График облигаций

Эта статья о графиках, представляющих обмен физической энергией. О двухвершинных мультиграфах см. дипольный граф .

Простая система масса-пружина-демпфер и ее эквивалентная форма графа связей.

Граф связей — это графическое представление физической динамической системы . Это позволяет преобразовать систему в представление в пространстве состояний . Это похоже на блок-схему или граф потока сигналов , с той основной разницей, что дуги в графах связей представляют собой двунаправленный обмен физической энергией , тогда как дуги в блок-схемах и графиках потока сигналов представляют однонаправленный поток информации. Графы связей являются многоэнергетическими (например, механическими, электрическими, гидравлическими и т. д.) и нейтральными. Это означает, что граф облигаций может легко включать в себя несколько доменов.

Граф связи состоит из «связей», которые связывают воедино элементы «один порт», «два порта» и «многопорт» (подробнее см. Ниже). Каждая связь представляет собой мгновенный поток энергии ( dE / dt ) или мощности . Поток в каждой связи обозначается парой переменных, называемых степенными переменными, сродни сопряженным переменным , произведением которых является мгновенная мощность связи. Переменные мощности разбиты на две части: поток и усилие . Например, для соединения электрической системы поток — это ток, а усилие — это напряжение. Умножив ток и напряжение в этом примере, вы можете получить мгновенную мощность связи.

У облигации есть еще две особенности, кратко описанные здесь и более подробно обсуждаемые ниже. Одним из них является соглашение о знаках «полустрелки». Это определяет предполагаемое направление потока положительной энергии. Как и в случае с электрическими схемами и диаграммами свободного тела, выбор положительного направления произволен, с оговоркой, что аналитик должен полностью следовать выбранному определению. Другая особенность — «причинность». Это вертикальная полоса, расположенная только на одном конце связки. Это не произвольно. Как описано ниже, существуют правила назначения правильной причинно-следственной связи данному порту и правила приоритета между портами. Причинность объясняет математическую связь между усилием и потоком. Положения причинно-следственных связей показывают, какие из степенных переменных являются зависимыми, а какие – независимыми.

Если динамика моделируемой физической системы действует в широко меняющихся временных масштабах, быстрое поведение в непрерывном времени можно смоделировать как мгновенные явления с помощью гибридного графа связей . Графы облигаций были изобретены Генри Пейнтером .

Системы для графа облигаций

Многие системы можно выразить в терминах, используемых в графе облигаций. Эти термины выражены в таблице ниже.

Условные обозначения для таблицы ниже:

• $P$ – активная мощность ;
• ${\hat {X}}$ является матричным объектом;
• ${\vec {x}}$ является векторным объектом;
• $x^{\dagger }$ является эрмитовым сопряжением x ; это сопряжение транспонирования ​ x . комплексное Если x является скаляром, то эрмитово сопряжение совпадает с комплексно-сопряженным;
• $D_{t}^{n}$ — обозначение Эйлера для дифференцирования, где: $$D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\[2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{cases}}$$
• ${\begin{cases}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implies \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{cases}}$
• Вергент-фактор: $$\phi _{L}={\begin{cases}{\textrm {Prismatic}}:\ {\dfrac {\textrm {length}}{{\textrm {cross-sectional}}\ {\textrm {area}}}}\\{\textrm {Cylinder}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radius_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\right)}{2\pi \cdot {\textrm {length}}}}\\{\textrm {Sphere}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radius_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}$$

	Обобщенный поток	Генерализованное смещение	Обобщенные усилия	Обобщенный импульс	Обобщенная мощность (в ваттах для энергосистем)	Обобщенная энергия (в джоулях для энергосистем)
Имя	${\vec {f}}(t)$	${\vec {q}}(t)$	${\vec {e}}(t)$	${\vec {p}}(t)$	$P={\vec {f}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)$	$E={\vec {q}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)$
Описание	Производная смещения по времени	Качество, связанное со статическим поведением.	Энергия на единицу смещения	Интеграл времени от усилия	Преобразование энергии из одной формы в другую	Сохраняемое количество в закрытых системах
Элементы
Имя	Гиперанс $H$, гиперригитантность $P=H^{-1}$	Согласие $C$, строгость $K=C^{-1}$	Сопротивление $R$	Инерция $I$ (или $L$)	Абрахансе $A$	Маньянс $M$
Характеристики	Рассеивающий элемент мощности	Элемент хранения заряда (Переменная состояния: смещение) (Переменная стоимости: усилие)	Рассеивающий элемент мощности	Элемент хранения импульса (Переменная состояния: импульс) (Переменная стоимости: поток)	Рассеивающий элемент мощности	Рассеивающий элемент мощности
Количественное поведение	Для одномерных систем (линейных): $$P=H\cdot \left(D_{t}^{0}q(t)\right)^{2}$$ Для одномерных систем: $$e(t)=P\gamma \left[D_{t}^{-1}q(t)\right]$$ Импеданс: $$Z(s)={\frac {1}{s^{2}H}}={\frac {1}{s^{2}}}P$$	Потенциальная энергия для N-мерных систем: $${\begin{array}{lcl}V&=&{\frac {1}{2}}{\vec {q}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)\\{\vec {q}}(t)&=&{\hat {C}}{\vec {e}}(t)\end{array}}$$ Потенциальная энергия: $$V=\int _{0}^{q}e(q)\,dq$$ Потенциальная коэнергия : $${\overline {V}}=\int _{0}^{e}q(e)de$$ Для одномерных систем: $$f(t)=C\cdot {\frac {de}{dt}}+e{\frac {dC}{dt}}$$ Импеданс: $$Z(s)={\frac {1}{sC}}={\frac {1}{s}}k$$	Для одномерных систем (линейных): $$P=R\cdot \left(D_{t}q(t)\right)^{2}$$ Мощность для одномерных нелинейных сопротивлений ( $e(f)$ – усилие, развиваемое элементом): $$P=e(f)f$$ Рэлеевская мощность: $${\mathfrak {R}}={\frac {1}{2}}R\cdot f(t)^{2}$$ Оуэр Рэлея для нелинейных сопротивлений: $${\mathfrak {R}}=\int _{0}^{f}e(f)\,df$$ Усилие Рэлея: $$e_{\mathfrak {R}}={\frac {d{\mathfrak {R}}}{df}}=e(f)$$ Для N -мерных систем: $${\begin{array}{lcr}P&=&{\vec {f}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)\\{\vec {e}}(t)&=&{\hat {R}}{\vec {f}}(t)\end{array}}$$ Для одномерных систем: $$e(t)=R\cdot \gamma \left[D_{t}^{1}q(t)\right]$$ Импеданс: $$Z(s)=R$$	Кинетическая энергия для N -мерных систем: $${\begin{array}{lcl}T={\frac {1}{2}}{\vec {\rho }}(t)^{\dagger }{\vec {f}}(t)\\{\vec {\rho }}(t)={\hat {L}}{\vec {f}}(t)\end{array}}$$ Кинетическая энергия: $$T=\int _{0}^{\rho }f(\rho )\,d\rho$$ Кинетическая коэнергия: $${\overline {T}}=\int _{0}^{f}\rho (f)\,df$$ Для одномерных систем: $$e(t)=L\cdot {\frac {df}{dt}}+f\cdot {\frac {dL}{dt}}$$ Импеданс: $$Z(s)=sL$$	Для одномерных систем (линейных): $$P=A\cdot \left(D_{t}^{2}q(t)\right)^{2}$$ Для одномерных систем: $$e(t)=A\cdot \gamma \left[D_{t}^{3}q(t)\right]$$ Импеданс $$Z(s)=s^{2}A$$	Для одномерных систем (линейных) $$P=A\cdot \left(D_{t}^{3}q(t)\right)^{2}$$ Для одномерных систем $$e(t)=M\cdot \gamma \left[D_{t}^{5}q(t)\right]$$ Импеданс $$Z(s)=s^{4}M$$
Обобщенное поведение	Энергия из источников активных усилий: $W=\int _{0}^{q}{e_{\text{source}}}\,dq$ Лагранжиан : ${\mathfrak {L}}=T-(V-W)$ Гамильтониан : ${\mathfrak {H}}=T+(V-W)$ Гамильтонова усилие: $e_{\mathfrak {H}}={\frac {d{\mathfrak {H}}}{dq}}$ Лагранжево усилие: $e_{\mathfrak {L}}={\frac {d{\mathfrak {L}}}{dq}}$ Пассивное усилие: $e_{\mathfrak {LH}}={\frac {d}{dt}}{\frac {d{\mathfrak {L}}}{df}}$ Уравнение мощности: ${\frac {d{\mathfrak {L}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {H}}}{dt}}=0$ Уравнение усилия: $e_{\mathfrak {L}}+e_{\mathfrak {H}}=0$ Уравнение Лагранжа: $e_{\mathfrak {R}}+e_{\mathfrak {LH}}=e_{\mathfrak {L}}$ Уравнение Гамильтона: $e_{\mathfrak {R}}+e_{\mathfrak {LH}}=-e_{\mathfrak {H}}$ Если ${\overline {W}}$ это коэнергия, $W$ это энергия, $S$ является переменной состояния и ${\overline {S}}$ является переменной стоимости, ${\begin{aligned}{\overline {W}}+W=S\cdot {\overline {S}}\\{\overline {W}}=\int _{0}^{\overline {S}}S({\overline {S}})\,d{\overline {S}}\\W=\int _{0}^{S}{\overline {S}}(S)dS\end{aligned}}$ Для линейных элементов: ${\overline {W}}=W={\frac {1}{2}}S\cdot {\overline {S}}$

