо обобщить... Обобщенные графики будут представлять собой некоторые рабочие связи между группами переменных ... К каждой ветви обобщенного уравнения Граф связан с матрицей, задающей отношения между переменными, представленными узлами на концах этой ветви... Элементарные преобразования [определенные Робишо на рис. 7.2, с. 184] и сокращение цикла позволяет исключить любой узел j графа по формуле сокращения : [описанной в уравнении Робишо 7-1]. С помощью формулы приведения всегда можно сократить граф любого порядка... [После сокращения] конечный граф будет каскадным графом, в котором переменные узлов-приемников явно выражены как функции источников. Это единственный способ сокращения обобщенного графа, поскольку правило Мейсона заведомо неприменимо.

- Робишо, Графики потоков сигналов и их приложения, 1962 г.

Определение элементарного преобразования варьируется от автора к автору:

• Некоторые авторы считают элементарными преобразованиями только суммирование коэффициентов усиления параллельных ребер и умножение коэффициентов усиления последовательных ребер, но не устранение петель.
• Другие авторы рассматривают устранение замкнутой петли как элементарное преобразование.

Параллельные края. Замените параллельные ребра одним ребром, имеющим коэффициент усиления, равный сумме исходных коэффициентов усиления.

Граф слева имеет параллельные ребра между узлами. Справа эти параллельные ребра заменены одним ребром, имеющим коэффициент усиления, равный сумме коэффициентов усиления на каждом исходном ребре.

Уравнения, соответствующие сокращению между N и узлом I ₁ :

${\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {3} }+...\\N&=I_{\mathrm {1} }(f_{\mathrm {1} }+f_{\mathrm {2} }+f_{\mathrm {3} })+...\\\end{aligned}}$

Выходящие края. Замените исходящие ребра ребрами, вытекающими непосредственно из источников узла.

В графе слева есть промежуточный узел N между узлами, из которых он имеет приток, и узлами, в которые он вытекает.График справа показывает прямые потоки между этими наборами узлов без транзита N. через

Для простоты N и его притоки не представлены. Оттоки из N устраняются.

Уравнения, соответствующие сокращению, непосредственно связывающие входные сигналы N с его выходными сигналами:

${\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }N\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }N\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }N\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {1} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {1} }\\O_{\mathrm {2} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {2} }\\O_{\mathrm {3} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {3} }\\\end{aligned}}$

Узлы нулевого сигнала.

Устраните исходящие ребра из узла, имеющего нулевое значение.

Если значение узла равно нулю, его выходящие ребра можно исключить.

Узлы без оттоков.

Устранить узел без оттоков.

В этом случае N не является интересующей переменной и не имеет исходящих ребер; следовательно, N и входящие в него ребра можно исключить.

Самозакручивающийся край. Замените зацикливающиеся края, отрегулировав усиление на входящих краях.

Граф слева имеет циклическое ребро в узле N с коэффициентом усиления g . Справа закольцованное ребро удалено, а усиление всех входящих ребер делится на (1-g) .

Уравнения, соответствующие уменьшению между N и всеми его входными сигналами:

${\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }+Ng\\N-Ng&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\N(1-g)&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\N&=(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\div (1-g)\\N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }\div (1-g)+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }\div (1-g)+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\div (1-g)\\\end{aligned}}$

Реализации

Описанная выше процедура построения SFG из акаузальной системы уравнений и решения коэффициентов SFG реализована. как дополнение к MATHLAB 68 , онлайн- система, обеспечивающая машинную поддержку механических символических процессов, возникающих при анализе .

Решение линейных уравнений

Графики потоков сигналов можно использовать для решения систем одновременных линейных уравнений. Система уравнений должна быть согласованной, и все уравнения должны быть линейно независимыми.

Приведение уравнений в «стандартную форму»

График потока для трех одновременных уравнений. Ребра, инцидентные каждому узлу, окрашены по-разному, просто для акцента. Поворот фигуры на 120° просто меняет местами индексы. $x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,$ $x_{2}=c_{21}x_{1}+\left(c_{22}+1\right)x_{2}+c_{23}x_{3}-y_{2}\ ,$ $x_{3}=c_{31}x_{1}+c_{32}x_{2}+\left(c_{33}+1\right)x_{3}-y_{3}\ .$

Для M уравнений с N неизвестными, где каждый y _j — известное значение, а каждый x _j — неизвестное значение, существует уравнение для каждого известного значения следующей формы.

