Второй момент площади

Эта статья о геометрическом свойстве площади, называемом вторым моментом площади. Чтобы узнать о моменте инерции, связанном с вращением объекта с массой, см. Момент инерции .

Список уравнений для вторых моментов площади стандартных форм см. в разделе Список вторых моментов площади .

Второй момент площади , или второй момент площади , или квадратичный момент площади , также известный как момент инерции площади , представляет собой геометрическое свойство площади , которое отражает, как ее точки распределены относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо $I$ (для оси, лежащей в плоскости площади) или с $J$ (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он рассчитывается кратным интегралом по рассматриваемому объекту. Его размерность равна L (длина) в четвертой степени. Его единица измерения при работе с Международной системой единиц — метры в четвертой степени, м. ⁴ , или дюймы в четвертой степени, в ⁴ , при работе в Имперской системе единиц или в обычной системе США .

В проектировании конструкций второй момент площади балки является балки важным свойством, используемым при расчете отклонения и расчете напряжения , вызванного моментом , приложенным к балке. Чтобы максимизировать второй момент площади, большая часть площади поперечного сечения двутавровой балки расположена на максимально возможном расстоянии от центроида поперечного сечения двутавровой балки. Плоский перпендикулярной второй момент площади дает представление о сопротивлении балки изгибу из-за приложенного момента, силы или распределенной нагрузки, ее нейтральной оси , в зависимости от ее формы. Полярный - за второй момент площади дает представление о сопротивлении балки изгибу при кручении из приложенного момента, параллельного ее поперечному сечению, в зависимости от ее формы.

используется термин «момент инерции» В разных дисциплинах для обозначения разных моментов (MOI) . Это может относиться к любому из плоских вторых моментов площади (часто ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ или ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA,}$ относительно некоторой плоскости отсчета), или полярный второй момент площади ( ${\textstyle I=\iint _{R}r^{2}\,dA}$, где r — расстояние до некоторой базовой оси). В каждом случае интеграл проводится по всем бесконечно малым элементам в некотором площади dA двумерном сечении. В физике — момент инерции это строго второй момент массы по отношению к расстоянию от оси: ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$, где r — расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл ведется по всем бесконечно малым элементам в трехмерном массы dm пространстве, занимаемом Q. объектом В этом смысле МВД является аналогом массы для задач вращения. В машиностроении (особенно в машиностроении и гражданском строительстве) момент инерции обычно относится ко второму моменту площади.

Определение

Произвольная форма. ρ — расстояние до элемента d A с проекциями x и y на оси x и y .

Второй момент площади произвольной формы R относительно произвольной оси $BB'$ ( $BB'$ ось не нарисована на соседнем изображении; представляет собой ось, копланарную осям x и y и перпендикулярную отрезку прямой. $\rho$) определяется как $$J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA$$где

• $dA$ - бесконечно малый элемент площади, а
• $\rho$ это расстояние от $BB'$ ось.

Например, если желаемой базовой осью является ось X, второй момент площади $I_{xx}$ (часто обозначается как $I_{x}$) можно вычислить в декартовых координатах как

$$I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy$$

Второй момент площади имеет решающее значение в Эйлера – Бернулли теории тонких балок .

Момент площади произведения

В более общем смысле момент произведения площади определяется как $$I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy$$

Теорема о параллельной оси

Форма с центроидальной осью x . Теорему о параллельной оси можно использовать для получения второго момента площади относительно оси x' .

Основная статья: Теорема о параллельной оси

Иногда необходимо вычислить второй момент площади фигуры относительно $x'$ ось, отличная от центроидальной оси формы. Однако часто проще определить второй момент площади относительно его центроидальной оси: $x$и используйте теорему о параллельной оси, чтобы получить второй момент площади относительно $x'$ ось. Теорема о параллельной оси утверждает $$I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}$$где

• $A$ - площадь фигуры, а
• $d$ это перпендикулярное расстояние между $x$ и $x'$ топоры.