Продольная механическая силовая система

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{6}x$: наброситься / хлопнуть $\mathrm {[m/s^{6}]}$	$D_{t}^{5}x$: волан/треск $\mathrm {[m/s^{5}]}$	$D_{t}^{4}x$: подпрыгнуть / щелкнуть $\mathrm {[m/s^{4}]}$	$D_{t}^{3}x$: придурок $\mathrm {[m/s^{3}]}$
	$D_{t}^{2}x$: ускорение $(x_{2t})\ \mathrm {[m/s^{2}]}$	$D_{t}^{1}x$: скорость $(x_{t})\ \mathrm {[m/s]}$ (поток)	$D_{t}^{0}x$: смещение $(x)\ \mathrm {[m]}$ (перемещение)	$D_{t}^{-1}x$: рассеянно $\mathrm {[m\cdot s]}$
	$D_{t}^{-2}x$: абсцесс $\mathrm {[m\cdot s^{2}]}$	$D_{t}^{-3}x$: абселяция $\mathrm {[m\cdot s^{3}]}$	$D_{t}^{-4}x$: абсурд $\mathrm {[m\cdot s^{4}]}$
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{1}F$: дернуть $\mathrm {[N/s]}$	$D_{t}^{0}F$: сила $(P_{x}^{t})\ \mathrm {[N]}$ (усилие)	$D_{t}^{-1}F$: линейный импульс $(P_{x}^{2t})\ \mathrm {[kg\cdot m/s]}$ (импульс)
Пассивные элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)	Абраханс (А)	Магнанс (М)
Весна $$\langle P_{x}^{t}\rangle =k\langle x\rangle$$ где $k$ пружины это жесткость	Демпфер $$\langle P_{x}^{t}\rangle =b\langle x_{t}\rangle$$ где $b$ параметр демпфера	Масса $$\langle P_{x}^{t}\rangle =m\langle x_{2t}\rangle$$ где $m$ это масса	Сила Авраама – Лоренца $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\langle x_{3t}\rangle$$ где $\mu _{0}$ это проницаемость $q$ электрический заряд $c$ это скорость света	Сила реакции магнитного излучения $$\langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}q^{2}R}{24\pi c^{3}}}\langle x_{5t}\rangle$$ где $\mu _{0}$ это проницаемость $q$ электрический заряд $c$ это скорость света $R$ это радиус магнитного момента
Консольный $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {3EI}{L^{3}}}\langle x\rangle$$ $L$: длина консоли $E$: модуль Юнга $I$: второй момент площади	Устойчивость к циклотронному излучению $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {\sigma _{t}B^{2}}{c\mu _{0}}}\langle x_{t}\rangle$$ где $\sigma _{t}$: поперечное сечение Томпсона $c$: скорость света $\mu _{0}$: проницаемость $B$: магнитного поля плотность
Призматический поплавок в широком водоеме $$\langle P_{x}^{t}\rangle =\rho _{L}gA\langle x\rangle$$ где $\rho _{L}$: плотность жидкости $A$: область $g$: гравитационное ускорение	Вязкое трение $$\langle P_{x}^{t}\rangle =b\langle x_{t}\rangle$$ где $b$ параметр вязкого трения
Эластичный стержень $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {EA}{L}}\langle x\rangle$$ где $E$: модуль Юнга $A$: область $L$: длина стержня	Обратная кинетическая подвижность $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {1}{\mu }}\langle x_{t}\rangle$$ где $\mu$ кинетическая подвижность
Закон гравитации Ньютона $$\langle P_{x}^{t}\rangle =GMm\langle x\rangle ^{-2}$$ где $G$: гравитационная постоянная $M$: масса тела 1 $m$: масса тела 2	Геометрия, взаимодействующая с воздухом (например, сопротивление ) $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {1}{2}}c\rho A\langle x_{t}\rangle ^{2}$$ где $A$: контактная зона $c$: коэффициент аэродинамической геометрии $\rho$: плотность жидкости
Закон Кулона $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}}}\langle x\rangle ^{-2}$$ где $\varepsilon _{0}$: диэлектрическая проницаемость $Q$: заряд тела 1 $q$: заряд тела 2	Абсквер демпфер $$\langle P_{x}^{t}\rangle =B\langle x_{t}\rangle ^{2}$$ где $B$ параметр демпфера Absquare
Казимир сила $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {A\hbar c\pi ^{2}}{240}}\langle x\rangle ^{-4}$$ где $A$: площадь пластины $\hbar$: приведенная постоянная Планка $c$: скорость света	Сухое трение $$\langle P_{x}^{t}\rangle =\mu F_{n}\langle x_{t}\rangle ^{0}$$ где $\mu$: коэффициент кинетического трения $F_{n}$: нормальная сила
Закон Био – Савара $$\langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}l}{2\pi }}\langle x\rangle ^{-1}$$ где $\mu _{0}$: проницаемость $I_{1}$: ток в проводе 1 $I_{2}$: ток в проводе 2 $l$: длина проводов
Поршневая прессующая жидкость внутри адиабатической камеры $$P_{x}^{t}=AP_{0}\left(1+{\frac {x}{x_{0}}}\right)^{-\gamma }$$ где $A$: площадь поршня $P_{0}$: начальное давление внутри $x_{0}$: исходное положение поршня $\gamma$: коэффициент Пуассона

Угловая механическая силовая система

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{3}\theta$: угловой рывок $\mathrm {[rad/s^{3}]}$	$D_{t}^{2}\theta$: угловое ускорение $(\theta _{2t})\ \mathrm {[rad/s^{2}]}$
	$D_{t}^{1}\theta$: угловая скорость $(\theta _{t})\ \mathrm {[rad/s]}$ (поток)	$D_{t}^{0}\theta$: угловое смещение $(\theta )\ \mathrm {[rad]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{1}\tau$: повернут $\mathrm {[W/rad]}$	$D_{t}^{0}\tau$: Рорк $(P_{\theta }^{t})\ \mathrm {[J/rad]}$ (усилие)
	$D_{t}^{-1}\tau$: угловой момент $(P_{\theta }^{2t})\ \mathrm {[J\cdot s/rad]}$ (импульс)
Пассивные элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)
Обратная угловая константа пружины $$\langle P_{\theta }^{t}\rangle =k_{r}\langle \theta \rangle$$ где $k_{r}$ угловая константа пружины	Угловое демпфирование $$\langle P_{\theta }^{t}\rangle =R\langle \theta _{t}\rangle$$ где $R$ константа затухания	Момент инерции массы Тип $\langle P_{\theta }^{t}\rangle =I\langle \theta _{2t}\rangle$ где $I$ это момент инерции массы
Торсион стержня $$\langle P_{\theta }^{t}\rangle ={\frac {GJ}{L}}\langle \theta \rangle$$ где $G$: модуль сдвига $J$: полярный момент площади $L$: длина стержня	Губернатор (например, используется в музыкальных шкатулках) $$\langle P_{\theta }^{t}\rangle =R\langle \theta _{t}\rangle ^{2}$$ где $R$ константа губернатора
Изгибающий момент (консольный) $$\langle P_{\theta }^{t}\rangle ={\frac {EI}{L}}\langle \theta \rangle$$ где $E$: Модуль Юнга $I$: второй момент площади $L$: длина луча
Параллельное силовое поле $$\langle P_{\theta }^{t}\rangle =\langle P_{x}^{t}\rangle \sin \left(\alpha -\theta \right)$$ где $\alpha$: угол (положительный против часовой стрелки) между полярной осью и силовым полем. $\theta$: текущий угол объекта (например, маятника)