${\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }&=y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}$ ; обычная форма для одновременных линейных уравнений с 1 ≤ j ≤ M

Хотя возможно, особенно в простых случаях, построить граф потока сигналов, используя уравнения в этой форме, некоторая перестановка позволяет использовать общую процедуру, которая легко работает для любого набора уравнений, как это представлено сейчас. Чтобы продолжить, сначала уравнения переписывают как

${\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=0\end{aligned}}$

и далее переписано как

${\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }+x_{\mathrm {j} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}$

и, наконец, переписано как

${\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }(c_{\mathrm {jk} }+\delta _{\mathrm {jk} })x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}$ ; форма, подходящая для выражения в виде графа потока сигналов.

где δ _kj = дельта Кронекера

Граф потока сигналов теперь упорядочивается путем выбора одного из этих уравнений и обращения к узлу в правой части. Это узел, для которого узел соединяется сам с собой с помощью ветви веса, включающей «+1», образуя замкнутый цикл в графе потока. Остальные члены этого уравнения соединяют этот узел сначала с источником в этом уравнении, а затем со всеми другими ветвями, инцидентными этому узлу. Таким образом обрабатывается каждое уравнение, а затем каждая инцидентная ветвь присоединяется к соответствующему исходящему узлу. Например, на рисунке показан случай трех переменных, и первое уравнение имеет вид:

$x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,$

где правая часть этого уравнения представляет собой сумму взвешенных стрелок, падающих на узел x ₁ .

Поскольку при рассмотрении каждого узла существует базовая симметрия, простой отправной точкой является расположение узлов, при этом каждый узел находится в одной вершине правильного многоугольника. При выражении с использованием общих коэффициентов { c _in } среда каждого узла такая же, как и все остальные, за исключением перестановки индексов. Такая реализация для системы трех одновременных уравнений видна на рисунке.

Часто известные значения y _j принимаются за основные причины, а неизвестные значения x _j за последствия, но независимо от этой интерпретации последняя форма набора уравнений может быть представлена ​​в виде графа потока сигналов. Этот вопрос обсуждается далее в подразделе «Интерпретация причинности» .

Мэйсона

Дополнительная информация: формула усиления Мэйсона.

В самом общем случае значения всех переменных x _k можно вычислить, вычислив формулу усиления Мэйсона для пути от каждого y _j до каждого x _k и используя суперпозицию.

${\begin{aligned}x_{\mathrm {k} }&=\sum _{\mathrm {j} =1}^{\mathrm {M} }(G_{\mathrm {kj} })y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}$

где G _kj = сумма формулы усиления Мэйсона, вычисленная для всех путей от входа y _j до переменной x _k .

В общем, существует N-1 путей от yj _до переменной _xk, поэтому вычислительные усилия для расчета G _kj пропорциональны N-1.Поскольку существует M значений yj _, G _kj необходимо вычислить M раз для одного значения _xk . Вычислительные затраты на вычисление одной переменной x _k пропорциональны (N-1)(M). Усилия по вычислению всех переменных x _k пропорциональны (N)(N-1)(M). Если имеется N уравнений и N неизвестных, то объем вычислений будет порядка N ³ .

Связь с блок-схемами

Пример: блок-схема и два эквивалентных представления графа потока сигналов.

По мнению некоторых авторов, линейный граф потока сигналов более ограничен, чем блок-схема . в том, что SFG строго описывает линейные алгебраические уравнения, представленные ориентированным графом.

По мнению других авторов, линейные блок-схемы и линейные графики потоков сигналов являются эквивалентными способами изображения системы, и любой из них может быть использован для определения коэффициента усиления.

Таблица сравнения блок-схем и графиков потока сигналов предоставлена ​​Bakshi & Bakshi, и еще одна таблица Кумара. По данным Баркера и др. :

«График потока сигналов — наиболее удобный метод представления динамической системы. Топология графа компактна, а правила манипулирования им легче программировать, чем соответствующие правила, применимые к блок-схемам».