Аналогичное утверждение можно сделать и о $y'$ ось и параллельная центроидальная $y$ ось. Или вообще любой центроидальный $B$ ось и параллель $B'$ ось.

Теорема о перпендикулярной оси

Основная статья: Теорема о перпендикулярной оси

Для простоты расчета часто желательно определить полярный момент площади (относительно перпендикулярной оси) через два момента инерции площади (оба относительно осей в плоскости). Самый простой случай касается $J_{z}$ к $I_{x}$ и $I_{y}$.

$$J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}$$

Это соотношение основано на теореме Пифагора, которая связывает $x$ и $y$ к $\rho$ и о линейности интегрирования .

Составные формы

Для более сложных областей часто проще разделить область на ряд «более простых» фигур. Второй момент площади всей фигуры есть сумма второго момента площадей всех ее частей относительно общей оси. Сюда могут относиться «отсутствующие» формы (т.е. отверстия, полые формы и т. д.), и в этом случае второй момент площади «отсутствующих» областей вычитается, а не добавляется. Другими словами, для метода составных форм второй момент площади «недостающих» частей считается отрицательным.

Примеры

в списке вторых моментов площади Другие формы см. .

Прямоугольник с центроидом в начале координат

Прямоугольник с основанием b и высотой h

Рассмотрим прямоугольник с основанием $b$ и высота $h$ которого центр тяжести находится в начале координат. $I_{x}$ представляет второй момент площади относительно оси x; $I_{y}$ представляет второй момент площади относительно оси Y; $J_{z}$ представляет полярный момент инерции относительно оси z.

$${\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}$$

Используя теорему о перпендикулярной оси, мы получаем значение $J_{z}$.

$$J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)$$

Кольцо с центром в начале координат

Кольцевое пространство с внутренним радиусом r ₁ и внешним радиусом r ₂

Рассмотрим кольцо , центр которого находится в начале координат, внешний радиус равен $r_{2}$, а внутренний радиус равен $r_{1}$. Из-за симметрии кольца центр тяжести также находится в начале координат. Мы можем определить полярный момент инерции, $J_{z}$, о $z$ оси методом составных фигур. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции круга радиусом $r_{2}$ минус полярный момент инерции круга радиусом $r_{1}$, оба с центром в начале координат. Сначала выведем полярный момент инерции круга радиуса $r$ относительно происхождения. В этом случае проще напрямую рассчитать $J_{z}$ как у нас уже есть $r^{2}$, который имеет как $x$ и $y$ компонент. Вместо получения второго момента площади из декартовых координат , как это делалось в предыдущем разделе, мы вычислим $I_{x}$ и $J_{z}$ непосредственно с использованием полярных координат .

$${\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}$$

Теперь полярный момент инерции относительно $z$ ось кольца - это, как указано выше, просто разница вторых моментов площади круга с радиусом. $r_{2}$ и круг радиусом $r_{1}$.

$$J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)$$

В качестве альтернативы мы могли бы изменить ограничения на $dr$ интеграл в первый раз, чтобы отразить тот факт, что есть дыра. Это будет сделано так.

$${\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}$$

Любой многоугольник

Простой многоугольник. Здесь, $n=6$, обратите внимание, пункт «7» идентичен пункту 1.

Второй момент площади относительно начала координат любого простого многоугольника на плоскости XY обычно можно вычислить путем суммирования вкладов от каждого сегмента многоугольника после разделения площади на набор треугольников. Эта формула родственна формуле шнурков и может считаться частным случаем теоремы Грина .

Предполагается, что многоугольник имеет $n$ вершины, пронумерованные против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут правильными.

$${\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}$$

где $x_{i},y_{i}$ это координаты $i$-я вершина многоугольника, для $1\leq i\leq n$. Также, $x_{n+1},y_{n+1}$ предполагаются равными координатам первой вершины, т.е. $x_{n+1}=x_{1}$ и $y_{n+1}=y_{1}$.

См. также

• Список вторых моментов площади
• Список моментов инерции
• Момент инерции
• Теорема о параллельной оси
• Теорема о перпендикулярной оси
• Радиус вращения