Электроэнергетическая система

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{2}q$: электрическая инерция $\mathrm {[A/s]}$	$D_{t}^{1}q$: электрический ток $(q_{t})\ \mathrm {[A]}$ (поток)	$D_{t}^{0}q$: электрический заряд $(q)\ \mathrm {[C]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{1}V$: растяжение $\mathrm {[V/s]}$	$D_{t}^{0}V$: Напряжение $(P_{q}^{t})\ \mathrm {[V]}$ (усилие)	$D_{t}^{-1}V$: потокосцепление $(P_{q}^{2t})\ \mathrm {[V\cdot s]} {\text{ or }}\mathrm {[Wb\cdot turn]}$ (импульс)
Элементы
Гиперанс (H)	Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)	Абраханс (А)
Частотно-зависимый отрицательный резистор (FDNR) $$\langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {1}{H}}\langle q^{t}\rangle$$	Линейный конденсатор $$\langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {1}{\varepsilon }}\phi _{L}\langle q\rangle$$ где $\varepsilon$: Диэлектрическая проницаемость $\phi _{L}$: вергентный фактор	Линейный резистор $$\langle P_{q}^{t}\rangle =\rho \phi _{L}(1+\alpha (T-T_{0}))\langle q_{t}\rangle$$ где $\rho$: удельное сопротивление $\phi _{L}$: вергентный фактор $\alpha$: термический коэффициент $T$: текущая температура $T_{0}$: эталонная температура	Линейный индуктор (соленоид) $$\langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}N^{2}A}{L}}\langle q_{2t}\rangle$$ где $\mu _{0}$: проницаемость $N$: количество витков $A$: область $L$: длина	Частотно-зависимая отрицательная проводимость (FDNC) Тип $$\gamma ^{1}\iff V=RD_{t}^{2}i\quad [H\cdot s]$$
		Диод $$P_{q}^{t}=nV_{T}\ln \left(1+{\frac {q_{t}}{I_{s}}}\right)$$ где $n$: фактор идеальности $V_{T}$: тепловое напряжение $I_{s}$: ток утечки	Тороид $$\langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {\mu N^{2}A}{2\pi r}}\langle q_{2t}\rangle$$ где $\mu$: проницаемость $N$: количество витков $A$: площадь поперечного сечения $r$: радиус тороида до центральной линии
Интрагиратор			Интергиратор
Совместимый гиратор	Резистивный гиратор	Инертный гиратор
	на эффекте Холла Устройство $${\begin{aligned}e_{x}=R_{H}{\frac {B_{z}}{t_{z}}}i_{y}\\e_{y}=R_{H}{\frac {B_{z}}{t_{z}}}i_{x}\end{aligned}}$$ где $R_{H}$: коэффициент Холла $B_{z}$: поле вертикальной магнитной индукции $t_{z}$: вертикальная толщина	Асинхронный двигатель $${\begin{aligned}e_{r}^{1}=M\cos(\theta )D_{t}f_{s}^{1}+f_{s}^{1}D_{t}\left[M\cos(\theta )\right]\\e_{s}^{1}=M\cos(\theta )D_{t}f_{r}^{1}+f_{r}^{1}D_{t}\left[M\cos(\theta )\right]\end{aligned}}$$ где $\theta$: электрический угол $e_{r}^{1}$: напряжение на стержне ротора $e_{s}^{1}$: напряжение на статорном стержне $f_{s}^{1}$: поток через стержень статора $f_{r}^{1}$: поток через стержень ротора	двигатель постоянного тока $${\begin{aligned}\tau _{e}=k_{a}\phi _{a}(i_{e})i_{a}\\\omega _{e}={\frac {1}{k_{a}\phi _{a}(i_{e})}}e_{a}\end{aligned}}$$ где $\tau _{e}$: электромагнитный крутящий момент $\omega _{e}$: угловая скорость оси $i_{e}$: ток возбуждения $i_{a}$: ток якоря	Гиратор Фарадея $${\begin{aligned}F&=Bli\\V&={\frac {1}{Bl}}v\end{aligned}}$$ где $F$: сила $v$: скорость стержня $V$: напряжение стержня $B$: поле магнитной индукции $l$: длина стержня
			диск Фарадея $${\begin{aligned}V&={\frac {1}{2}}Br^{2}\omega \\\tau &={\frac {1}{2}}Br^{2}i\end{aligned}}$$ где $B$: поле магнитной индукции $r$: радиус диска
Внутритрансформаторный			Интертрансформатор
Электрический трансформатор (только для сигналов переменного тока) $${\begin{aligned}V_{2}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{1}\\f_{2}&={\frac {N_{1}}{N_{2}}}f_{1}\end{aligned}}$$

Гидравлическая/пневматическая силовая система

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{1}V$: объемный расход $(V_{t})\ \mathrm {[m^{3}/s]}$ (поток)	$D_{t}^{0}V$: объем $(V)\ \mathrm {[m^{3}]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}P$: давление $(P_{V}^{t})\ \mathrm {[Pa]}$ (усилие)	$D_{t}^{-1}P$: импульс жидкости $(P_{V}^{2t})\ \mathrm {[Pa\cdot s]}$ (импульс)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)
Эластичность трубы $$\langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {t_{W}E}{2r_{0}V_{0}}}\right)\langle V\rangle$$ где $r_{0}$: номинальный радиус трубы $V_{0}$: объем трубы (без напряжения) $t_{W}$: толщина стенки $E$: модуль Юнга	Губка Дарси $$\langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {\mu }{k}}\phi _{L}\right)\langle V_{t}\rangle$$ где $\mu$: динамическая вязкость $k$: проницаемость $\phi _{L}$: вергентный фактор	Инерция жидкости в трубах $$\langle P_{V}^{t}\rangle =\left(\rho \phi _{L}\right)\langle V_{2t}\rangle$$ где $\rho$: плотность жидкости $\phi _{L}$: вергентный фактор
Сжимаемая жидкость (приближение) $$\langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {B}{V_{0}}}\right)\langle V\rangle =\underbrace {\left({\frac {\rho _{0}c^{2}}{V_{0}}}\right)} _{\begin{array}{c}{\text{Acoustic}}\\{\text{Approximation}}\end{array}}\langle V\rangle$$ где $V_{0}$: объем трубы (без напряжения) $B$: объемный модуль $\rho _{0}$: плотность газа при эталонном давлении $c$: скорость звука	Клапан $$\langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {\rho }{2C_{d}^{2}A_{0}^{2}}}\right)\langle V_{t}\rangle ^{2}$$ $C_{d}$: коэффициент расхода $\rho$: плотность жидкости $A_{0}$: наименьшая площадь для прохождения жидкости
Танк с площадью ${\textstyle A{\frac {1}{[m]^{n-1}}}\left(h+h_{0}\right)^{n-1}}$: $$P_{V}^{t}=\rho gh_{0}\left[\left(1+{\frac {nV}{A{\frac {1}{[m]^{n-1}}}h_{0}^{n}}}\right)^{1/n}-1\right]$$ где $h$: высота относительно земли $h_{0}$: высота впуска $\rho$: плотность жидкости $A$: масштабирование кривой (размер площади) $[m]^{n-1}$: коррекция размера $n$: параметр кривой $g$: ускорение силы тяжести Случай $n=1$ (призматический корпус): $$P_{V}^{t}={\frac {\rho g}{A}}V$$ Случай $n=0$ (текущий корпус диода): $$P_{V}^{t}=\rho gh_{0}\left(e^{\frac {V}{A[m]}}-1\right)$$	Сопротивление Пуазейля для цилиндров $$\langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {8\mu L}{\pi R^{4}}}\right)\langle V_{t}\rangle$$ где $\mu$: динамическая вязкость $L$: длина трубы $R$: радиус трубы
Изотермическая камера $$\langle P_{V}^{t}\rangle =k\langle V_{t}\rangle ^{-1}$$ где $k$ постоянная камеры	Устойчивость к турбулентности $$\langle P_{V}^{t}\rangle =a_{t}\langle V_{t}\rangle ^{\frac {7}{4}}$$ где $a_{t}$ является эмпирическим параметром
Сжимаемая жидкость $$P_{V}^{t}=-B\ln V$$ где $B$ объемный модуль	Сопло $$\langle P_{V}^{t}\rangle ={\frac {\rho }{2\left(A_{\text{out}}^{2}\parallel -A_{\text{in}}^{2}\right)}}\langle V_{t}\rangle ^{2}$$ где $\rho$: плотность жидкости $A_{\text{out}}$: площадь выхода $A_{\text{in}}$: входная зона
Адиабатический мочевой пузырь $$P_{V}^{t}=P_{V,0}^{t}\left(1-{\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-\gamma }$$ где $P_{V,0}^{t}$: эталонное давление $V_{0}$: справочный объем $\gamma$: коэффициент Пуассона	Обратный клапан $$P_{V}^{t}=k\ln \left(1+{\frac {V_{t}}{V_{t,0}}}\right)$$ где $k$: эмпирическая константа $V_{t,0}$: абсолютный расход обратного смещения