На рисунке показана простая блок-схема системы обратной связи с двумя возможными интерпретациями в виде графа потока сигналов. Входной сигнал R(s) представляет собой входной сигнал, преобразованный Лапласом; он показан как исходный узел на графе потока сигналов (исходный узел не имеет входных ребер). Выходной сигнал C(s) представляет собой выходную переменную, преобразованную Лапласом. На блок-схеме он представлен как узел-приемник (приемник не имеет выходных ребер). G(s) и H(s) являются передаточными функциями, причем H(s) служит для обратной связи измененной версии вывода на вход B(s) . Два представления графа потока эквивалентны.

Интерпретация «причинности»

Термин «причина и следствие» был применен Мэйсоном к SFG:

«Процесс построения графика — это отслеживание последовательности причин и следствий в физической системе. Одна переменная выражается как явный эффект, вызванный определенными причинами; они, в свою очередь, признаются эффектами, вызванными другими причинами».

- С. Дж. Мейсон: Раздел IV: Наглядные примеры применения техники потоковых графов.

и было повторено многими более поздними авторами:

« График потока сигналов — это еще один визуальный инструмент для представления причинно-следственных связей между компонентами системы. Это упрощенная версия блок-схемы, представленной С. Дж. Мейсоном как причинно-следственное представление линейных систем».

— Артур Г.О. Мутамбара: Проектирование и анализ систем управления , стр.238

Однако статья Мэйсона призвана подробно показать, как набор уравнений связан с SFG, причем этот акцент не связан с интуитивными понятиями «причины и следствия». Интуиция может быть полезной для достижения SFG или получения понимания от SFG, но она несущественна для SFG. Существенная связь SFG заключается в его собственном наборе уравнений, как описано, например, Огатой:

«График потока сигналов — это диаграмма, которая представляет собой набор одновременных алгебраических уравнений. Применяя метод графа потока сигналов к анализу систем управления, мы должны сначала преобразовать линейные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения в [ переменной преобразования Лапласа ] s . ."

- Кацухико Огата: Современная техника управления , с. 104

Здесь нет ссылки на «причину и следствие», и, как сказал Баруцкий:

«Как и блок-схемы, графы потоков сигналов представляют вычислительную, а не физическую структуру системы».

- Вольфганг Боруцкий, Методология графа Бонда , стр. 10

Термин «причина и следствие» может быть неправильно истолкован применительно к SFG и неправильно воспринят как предполагающий системный взгляд на причинность. а не значение, основанное на вычислениях . Чтобы обсуждение было ясным, возможно, будет целесообразно использовать термин «вычислительная причинность», как это предлагается для графов связей :

«В литературе по графам облигаций используется термин вычислительная причинность, указывающий порядок вычислений в моделировании, чтобы избежать любой интерпретации в смысле интуитивной причинности».

Термин «вычислительная причинность» поясняется на примере тока и напряжения в резисторе:

« Поэтому вычислительная причинность физических законов не может быть предопределена, но зависит от конкретного использования этого закона. Мы не можем сделать вывод, является ли ток, текущий через резистор, причиной падения напряжения, или же это разница потенциалов на два конца резистора, которые вызывают протекание тока. Физически это просто два параллельных аспекта одного и того же физического явления. В вычислительном отношении нам, возможно, придется время от времени принимать одно положение, а иногда другое».

- Франсуа Селье и Эрнесто Кофман: §1.5 Программное обеспечение для моделирования сегодня и завтра , стр. 15

Компьютерная программа или алгоритм могут быть организованы для решения набора уравнений с использованием различных стратегий. Они отличаются тем, как они отдают приоритет поиску одних переменных относительно других, и эти алгоритмические решения, которые просто касаются стратегии решения, затем устанавливают переменные, выраженные как зависимые переменные ранее в решении, как «эффекты», определяемые остальные переменные теперь являются «причинами» в смысле «вычислительной причинности».

Используя эту терминологию, вычислительная , а не системная для SFG важна причинность. Существует широкий спектр философских дебатов, не касающихся конкретно SFG, по поводу связей между вычислительной причинностью и системной причинностью.