Гираторно-емкостная система питания

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{0}\varphi$: магнитный поток $(\varphi )\ \mathrm {[Wb]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}{\mathcal {F}}$: магнитодвижущая сила $({\mathcal {F}})\ \mathrm {[A\cdot turn]}$ (импульс)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)
Проницаемость ( ${\mathcal {P}}$) $$\langle {\mathcal {F}}\rangle ={\frac {1}{\mu }}\phi _{L}\langle \varphi \rangle \quad \mathrm {[H/turn^{2}]}$$ где $\mu$: проницаемость $\phi _{L}$: вергентный фактор	Магнитный комплексный импеданс ( $Z_{M}$) $${\mathcal {F}}=Z_{M}{\varphi _{t}}\quad \mathrm {[{turn}^{2}/\Omega ]}$$	Магнитная комплексная индуктивность ( $L_{M}$) $${\mathcal {F}}=L_{M}{\varphi _{2t}}\quad \mathrm {[{turn}^{2}F]}$$

Гравитационная энергетическая система

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{0}i_{g}$: гравитационная токовая петля $\left(i_{g}=2\varepsilon _{g}v_{\text{orbit}}^{3}\right)\ \mathrm {[kg/s]}$ (поток)	$D_{t}^{-1}i_{g}$: гравитационный заряд $(M)\ \mathrm {[kg]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}V_{g}$: гравитационное напряжение $\left(V_{g}={\frac {1}{2}}{\frac {v_{\text{orbit}}^{4}}{c^{2}}}\right)\ \mathrm {[m^{2}/s^{2}]}$ (усилие)	$D_{t}^{-1}V_{g}$: гравитационный импульс $\left(\phi _{g}={\frac {\pi v_{\text{orbit}}^{3}r}{c^{2}}}\right)\ \mathrm {[m^{2}/s]}$ (импульс)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)
Гравитационная емкость Тип $\gamma ^{1}\iff M_{g}=CV_{g}\quad \mathrm {[kg/m^{2}]}$ $C_{g}={\frac {2c^{2}r^{2}}{GM}}$	Гравитационное орбитальное сопротивление Тип $\gamma ^{1}\iff V_{g}=R_{g}i_{g}\quad \mathrm {[m^{2}/kg\cdot s]}$ $R_{g}={\frac {\mu _{g}}{4}}v_{\text{orbit}}$	Гравитационная индуктивность Тип $\gamma ^{1}\iff \phi _{g}=Ii_{g}\quad \mathrm {[m^{2}/kg\cdot s^{2}]}$ $L_{g}={\frac {2\pi ^{2}G}{c^{2}}}r$

Система объемной плотности мощности электрического поля

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{0}J$: плотность тока $(J)\ \mathrm {[A/m^{2}]}$ (поток)	$D_{t}^{-1}J$: поле электрического смещения $(D)\ \mathrm {[C/m^{2}]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}E$: электрическое поле $(E)\ \mathrm {[V/m]}$ (усилие)	$D_{t}^{-1}E$: вектор магнитного потенциала $(A)\ \mathrm {[V\cdot s/m]}$ (импульс)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инертность объемной плотности мощности ( $I_{V}$)
Электрическая проницаемость Тип $\gamma ^{1}\iff D=\epsilon _{0}E\quad \mathrm {[F/m]}$	Электрическое сопротивление Тип $\gamma ^{1}\iff E=\rho J\quad \mathrm {[\Omega m]}$	Магнитная проницаемость $\mu _{0}\ \mathrm {[H/m]}$

Система объемной плотности мощности магнитного поля

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{0}B$: плотность магнитного потока $(B)\ \mathrm {[T]} {\text{ or }}\mathrm {[Wb/m^{2}]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}H$: напряженность магнитного поля $(H)\ \mathrm {[A\cdot {turn}/m]}$ (усилие)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инертность объемной плотности мощности ( $I_{V}$)
Магнитная проницаемость магнитных цепей Тип $\gamma ^{1}\iff B=\mu H\quad \mathrm {[H/(m\cdot {turn}^{2})]}$

Гравитоэлектрическая система объемной плотности мощности

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{0}J_{g}$: поток массы $(J_{g})\ \mathrm {[kg/m^{2}s]}$ (поток)	$D_{t}^{-1}J_{g}$: накопленный поток массы $(D_{g})\ \mathrm {[kg/m^{2}]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}g$: ускорение силы тяжести $(g)\ \mathrm {[m/s^{2}]}$ (усилие)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инертность объемной плотности мощности ( $I_{V}$)
Гравитационная диэлектрическая проницаемость Тип $\gamma ^{1}\iff D_{g}=\epsilon _{g}g\quad \mathrm {[kg\cdot s^{2}/m^{3}]}$ $\varepsilon _{g}={\frac {1}{4\pi G}}$		Гравитационная проницаемость $\mathrm {[m/kg]}$$$I_{V}=\mu _{g}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}$$

Гравитомагнитная система объемной плотности мощности

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{0}B_{g}$: гравитомагнитное поле $\left(B_{g}=\omega _{\text{orbit}}\left({\frac {v_{\text{orbit}}}{c}}\right)^{2}\right)\ \mathrm {[Hz]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}H_{g}$: напряженность гравитомагнитного поля $(H_{g})\ \mathrm {[Pa\cdot s]}$ (усилие)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инертность объемной плотности мощности ( $I_{V}$)
Гравитационная проницаемость $-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\ \mathrm {[m/kg]}$

Система тепловая мощность-температура

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{1}Q$: скорость нагрева $(\psi _{t})\ \mathrm {[W]}$ (поток)	$D_{t}^{0}Q$: общее тепло $(\psi )\ \mathrm {[J]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}T$: температура $(T)\ \mathrm {[K]}$ (Усилие)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инерция (Я)
Изобарное тепло $$T={\frac {1}{\rho Vc_{p}}}\psi ={\frac {1}{C_{P}}}\psi$$ где $\rho$: плотность массы объекта $V$: объем объекта $c_{p}$: удельная теплоемкость под давлением	Сопротивление проводимости $$T={\frac {1}{k}}\phi _{L}\psi _{t}$$ где $k$: теплопроводность $\phi _{L}$: вергентный фактор
Изокорическое тепло $$T={\frac {1}{C_{V}}}\psi$$ где $C_{V}$ - теплоемкость постоянного объема	Сопротивление конвекции $$T={\frac {1}{hA}}\psi _{t}$$ где $h$: коэффициент конвекции $A$: область интерфейса
Изотермическое тепло $$T={\frac {1}{nR\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)}}\psi$$ где $R$: универсальная газовая постоянная $n$: количество родинок $V_{f}$: окончательный том $V_{i}$: начальный объем	Закон Стефана – Больцмана $$\langle T\rangle =\left({\frac {1}{e\sigma A}}\right)^{0.25}\langle \psi _{t}\rangle ^{0.25}$$ где $e$: излучательная способность $\sigma$: постоянная Стефана – Больцмана $A$: область интерфейса

Система объемной плотности мощности механики сплошной среды

Переменные, связанные с потоком	$D_{t}^{1}\varepsilon$: скорость деформации $({\dot {\varepsilon }})\ \mathrm {[Hz]}$ (поток)	$D_{t}^{0}\varepsilon$: напряжение $(\varepsilon )\ \mathrm {[1]}$ (перемещение)
Переменные, связанные с усилием	$D_{t}^{0}\sigma$: стресс $(\sigma )\ \mathrm {[Pa]}$ (усилие)
Элементы
Соответствие (С)	Сопротивление (R)	Инертность объемной плотности мощности ( $I_{V}$)
Обратная жесткость Тип $\gamma ^{1}\iff \varepsilon =C\sigma \quad \mathrm {[Pa^{-1}]}$ $C={\frac {1}{K}}$	Вязкость Тип $\gamma ^{1}\iff \sigma =R{\dot {\varepsilon }}\quad \mathrm {[Pa\cdot s]}$	Инертность плотности мощности: плотность материала $\rho \ \mathrm {[kg/m^{3}]}$

Другие системы:

• Термодинамическая энергетическая система (поток — это скорость энтропии, а усилие — это температура)
• Электрохимическая энергетическая система (поток — это химическая активность, а усилие — химический потенциал)
• Термохимическая энергетическая система (поток - это массовая скорость, а усилие - это удельная энтальпия массы)
• Макроэкономическая система валютных курсов (перемещение — это товар, а усилие — это цена за товар)
• Микроэкономическая система валютных курсов (перемещение населения — это население, а усилия — ВВП на душу населения)

Тетраэдр государства

Тетраэдр государства

Тетраэдр состояния — это тетраэдр, который графически показывает преобразование между усилием и потоком. На соседнем изображении показан тетраэдр в его обобщенном виде. Тетраэдр может быть модифицирован в зависимости от области энергии.

Используя тетраэдр состояния, можно найти математическую связь между любыми переменными в тетраэдре. Это делается путем следования стрелкам вокруг диаграммы и умножения любых констант по пути. Например, если вы хотите найти связь между обобщенным потоком и обобщенным смещением, вы должны начать с f ( t ) , а затем проинтегрировать ее, чтобы получить q ( t ) . Дополнительные примеры уравнений можно увидеть ниже.

Связь между генерализованным смещением и генерализованным потоком.

$$q(t)=\int f(t)\,dt$$

Связь между обобщенным потоком и обобщенным усилием.

$$f(t)={\frac {1}{R}}\cdot e(t)$$

Связь между обобщенным потоком и обобщенным импульсом.

$$f(t)={\frac {1}{I}}\cdot p(t)$$

Связь между обобщенным импульсом и обобщенным усилием.

$$p(t)=\int e(t)\,dt$$

Связь между обобщенным потоком и обобщенным усилием, включающая константу C.

$$e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt$$

Все математические соотношения при переключении энергетических доменов остаются прежними, меняются только символы. Это можно увидеть на следующих примерах.

Связь между перемещением и скоростью.

$$x(t)=\int v(t)\,dt$$

Связь между током и напряжением, также известная как закон Ома .

$$i(t)={\frac {1}{R}}V(t)$$

Связь между силой и перемещением, также известная как закон Гука . Отрицательный знак в этом уравнении опущен, потому что знак учитывается в том, как указывает стрелка на графике облигаций.

$$F(t)=kx(t)$$

Для энергетических систем формула частоты резонанса выглядит следующим образом: $$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$$

Для систем плотности мощности формула скорости резонансной волны выглядит следующим образом: $$c={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$$

Компоненты

Если двигатель соединен с колесом через вал, мощность передается во вращательной механической области, то есть усилие и поток представляют собой крутящий момент (τ) и угловую скорость (ω) соответственно. Граф связей слов — это первый шаг к графу связей, в котором слова определяют компоненты. В качестве графа связей слов эта система будет выглядеть так: $${\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;{\text{wheel}}$$ Полустрелка используется для обеспечения соглашения о знаках, поэтому, если двигатель выполняет работу, когда τ и ω положительны, тогда будет нарисована диаграмма: $${\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{wheel}}$$ Эту систему можно представить и более общим способом. Это предполагает переход от использования слов к символам, обозначающим одни и те же предметы. Эти символы основаны на обобщенной форме, как объяснено выше. Поскольку двигатель передает крутящий момент на колесо, он будет представляться источником усилий для системы. Колесо можно представить импедансом системы. Далее символы крутящего момента и угловой скорости опускаются и заменяются обобщенными символами усилия и расхода. Хотя в этом примере это и не обязательно, но обычно облигации нумеруют, чтобы их можно было отслеживать в уравнениях. Упрощенную схему можно увидеть ниже.

$${S_{e}}\;{\overset {\textstyle e_{1}}{\underset {\textstyle f_{1}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}$$

Учитывая, что усилие всегда выше потока на связи, также можно вообще отказаться от символов усилия и потока, не теряя при этом никакой важной информации. Однако номер облигации не следует опускать. Пример можно увидеть ниже.

$${S_{e}}\;{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}$$

Номер связи будет важен позже при преобразовании графа связи в уравнения в пространстве состояний.

Объединение элементов

Серийная ассоциация

Предположим, что элемент имеет следующее поведение: $$e(t)=\alpha g(q(t))$$ где $g(x)$ является общей функцией (она может даже дифференцировать/интегрировать свои входные данные) и $\alpha$ — константа элемента. Затем предположим, что в 1-переходе у вас много элементов этого типа. Тогда общее напряжение на переходе составит: $$e(t)=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)g(q(t))\implies {\begin{array}{||c||}\hline \displaystyle \alpha _{\text{eq}}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}$$

Параллельная ассоциация

Предположим, что элемент имеет следующее поведение: $$e(t)=g(\alpha q(t))$$ где $g(x)$ является общей функцией (она может даже дифференцировать/интегрировать свои входные данные) и $\alpha$ — константа элемента. Затем предположим, что в 0-переходе имеется много элементов этого типа. Тогда действительно:

$$g^{-1}\left(e(t)\right)=\alpha _{i}q_{i}(t)\implies {\frac {1}{\alpha _{i}}}g^{-1}(e(t))=q_{i}(t)\implies \left(\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\right)g^{-1}(e(t))=q(t)\implies g(g^{-1}(e(t)))=g\left({\frac {1}{\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}}}q(t)\right)\implies {\begin{array}{|c|}\hline \alpha _{\text{eq}}=\parallel _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}$$

Однопортовые элементы

Однопортовые элементы — это элементы графа связей, которые могут иметь только один порт.

Источники и поглотители

Источники — это элементы, которые представляют входные данные для системы. Они либо приложат усилия, либо перетекут в систему. Они обозначаются заглавной буквой «S» со строчной буквой «e» или «f» для обозначения усилия или потока соответственно. Источники всегда будут иметь стрелку, указывающую от элемента. Примеры источников включают: двигатели (источник усилия, крутящего момента), источники напряжения (источник усилия) и источники тока (источник потока).

$$S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J\qquad {\text{and}}\qquad S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J$$ где J указывает на перекресток.

Приемники — это элементы, которые представляют выходные данные системы. Они представлены так же, как и источники, но имеют стрелку, указывающую внутрь элемента, а не от него.

$$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{e}\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{f}$$

Инерция

Элементы инерции обозначаются заглавной буквой «Я», и в них всегда течет сила. Инерционные элементы – это элементы, запасающие энергию. Чаще всего это масса для механических систем и индукторы для электрических систем.

$$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ I$$

Сопротивление

Элементы сопротивления обозначаются заглавной буквой «R», и в них всегда течет сила. Элементы сопротивления – это элементы, рассеивающие энергию. Чаще всего это демпфер для механических систем и резисторы для электрических систем.

$$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ R$$

Согласие

Элементы соответствия обозначаются заглавной буквой «С», и в них всегда течет сила. Элементы соответствия – это элементы, хранящие потенциальную энергию. Чаще всего это пружины для механических систем и конденсаторы для электрических систем.

$$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ C$$

Двухпортовые элементы

Эти элементы имеют два порта. Они используются для изменения мощности между системой или внутри нее. При преобразовании из одного в другое мощность во время передачи не теряется. Элементы имеют константу, которая будет задана вместе с ними. Константа называется константой трансформатора или константой гиратора, в зависимости от того, какой элемент используется. Эти константы обычно отображаются как пропорции под элементом.

Трансформатор

Трансформатор применяет взаимосвязь между потоком в потоке и усилием в выходе. Примеры включают идеальный электрический трансформатор или рычаг .

Обозначается $${\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ TR\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}$$ где r обозначает модуль трансформатора. Это означает $$f_{1}r=f_{2}$$ и $$e_{2}r=e_{1}$$

Гиратор

Гиратор . применяет взаимосвязь между потоком усилия наружу и усилием выхода наружу Примером гиратора является двигатель постоянного тока, который преобразует напряжение (электрическое усилие) в угловую скорость (угловой механический поток).

$${\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ GY\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}$$ это означает, что $$e_{2}=gf_{1}$$ и $$e_{1}=gf_{2}.$$

Многопортовые элементы

Соединения, в отличие от других элементов, могут иметь любое количество входных и выходных портов. Соединения распределяют мощность по своим портам. Есть два различных соединения: 0-соединение и 1-соединение, которые различаются только тем, как передаются усилие и поток. Одно и то же последовательное соединение можно объединять, а последовательное соединение разных соединений — нет.