потока сигналов для анализа

Графики потока сигналов можно использовать для анализа, то есть для понимания модели существующей системы, или для синтеза, то есть для определения свойств альтернативного проекта.

потока сигналов для анализа

Дорф и Бишоп предоставили список шагов при построении модели динамической системы:

• Дайте определение системе и ее компонентам.
• Сформулируйте математическую модель и перечислите необходимые допущения.
• Напишите дифференциальные уравнения, описывающие модель.
• Решите уравнения для желаемых выходных переменных.
• Изучите решения и предположения.
• При необходимости повторно проанализируйте или перепроектируйте систему.

—Р.С. Дорф и Р.Х. Бишоп, Современные системы управления , глава 2, с. 2

В этом рабочем процессе уравнения математической модели физической системы используются для вывода уравнений графа потока сигналов.

потока сигналов для

Графы потока сигналов использовались в исследовании пространства проектирования (DSE) в качестве промежуточного представления для физической реализации. Процесс DSE ищет подходящее решение среди различных альтернатив. В отличие от типичного рабочего процесса анализа, где интересующая система сначала моделируется с помощью физических уравнений ее компонентов, спецификация для синтеза проекта может быть желаемой передаточной функцией. Например, разные стратегии будут создавать разные графы потоков сигналов, на основе которых вытекают реализации. В другом примере аннотированный SFG используется как выражение поведения в непрерывном времени в качестве входных данных для генератора архитектуры.

Формулы Шеннона и Шеннона-Хэппа

Формула Шеннона представляет собой аналитическое выражение для расчета коэффициента усиления взаимосвязанного набора усилителей аналогового компьютера. Во время Второй мировой войны, исследуя функциональную работу аналогового компьютера, Клод Шеннон разработал свою формулу. Из-за ограничений военного времени работа Шеннона в то время не была опубликована, и в 1952 году Мейсон заново открыл ту же формулу.

Уильям В. Хэпп обобщил формулу Шеннона для топологически замкнутых систем. Формулу Шеннона-Хэппа можно использовать для получения передаточных функций, чувствительности и функций ошибок.

Для согласованного набора линейных односторонних отношений формула Шеннона-Хэппа выражает решение с помощью прямой замены (неитеративной).

Программное обеспечение НАСА для электрических схем NASAP основано на формуле Шеннона-Хэппа.

сигналов

Простой усилитель напряжения

Рисунок 1: SFG простого усилителя

Усиление сигнала V ₁ усилителем с коэффициентом усиления a ₁₂ математически описывается формулой

$V_{2}=a_{12}V_{1}\,.$

Эта зависимость, представленная графиком потока сигналов на рисунке 1, заключается в том, что V ₂ зависит от V ₁ , но это не подразумевает никакой зависимости V ₁ от V ₂ . См. Коу, стр. 57.

усилитель с отрицательной

Рисунок 3: Возможный график потока сигналов для модели асимптотического усиления.

Рисунок 4. Другой график потока сигналов для модели асимптотического усиления.

График прохождения сигнала для неидеального усилителя с отрицательной обратной связью , основанный на управляющей переменной P, связывающей две внутренние переменные: x _j =Px _i . По образцу Д.Амико и др.

Возможная SFG для модели асимптотического усиления показана усилителя с отрицательной обратной связью на рисунке 3 и приводит к уравнению коэффициента усиления этого усилителя как

$G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}$ $=G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ .$

Интерпретация параметров следующая: T = коэффициент обратной связи , G _∞ = прямое усиление усилителя, G ₀ = прямая связь (указывает на возможный двусторонний характер обратной связи, возможно, преднамеренной, как в случае с прямой компенсацией ). Рисунок 3 имеет интересный аспект: он похож на рисунок 2 для двухпортовой сети с добавлением дополнительного отношения обратной связи x ₂ = T y ₁ .

интерпретация параметров G ₀ и G _∞ Из этого выражения коэффициента усиления очевидна , а именно:

$G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G\ ;\ G_{0}=\lim _{T\to 0}G\ .$

Существует множество возможных SFG, связанных с каким-либо конкретным соотношением усиления. На рисунке 4 показана еще одна SFG для модели асимптотического усиления, которую легче интерпретировать с точки зрения схемы. На этом графике параметр β интерпретируется как коэффициент обратной связи, а A как «параметр управления», возможно, связанный с зависимым источником в цепи. Используя этот график, выигрыш равен

$G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}$ $=G_{0}+{\frac {A}{1-\beta A}}\ .$

Чтобы подключиться к модели асимптотического усиления, параметры A и β не могут быть произвольными параметрами схемы, но должны быть связаны с коэффициентом возврата T следующим образом:

$T=-\beta A\ ,$

и асимптотическому выигрышу как:

$G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G=G_{0}-{\frac {1}{\beta }}\ .$

Подставив эти результаты в выражение усиления,

$G=G_{0}+{\frac {1}{\beta }}{\frac {-T}{1+T}}$

$=G_{0}+(G_{0}-G_{\infty }){\frac {-T}{1+T}}$

$=G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}+G_{0}{\frac {1}{1+T}}\ ,$

что является формулой модели асимптотического усиления.

Электрическая схема, содержащая двухполюсную сеть

График прохождения сигналов в цепи, содержащей два порта. Прямой путь от входа к выходу показан другим цветом. Прямоугольник с пунктирной линией окружает часть SFG, составляющую двухпортовый порт.

На рисунке справа изображена схема, содержащая с y двухпортовую сеть -параметром . V _in — вход схемы, а V ₂ — выход. Уравнения двух портов накладывают набор линейных ограничений между напряжениями и токами портов. Терминальные уравнения накладывают другие ограничения. Все эти ограничения представлены в SFG (графике потока сигналов) под схемой. Существует только один путь от входа к выходу, который показан другим цветом и имеет коэффициент усиления (напряжения) -R _L y ₂₁ . Еще есть три петли: -R _в y ₁₁ , -R _L y ₂₂ , R _в y ₂₁ R _L y ₁₂ . Иногда цикл указывает на преднамеренную обратную связь, но он также может указывать на ограничение связи двух переменных. Например, уравнение, описывающее резистор, гласит, что отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через резистор, является константой, называемой сопротивлением. Это можно интерпретировать как напряжение — это вход, а ток — выход, или ток — это вход, а напряжение — выход, или просто напряжение и ток имеют линейную зависимость. Практически все пассивные двухтерминальные устройства в цепи будут отображаться в SFG как петля.

SFG и схема изображают одну и ту же схему, но схема также указывает на назначение схемы. По сравнению со схемой, SFG неудобен, но у него есть то преимущество, что коэффициент усиления входа и выхода можно записать путем проверки с использованием правила Мэйсона .

: сервопривод позиционирования с многоконтурной

Сервопривод углового положения и график потока сигналов. θ _C = команда желаемого угла, θ _L = фактический угол нагрузки, K _P = коэффициент усиления контура положения, В _ωC = команда скорости, В _ωM = напряжение датчика скорости двигателя, K _V = коэффициент усиления контура скорости, В _IC = токовая команда, В _IM = напряжение измерения тока, K _C = коэффициент усиления токовой петли, В _A = выходное напряжение усилителя мощности, L _M = индуктивность двигателя, В _M = напряжение на индуктивности двигателя, I _M = ток двигателя, R _M = сопротивление двигателя, R _S = ток чувствительное сопротивление, K _M = постоянная крутящего момента двигателя (Нм/Ампер), T = крутящий момент, M = момент инерции всех вращающихся компонентов α = угловое ускорение, ω = угловая скорость, β = механическое демпфирование, G _M = постоянная противо-ЭДС двигателя , G _T = константа усиления преобразования тахометра,. Имеется один прямой путь (показан другим цветом) и шесть контуров обратной связи. Предполагается, что приводной вал достаточно жесткий, чтобы его нельзя было рассматривать как пружину. Константы показаны черным цветом, а переменные — фиолетовым.