0-переходы

0-переходы ведут себя так, что все значения усилий (и их интеграл/производная по времени) равны по всем связям, но сумма значений потока на входе равна сумме значений потока на выходе, или, что то же самое, сумма всех потоков равна нулю. В электрической цепи 0-переход является узлом и представляет напряжение, общее для всех компонентов в этом узле. В механической цепи нулевой переход представляет собой соединение компонентов и представляет собой силу, разделяемую всеми подключенными к нему компонентами.

$${\text{all }}e{\text{'s are equal}}$$ $$\sum f_{\text{in}}=\sum f_{\text{out}}$$

Пример показан ниже.

$${\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{0}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}$$

Итоговые уравнения: $$e_{1}=e_{2}=e_{3}$$ $$f_{1}=f_{2}+f_{3}$$

1-переходы

1-переходы ведут себя противоположно 0-переходам. 1-соединения ведут себя так, что все значения потока (и его интеграл/производная по времени) равны по всем связям, но сумма значений усилий внутри равна сумме значений усилий на выходе, или, что то же самое, сумма всех усилий равна нулю. В электрической цепи 1-й переход представляет собой последовательное соединение компонентов. В механической цепи 1-переход представляет собой скорость, разделяемую всеми подключенными к нему компонентами.

$${\text{all }}f{\text{'s are equal}}$$ $$\sum e_{\text{in}}=\sum e_{\text{out}}$$

Пример показан ниже.

$${\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{1}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}$$

Итоговые уравнения: $$f_{1}=f_{2}=f_{3}$$ $$e_{1}=e_{2}+e_{3}$$

Причинность

В графах связей есть понятие причинности, показывающее, какая сторона связи определяет мгновенное усилие, а какая — мгновенный поток. При формулировании динамических уравнений, описывающих систему, причинно-следственная связь определяет для каждого элемента моделирования, какая переменная является зависимой, а какая - независимой. Графически перенося причинно-следственную связь от одного элемента моделирования к другому, анализ крупномасштабных моделей становится проще. Завершение причинно-следственного назначения в модели графа связей позволит обнаружить ситуацию моделирования, в которой существует алгебраический цикл; это ситуация, когда переменная определяется рекурсивно как функция самой себя.

В качестве примера причинно-следственной связи рассмотрим конденсатор, включенный последовательно с батареей. Физически невозможно мгновенно зарядить конденсатор, поэтому все, что подключено параллельно с конденсатором, обязательно будет иметь то же напряжение (переменная усилия), что и на конденсаторе. Точно так же индуктор не может мгновенно изменить поток, поэтому любой компонент, включенный последовательно с индуктором, обязательно будет иметь тот же поток, что и индуктор. Поскольку конденсаторы и катушки индуктивности являются пассивными устройствами, они не могут поддерживать свое соответствующее напряжение и поток бесконечно — компоненты, к которым они подключены, будут влиять на их соответствующее напряжение и поток, но только косвенно, влияя на их ток и напряжение соответственно.

Примечание. Причинно-следственная связь — это симметричная связь. Когда одна сторона «вызывает» усилие, другая «вызывает» поток.

В обозначениях графа связей причинно-следственная черта может быть добавлена ​​к одному концу энергетической связи, чтобы указать, что эта сторона определяет поток . контролируется стороной, противоположной случайному удару Следовательно, усилие .

Источники стока ( $S_{f}$) определяют поток, поэтому в них находится причинный ход: $$S_{f}\;|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!$$ Источники усилий ( $S_{e}$) определяют усилие, поэтому на другом конце находится причинный ход: $$S_{e}\;-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|$$

Рассмотрим двигатель с постоянным крутящим моментом, приводящий в движение колесо, т. е. источник усилия ( $S_{e}$). Это будет выглядеть следующим образом: $${\begin{array}{r}{\text{motor}}\\S_{e}\end{array}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;{\text{wheel}}$$

Симметрично сторона с причинным штрихом (в данном случае колесо) определяет поток связи.

Причинность приводит к ограничениям совместимости. Очевидно, что только один конец связи власти может определять усилие, и поэтому только один конец связи (другой конец) может иметь причинное воздействие. Кроме того, два пассивных компонента с поведением, зависящим от времени, $I$ и $C$может иметь только один вид причинности: $I$ компонент определяет поток; а $C$ компонент определяет усилие. Итак, от перекрестка, $J$, предпочтительная причинная ориентация такова: $$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;I\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;C$$

Причину того, что этот метод является предпочтительным для этих элементов, можно дополнительно проанализировать, если вы рассмотрите уравнения, которые они дают, показанные тетраэдром состояния.

$$f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt\qquad {\text{and}}\qquad e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt$$

Полученные уравнения включают интеграл независимой степенной переменной. Это предпочтительнее, чем обратная причинность, приводящая к производной. Уравнения можно увидеть ниже.

$$e(t)=I{\dot {f}}(t)\qquad {\text{and}}\qquad f(t)=C{\dot {e}}(t)$$

Граф связей может иметь причинную полосу на одном из этих элементов непредпочтительным образом. В таком случае говорят, что в этой связи произошел «причинный конфликт». Результаты причинного конфликта видны только при написании уравнений пространства состояний для графа. Более подробно это описано в этом разделе.

Резистор не имеет поведения, зависящего от времени: приложите напряжение и мгновенно получите поток, или приложите поток и мгновенно получите напряжение, таким образом, резистор может находиться на любом конце причинной связи: $$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;R\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;R$$

Трансформаторы пассивны, не рассеивают и не накапливают энергию, поэтому через них проходит причинно-следственная связь: $$\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;$$

Гиратор преобразует поток в усилие, а усилие в поток, поэтому, если поток возникает на одной стороне, усилие возникает на другой стороне, и наоборот: $$\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;$$

Развязки

В 0-переходе усилия равны; в 1-переходе потоки равны. Таким образом, при причинных связях только одна связь может вызвать усилие в 0-переходе и только одна может вызвать течение в 1-переходе. Таким образом, если известна причинность одной связи соединения, известна и причинность остальных. Эта единственная связь называется «сильной связью». $${\text{strong bond}}\rightarrow \;\dashv \!{\overset {\textstyle \top }{\underset {\textstyle \bot }{0}}}\!\dashv \qquad {\text{and}}\qquad {\text{strong bond}}\rightarrow \;\vdash \!{\overset {\textstyle \bot }{\underset {\textstyle \top }{1}}}\!\vdash$$ Короче говоря, 0-соединения должны иметь одну причинную полосу, 1-переходы должны иметь все причинные полосы, кроме одной.

Определение причинно-следственной связи

Чтобы определить причинно-следственную связь графа связей, необходимо выполнить определенные шаги. Эти шаги таковы:

1. Рисовать исходные причинно-следственные полосы
2. Нарисуйте предпочтительную причинно-следственную связь для связей C и I.
3. Нарисуйте причинные столбцы для соединений 0 и 1, трансформаторов и гираторов.
4. Нарисуйте причинно-следственные полосы связей R.
5. Если возникает причинный конфликт, измените связь C или I на дифференциацию.

Ниже показано пошаговое руководство. $${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$$

Первый шаг — нарисовать причинно-следственную связь для источников, среди которых есть только один. Результат представлен на графике ниже. $${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$$

Следующий шаг — нарисовать предпочтительную причинно-следственную связь для связей C. $${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$$

Затем примените причинно-следственную связь для соединений 0 и 1, трансформаторов и гираторов. $${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$$

Однако существует проблема с 0-переходом слева. У 0-перехода есть две причинные полосы на стыке, но 0-переходу нужен один и только один на стыке. Это было вызвано наличием ${\textstyle C_{2}}$ находиться в предпочтительной причинности. Единственный способ исправить это — перевернуть причинно-следственную полосу. Это приводит к причинно-следственному конфликту. Исправленная версия графика приведена ниже. ${\textstyle \star }$ представляющий причинный конфликт.

$${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\underline {\downharpoonleft }}\star &&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$$

Конвертация из других систем

Одним из основных преимуществ использования графов связей является то, что если у вас есть граф связей, исходная энергетическая область не имеет значения. Ниже приведены некоторые шаги, которые необходимо выполнить при преобразовании энергетической области в граф связей.