Этот пример представляет собой SFG (граф потока сигналов), используемый для представления системы сервоуправления, и иллюстрирует некоторые особенности SFG. Некоторые из циклов (петля 3, петля 4 и петля 5) представляют собой внешние, специально разработанные петли обратной связи. Они показаны пунктирными линиями. Существуют также внутренние петли (петля 0, петля 1, петля 2), которые не являются преднамеренными петлями обратной связи, хотя их можно анализировать, как если бы они таковыми были. Эти петли показаны сплошными линиями. Цикл 3 и цикл 4 также называются второстепенными циклами, поскольку они находятся внутри более крупного цикла.

• Путь вперед начинается с θ _C , команды желаемого положения. Это значение умножается на K _P , которое может быть константой или функцией частоты. K _P включает в себя коэффициент преобразования ЦАП и любую фильтрацию на выходе ЦАП. Выходным сигналом K _P является команда скорости V _ωC , которая умножается на K _V , который может быть константой или функцией частоты. Выходной сигнал K _V представляет собой текущую команду, V _IC умножается на K _C , который может быть константой или функцией частоты. Выходной сигнал K _C собой выходное напряжение усилителя, ВА _{представляет} . Ток I _M в обмотке двигателя является интегралом напряжения, приложенного к индуктивности. Двигатель создает крутящий момент , пропорциональный I _M. T Двигатели с постоянными магнитами, как правило, имеют линейную функцию зависимости тока от крутящего момента. Константа преобразования тока в крутящий момент равна K _M . Крутящий момент T , разделенный на момент инерции нагрузки M, представляет собой ускорение α , которое интегрируется для определения скорости нагрузки ω , которая интегрируется для определения положения нагрузки θ _LC .
• Прямой путь контура 0 утверждает, что ускорение пропорционально крутящему моменту, а скорость является интегралом ускорения по времени. Обратный путь говорит о том, что по мере увеличения скорости возникает трение или сопротивление, которое противодействует крутящему моменту. Крутящий момент нагрузки уменьшается пропорционально скорости нагрузки до тех пор, пока не будет достигнута точка, в которой весь крутящий момент будет использоваться для преодоления трения, а ускорение упадет до нуля. Цикл 0 является внутренним.
• Loop1 представляет собой взаимодействие тока индуктора с его внутренним и внешним последовательным сопротивлением. Ток через индуктивность представляет собой интеграл по времени от напряжения на индуктивности. Когда напряжение впервые прикладывается, все оно появляется на индукторе. Это показано прямым путем через ${\frac {1}{s\mathrm {L} _{\mathrm {M} }}}\,$. По мере увеличения тока напряжение падает на внутреннем сопротивлении индуктора R _M и внешнем сопротивлении R _S . Это снижает напряжение на катушке индуктивности и представлено цепью обратной связи -(RM ₊ R _S ). Ток продолжает увеличиваться, но постепенно уменьшаясь, пока ток не достигнет точки, в которой все напряжение падает (RM ₊ RS ₎ . Цикл 1 является внутренним.
• Loop2 выражает влияние противо-ЭДС двигателя. Всякий раз, когда двигатель с постоянными магнитами вращается, он действует как генератор и создает напряжение в своих обмотках. Не имеет значения, вызвано ли вращение крутящим моментом, приложенным к приводному валу, или током, приложенным к обмоткам. Это напряжение называется обратной ЭДС. Коэффициент преобразования скорости вращения в обратную ЭДС равен _GM . Полярность обратной ЭДС такова, что она уменьшает напряжение на индуктивности обмотки. Цикл 2 является внутренним.
• Цикл 3 является внешним. Ток в обмотке двигателя проходит через чувствительный резистор. Напряжение V _IM , возникающее на чувствительном резисторе, подается обратно на отрицательный вывод усилителя мощности K _C . Эта обратная связь заставляет усилитель напряжения действовать как источник тока, управляемый напряжением. Поскольку крутящий момент двигателя пропорционален току двигателя, подсистема V _IC для выходного крутящего момента действует как источник крутящего момента, управляемый напряжением. Эту подсистему можно назвать «токовой петлей» или «моментной петлей». Петля 3 эффективно уменьшает эффекты петель 1 и 2.
• Цикл 4 является внешним. Тахометр (на самом деле маломощный генератор постоянного тока) вырабатывает выходное напряжение V _ωM , пропорциональное угловой скорости. Это напряжение подается на отрицательный вход K _V . Эта обратная связь заставляет подсистему от V _ωC до угловой скорости нагрузки действовать как источник напряжения для скорости. Эту подсистему можно назвать «контуром скорости». Цикл 4 эффективно уменьшает эффекты цикла 0 и цикла 3.
• Цикл 5 является внешним. Это общий контур обратной связи по положению. Обратная связь поступает от углового энкодера, который формирует цифровой выходной сигнал. Выходное положение вычитается из желаемого положения с помощью цифрового оборудования, которое управляет ЦАП, который управляет K _P . В SFG коэффициент преобразования ЦАП включен в K _P .