Электромагнитный

Шаги для решения электромагнитной задачи в виде графа связи следующие:

1. Поместите 0-переход в каждый узел
2. Источники вставки, связи R, I, C, TR и GY с 1 соединением
3. Заземление (обе стороны, если присутствует трансформатор или гиратор)
4. Назначьте направление потока мощности
5. Упрощать

Эти шаги более наглядно показаны в примерах ниже.

Линейный механический

Шаги для решения задачи линейной механики в виде графа связей следующие:

1. Разместите 1-переходы для каждой отдельной скорости (обычно на массе).
2. Вставьте связи R и C в свои собственные 0-переходы между 1-переходами, где они действуют.
3. Вставьте связи Sources и I на соединениях 1, где они действуют.
4. Назначьте направление потока мощности
5. Упрощать

Эти шаги более наглядно показаны в примерах ниже.

Упрощение

Шаг упрощения один и тот же, независимо от того, была ли система электромагнитной или линейно-механической. Шаги:

1. Удалить связь нулевой мощности (из-за земли или нулевой скорости)
2. Удалите соединения 0 и 1 с менее чем тремя связями.
3. Упростите параллельное питание
4. Объедините 0 соединений последовательно
5. Соедините 1 соединение последовательно

Эти шаги более наглядно показаны в примерах ниже.

Параллельная мощность

Параллельная мощность — это когда мощность протекает параллельно в графе связи. Пример параллельного питания показан ниже.

Параллельную мощность можно упростить, вспомнив взаимосвязь между усилием и потоком для 0- и 1-переходов. Чтобы решить параллельную мощность, вам сначала нужно записать все уравнения для соединений. Для приведенного примера уравнения можно увидеть ниже. (Обратите внимание на числовую связь, которую представляет переменная усилия/потока). $${\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}$$

Манипулируя этими уравнениями, вы можете расположить их так, чтобы найти эквивалентный набор 0- и 1-соединений для описания параллельной мощности.

Например, потому что ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$ и ${\textstyle e_{2}=e_{7}}$ вы можете заменить переменные в уравнении ${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$ в результате чего ${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$ и поскольку ${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$, теперь мы это знаем $e_{1}=e_{8}$. Эту взаимосвязь равенства двух переменных усилия можно объяснить 0-переходом. Манипулируя другими уравнениями, вы можете найти, что $f_{4}=f_{5}$ которое описывает взаимосвязь 1-перехода. После того, как вы определили необходимые взаимосвязи, вы можете перерисовать параллельную силовую часть с новыми соединениями. Результат для примера показан ниже.

Примеры

Простая электрическая система

Простая электрическая цепь, состоящая из источника напряжения, резистора и конденсатора, соединенных последовательно.

Первый шаг — нарисовать 0-переходы во всех узлах: $${\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}$$

Следующий шаг — добавить все элементы, действующие в своих однопереходах: $${\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}$$

Следующий шаг – выбор земли. Земля — это просто нулевой переход, который, как предполагается, не имеет напряжения. В этом случае в качестве земли будет выбран нижний левый 0-переход, подчеркнутый выше. Следующий шаг — нарисовать все стрелки на графике облигаций. Стрелки на соединениях должны указывать на землю (по тому же пути, что и ток). Для элементов сопротивления, инерции и податливости стрелки всегда указывают на элементы. Результат рисования стрелок можно увидеть ниже, где 0-переход отмечен звездочкой как земля.

Теперь, когда у нас есть граф Бонда, мы можем начать процесс его упрощения. Первым шагом является удаление всех наземных узлов. Оба нижних 0-перехода можно удалить, поскольку они оба заземлены. Результат показан ниже.

Далее можно удалить соединения с менее чем тремя связями. Это связано с тем, что поток и усилие проходят через эти соединения, не изменяясь, поэтому их можно удалить, чтобы мы могли меньше рисовать. Результат можно увидеть ниже.

Последний шаг — применить причинно-следственную связь к графу облигаций. Применение причинно-следственной связи было объяснено выше. Окончательный график облигаций показан ниже.

Усовершенствованная электрическая система

Более совершенная электрическая система с источником тока, резисторами, конденсаторами и трансформатором.

Выполнение шагов с этой схемой приведет к приведенному ниже графику связей, прежде чем он будет упрощен. Узлы, отмеченные звездочкой, обозначают землю.

Упрощение графика облигаций приведет к изображению ниже.

Наконец, применение причинно-следственной связи приведет к графику облигаций ниже. Связь со звездой обозначает причинный конфликт.

Простой линейный механический

Простая линейная механическая система, состоящая из массы на пружине, прикрепленной к стене. К массе приложена некоторая сила. Изображение системы показано ниже.

Для механической системы первым шагом является размещение 1-перехода на каждой отдельной скорости, в этом случае есть две разные скорости: масса и стенка. Обычно полезно пометить 1-переходы для справки. Результат ниже. $${\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$$

Следующий шаг — нарисовать связи R и C на их собственных 0-переходах между 1-переходами, где они действуют. В этом примере имеется только одна из этих связей — связь C пружины. Он действует между 1-переходом, представляющим массу, и 1-переходом, представляющим стену. Результат ниже. $${\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$$

Затем вы хотите добавить источники и связи I на 1-переходе, где они действуют. Есть один источник, источник усилия (силы) и одна I связь, масса массы, оба из которых действуют на 1-переход массы. Результат показан ниже. $${\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$$

Следующий поток мощности должен быть назначен. Как и в примерах с электричеством, мощность должна течь к земле, в данном случае к 1-му соединению стены. Исключением являются связи R, C или I, которые всегда указывают на элемент. Полученный график облигаций приведен ниже.

Теперь, когда граф облигаций создан, его можно упростить. Поскольку стена заземлена (имеет нулевую скорость), вы можете удалить это соединение. Таким образом, 0-переход, на котором находится связь C, также может быть удален, поскольку тогда в нем будет меньше трех связей. Упрощенный график облигаций можно увидеть ниже.

Последний шаг — применить причинно-следственную связь, окончательный график связей можно увидеть ниже.

Усовершенствованный линейный механический

Более совершенную линейную механическую систему можно увидеть ниже.

Как и в приведенном выше примере, первым шагом является создание 1-переходов на каждой из удаленных скоростей. В этом примере есть три удаленные скорости: Масса 1, Масса 2 и стена. Затем вы соединяете все связи и распределяете поток энергии. Облигацию можно увидеть ниже.

Затем вы начинаете процесс упрощения графа связей, удаляя одно соединение стены и удаляя соединения с менее чем тремя связями. График облигаций можно увидеть ниже.

В графе облигаций существует параллельная власть. Решение параллельной мощности было объяснено выше. Результат решения можно увидеть ниже.

Наконец, примените причинно-следственную связь, окончательный график облигаций можно увидеть ниже.

Уравнения состояния

После завершения графа связей его можно использовать для генерации в пространстве состояний уравнений представления системы систему многопорядков сложную дифференциальную . Представление в пространстве состояний особенно эффективно, поскольку позволяет вместо этого решать как систему уравнений первого порядка. Общий вид уравнения состояния: $${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$$ где ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ представляет собой матрицу-столбец переменных состояния или неизвестных системы. ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ — производная по времени переменных состояния. ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ представляет собой матрицу-столбец входов системы. И ${\textstyle \mathbf {A} }$ и ${\textstyle \mathbf {B} }$ представляют собой матрицы констант, основанные на системе. Переменными состояния системы являются ${\textstyle q(t)}$ и ${\textstyle p(t)}$ значения для каждой связи C и I без причинного конфликта. Каждая связь I получает ${\textstyle p(t)}$ в то время как каждая связь C получает ${\textstyle q(t)}$.

Например, если у вас есть следующий график облигаций

у вас будет следующее ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$, ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$, и ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ матрицы:

$${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}$$

Матрицы ${\textstyle \mathbf {A} }$ и ${\textstyle \mathbf {B} }$ решаются путем определения взаимосвязи переменных состояния и их соответствующих элементов, как это было описано в тетраэдре состояния. Первым шагом к решению уравнений состояния является составление списка всех основных уравнений графа облигаций. В таблице ниже показаны взаимосвязи между облигациями и их определяющими уравнениями.