Для этого примера см. правило Мэйсона для разработки формулы усиления Мэйсона.

потока сигналов

В литературе существует некоторая путаница относительно того, что такое граф потока сигналов; Генри Пейнтер , изобретатель графов облигаций , пишет: «Но большая часть упадка графов потока сигналов [...] частично связана с ошибочным представлением о том, что ветви должны быть линейными, а узлы должны быть суммирующими. Ни одно из предположений не было верным. обнимается самим Мейсоном!"

потока сигналов

• IEEE Std 155-1960, Стандарты IEEE на схемы: определения терминов для линейных графиков потока сигналов, 1960.

Этот стандарт IEEE определяет граф потока сигналов как сеть направленных ветвей, представляющих зависимые и независимые сигналы в качестве узлов . Входящие ветви переносят сигналы ветвей к сигналам зависимого узла. Сигнал зависимого узла представляет собой алгебраическую сумму сигналов входящих ветвей в этом узле, т. е. узлы являются суммирующими.

потока сигналов

Граф потока сигналов перехода состояний. Каждое начальное состояние рассматривается как источник (показан синим цветом).

SFG перехода состояний или диаграмма состояний — это диаграмма моделирования системы уравнений, включая начальные условия состояний.

Закрытая блок-схема

Простая RC-система и ее замкнутая блок-схема. Для замыкания системы вводится «фиктивный» коэффициент пропускания Z(s).

Замкнутые блок-графы описывают закрытые системы и используются для обеспечения строгой теоретической основы топологических методов анализа цепей.

• Терминология теории замкнутых графов включает:
  • Контрибутивный узел. Точка суммирования двух или более входящих сигналов, в результате чего получается только один исходящий сигнал.
  • Распределительный узел. Точка выборки двух или более исходящих сигналов, являющихся результатом только одного входящего сигнала.
  • Сложный узел. Сокращение вкладывающего узла и распределительного узла.
  • Строго зависимый и строго независимый узел. Строго независимый узел представляет собой независимый источник; строго зависимый узел представляет собой метр.
  • Открытые и закрытые блок-графы. Открытый блок-граф содержит строго зависимые или строго независимые узлы; в противном случае это закрытый блок-граф.

Нелинейные графики потоков

Мейсон представил как нелинейные, так и линейные графы потоков. Чтобы прояснить этот момент, Мейсон написал: «Линейный граф потока — это граф, связанные с ним уравнения линейны».

Примеры нелинейных ветвящихся функций

Если мы обозначим через x _j сигнал в узле j , ниже приведены примеры узловых функций, которые не относятся к линейной стационарной системе :

${\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {k} }\times x_{\mathrm {l} }\\x_{\mathrm {k} }&=abs(x_{\mathrm {j} })\\x_{\mathrm {l} }&=\log(x_{\mathrm {k} })\\x_{\mathrm {m} }&=t\times x_{\mathrm {j} }{\text{ ,where }}t{\text{ represents time}}\\\end{aligned}}$

графов потока сигналов

• Хотя их обычно нельзя преобразовать между представлениями во временной и частотной областях для анализа классической теории управления, нелинейные графики потока сигналов можно найти в электротехнической литературе.
• Нелинейные графики потока сигналов также можно найти в науках о жизни, например, доктора Артура Гайтона . в модели сердечно-сосудистой системы

Применение методов SFG в различных областях науки

• Электронные схемы
  • Характеристика последовательных схем типа Мура и Мили , получение регулярных выражений из диаграмм состояний .
  • Синтез нелинейных преобразователей данных.
  • Теория управления и сетей
  • Стохастическая обработка сигналов.
  • Надежность электронных систем
• Физиология и биофизика
  • Регуляция сердечного выброса
• Моделирование
  • Моделирование на аналоговых компьютерах
• Нейронаука и комбинаторика
  • Исследование полихронии

См. также

• Модель асимптотического усиления
• Графики облигаций
• Граф Коутса
• Системы управления/Схемы прохождения сигналов системам управления в Wikibook по
• График потока (математика)
• Фильтр «Чехарда» для примера конструкции фильтра с использованием графа потока сигналов.
• Формула выигрыша Мейсона
• Незначительная обратная связь цикла
• Некоммутативный граф потока сигналов

Ссылки

• Эрнест Дж. Хенли и Р. А. Уильямс (1973). Теория графов в современной технике; автоматизированное проектирование, управление, оптимизация, анализ надежности . Академическая пресса. ISBN  978-0-08-095607-7 . Книга почти полностью посвящена этой теме.
• Коу, Бенджамин К. (1967), Системы автоматического управления , Прентис Холл
• Робишо, Луи, Пенсильвания; Морис Буавер; Жан Робер (1962). Графики прохождения сигналов и их применение . Серия электротехники Прентис-Холл. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. xiv, 214 с.
• Део, Нарсингх (1974), Теория графов с приложениями к инженерии и информатике , PHI Learning Pvt. ООО, с. 418, ISBN  978-81-203-0145-0
• К Туласирамэн; МНС Сварми (2011). «§6.11 Графы Коутса и Мэйсона» . Графики: Теория и алгоритмы . Джон Уайли и сыновья. стр. 163 и далее . ISBN  9781118030257 .
• Огата, Кацухико (2002). «Раздел 3-9 Графики прохождения сигналов». Современная техника управления, 4-е издание . Прентис-Хэл. ISBN  978-0-13-043245-2 .
• Пханг, Хоман (14 декабря 2000 г.). « 2.5 Обзор графиков потока сигналов » (PDF) . Проектирование оптического КМОП-предусилителя с использованием графического анализа схем (Диссертация). Кафедра электротехники и вычислительной техники Университета Торонто. © Авторские права принадлежат Кхоману Пхангу, 2001 г.

Дальнейшее чтение

• Вай-Кай Чен (1976). Прикладная теория графов . Издательство Северной Голландии. ISBN  978-0720423624 . Глава 3 содержит самое необходимое, но приложения разбросаны по всей книге.
• Вай-Кай Чен (май 1964 г.). «Некоторые приложения линейных графов» . Контракт DA-28-043-AMC-00073 (E) . Координированная научная лаборатория Университета Иллинойса, Урбана. Архивировано из оригинала 10 января 2015 года.
• К. Туласираман и МНС Свами (1992). Графы: теория и алгоритмы . Джон Уайли и сыновья. 6.10-6.11 для основной математической идеи. ISBN  978-0-471-51356-8 .
• Шу-Пак Чан (2006). «Теория графов». В Ричарде К. Дорфе (ред.). Схемы, сигналы, обработка речи и изображений (3-е изд.). ЦРК Пресс. § 3.6. ISBN  978-1-4200-0308-6 . Сравнивает графовые подходы Мэйсона и Коутса с подходом k-дерева Максвелла.
• РФ Хоскинс (2014). «График потока и график потока сигналов линейных систем» . В SR Deards (ред.). Последние достижения в теории сетей: материалы симпозиума, состоявшегося в Колледже аэронавтики, Крэнфилд, сентябрь 1961 г. Эльзевир. ISBN  9781483223568 . Сравнение полезности графа потока Коутса и графа потока Мэйсона.

Внешние ссылки

• М. Л. Эдвардс: S-параметры, графики потоков сигналов и другие матричные представления. Все права защищены.
• Х. Шмид: Графики потоков сигналов за 12 коротких уроков
• Системы управления/схемы прохождения сигналов в Wikibooks
• СМИ, связанные с графиками потоков сигналов, на Викискладе?