Тип элемента	Название облигации	Связь с причинностью	Основное уравнение(я)
Однопортовые элементы	Источник/приемник, S	$S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;$	${\text{input}}=e(t)$
		$S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;$	${\text{input}}=f(t)$
	Сопротивление, R: Рассеянная энергия	$\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ R$	$f(t)={\frac {1}{R}}e(t)$
		$\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ R$	$e(t)=Rf(t)$
	Инерция, я: Кинетическая энергия	♦ $\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ I$	$f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt$
		$\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ I$	$e(t)=I{\dot {f}}(t)$
	Соответствие, С: Потенциальная энергия	$\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ C$	$f(t)=C{\dot {e}}(t)$
		♦ $\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ C$	$e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt$
Двухпортовые элементы	Трансформатор, ТР	${\begin{matrix}{\overset {\textstyle }{{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}|}}\ TR\ \ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ \\^{r:1}\end{matrix}}$	$f_{1}={\frac {1}{r}}f_{2}$ $e_{2}={\frac {1}{r}}e_{1}$
		${\begin{matrix}|\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ TR\ \ |\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}$	$e_{1}=re_{2}$ $f_{2}=rf_{1}$
	Гиратор, Джорджия	${\begin{matrix}|\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ GY{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ \\^{g:1}\end{matrix}}$	$e_{1}=gf_{2}$ $e_{2}=gf_{1}$
		${\begin{matrix}\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ GY{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}$	$f_{1}={\frac {1}{g}}e_{2}$ $f_{2}={\frac {1}{g}}e_{1}$
Многопортовые элементы	0 перекрестков	Один и только один причинно-следственная полоса на стыке	${\text{all }}e(t)=$
			$\sum f(t)_{\text{in}}=\sum f(t)_{\text{out}}$
	1 перекресток	одна и только одна причинная причина бар подальше от перекрестка	$\sum e(t)_{\text{in}}=\sum e(t)_{\text{out}}$
			${\text{all }}f(t)=$

«♦» обозначает предпочтительную причинность.

Для приведенного примера

основные уравнения следующие.

1. ${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
2. ${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
3. ${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
4. ${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
5. ${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
6. ${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
7. ${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
8. ${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
9. ${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
10. ${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
11. ${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

Этими уравнениями можно манипулировать, чтобы получить уравнения состояния. В этом примере вы пытаетесь найти уравнения, которые связывают ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$ и ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$ с точки зрения ${\textstyle p_{3}(t)}$, ${\textstyle q_{6}(t)}$, и ${\textstyle e_{1}(t)}$.

Для начала вам следует вспомнить из тетраэдра состояния, что ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$начиная с уравнения 2, вы можете переставить его так, чтобы $e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}$. $e_{2}$ можно заменить уравнением 4, тогда как в уравнении 4 $f_{2}$ можно заменить на $f_{3}$из-за уравнения 3, которое затем можно заменить уравнением 5. $e_{4}$ аналогичным образом можно заменить с помощью уравнения 7, в котором $e_{5}$можно заменить на $e_{6}$ которое затем можно заменить уравнением 10. После этой замены получается первое уравнение состояния, которое показано ниже.

$${\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)$$

Второе уравнение состояния также можно решить, вспомнив, что ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$. Второе уравнение состояния показано ниже.

$${\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)$$

Оба уравнения можно далее преобразовать в матричную форму. Результат чего ниже.

$${\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}$$

На этом этапе уравнения можно рассматривать как любую другую проблему представления в пространстве состояний .

Международные конференции по моделированию графов облигаций (ECMS и ICBGM)

Библиографию по моделированию графов облигаций можно получить из следующих конференций:

• ECMS-2013 27-я Европейская конференция по моделированию и симуляции, 27–30 мая 2013 г., Олесунн, Норвегия
• ECMS-2008 22-я Европейская конференция по моделированию и симуляции, 3–6 июня 2008 г., Никосия, Кипр
• ICBGM-2007: 8-я Международная конференция по моделированию и симуляции графов облигаций, 15–17 января 2007 г., Сан-Диего, Калифорния, США.
• ECMS-2006 20-я Европейская конференция по моделированию и симуляции, 28–31 мая 2006 г., Бонн, Германия
• IMAACA-2005 Международная мультиконференция по моделированию Средиземноморья
• Международная конференция ICBGM-2005 по моделированию и симуляции графов облигаций, 23–27 января 2005 г., Новый Орлеан, Луизиана, США - Доклады
• Международная конференция ICBGM-2003 по моделированию и симуляции графов облигаций (ICBGM'2003), 19–23 января 2003 г., Орландо, Флорида, США - Доклады.
• 14-й Европейский симпозиум по моделированию, 23–26 октября 2002 г., Дрезден, Германия.
• ESS'2001 13-й Европейский симпозиум по моделированию, Марсель, Франция, 18–20 октября 2001 г.
• Международная конференция ICBGM-2001 по моделированию и симуляции графов облигаций (ICBGM 2001), Феникс, Аризона, США
• Европейская мультиконференция по моделированию, 23-26 мая 2000 г., Гент, Бельгия.
• 11-й Европейский симпозиум по моделированию, 26–28 октября 1999 г. Замок, Университет Фридриха-Александра, Эрланген-Нюрнберг, Германия.
• Международная конференция ICBGM-1999 по моделированию и симуляции графов облигаций, 17–20 января 1999 г., Сан-Франциско, Калифорния.
• ESS-97 9-й Европейский симпозиум и выставка по моделированию в промышленности, Пассау, Германия, 19–22 октября 1997 г.
• 3-я Международная конференция ICBGM-1997 по моделированию и симуляции графов облигаций, 12–15 января 1997 г., отель Sheraton-Crescent, Феникс, Аризона.
• 11-я Европейская мультиконференция по моделированию, Стамбул, Турция, 1–4 июня 1997 г.
• ESM-1996 10-я ежегодная Европейская мультиконференция по моделированию Будапешт, Венгрия, 2–6 июня 1996 г.
• ICBGM-1995 Междунар. Конф. по моделированию и симуляции графов облигаций (ICBGM'95), 15–18 января 1995 г., Лас-Вегас, Невада.

См. также

• Программное обеспечение для моделирования на 20 симуляций, основанное на теории графов облигаций
• Программное обеспечение AMESim для моделирования, основанное на теории графов связей
• График гибридных облигаций
• Коэнергия

Дальнейшее чтение

• Кипрурос, Хавьер (2013). Системная динамика и управление с помощью моделирования графов связей . Бока-Ратон: Тейлор и Фрэнсис. дои : 10.1201/b14676 . ISBN  978-1-4665-6075-8 .
• Пейнтер, Генри М. (1960). Анализ и проектирование инженерных систем . МТИ Пресс. ISBN  0-262-16004-8 .
• Карнопп, Дин С.; Марголис, Дональд Л.; Розенберг, Рональд К. (1990). Системная динамика: единый подход . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-62171-4 .
• Тома, Жан Ульрих (1975). Графы облигаций: введение и применение . Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN  0-08-018882-6 .
• Гоутроп, Питер Дж.; Смит, Лоркан PS (1996). Метамоделирование: графы связей и динамические системы . Лондон: Прентис Холл. ISBN  0-13-489824-9 .
• Браун, Форбс Т. (2007). Динамика инженерных систем – единый графоцентрированный подход . Бока-Ратон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-8493-9648-4 .
• Мукерджи, Амаленду; Кармакар, Ранджит (2000). Моделирование и симуляция инженерных систем с помощью бондграфов . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  978-0-8493-0982-3 .
• Гоутроп, ПиДжей; Балланс, диджей (1999). «Глава 2: Символические вычисления для манипулирования иерархическими графами связей». В Манро, Н. (ред.). Символьные методы в анализе и проектировании систем управления . Лондон: Институт инженеров-электриков. стр. 23-52 . ISBN  0-85296-943-0 .
• Боруцкий, Вольфганг (2010). Методология графа Бонда . Лондон: Спрингер. дои : 10.1007/978-1-84882-882-7 . ISBN  978-1-84882-881-0 .
• http://www.site.uottawa.ca/~rhabash/ESSModelFluid.pdf Объясняет моделирование графа связей в жидкой области.
• http://www.dartmouth.edu/~sullivan/22files/Fluid_sys_anal_w_chart.pdf Объясняет моделирование графа связей в области жидкости.

Внешние ссылки

• Simscape MATLAB/Simulink для графического программирования графов связей Официальная дополнительная библиотека
• BG V.2.1 Бесплатная дополнительная библиотека MATLAB/Simulink для графического программирования графов связей