Список вторых моментов площади

Ниже приводится список вторых моментов площади некоторых фигур. Второй момент площади , также известный как момент инерции площади, представляет собой геометрическое свойство площади, которое отражает, как ее точки распределены относительно произвольной оси. Единицей измерения второго момента площади является длина в четвертой степени, L. ⁴ , и не следует путать с моментом инерции массы . Однако если деталь тонкая, момент инерции массы равен плотности площади , умноженной на момент инерции площади.

Вторые моменты площади

Обратите внимание, что для второго момента уравнений площади в таблице ниже: $$I_{x}=\iint _{A}y^{2}\,dx\,dy$$ и $$I_{y}=\iint _{A}x^{2}\,dx\,dy.$$

Описание	Фигура	Второй момент площади	Комментарий
Заполненная круглая область радиуса r		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\[3pt]I_{y}&={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\[3pt]I_{z}&={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}$	$I_{z}$ — второй полярный момент площади .
Кольцевое пространство внутреннего радиуса r 1 и внешнего радиуса r 2		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)\\[3pt]I_{y}&={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)\\[3pt]I_{z}&={\frac {\pi }{2}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)\end{aligned}}$	Для тонких трубок $r\equiv r_{1}\approx r_{2}$ и $r_{2}\equiv r_{1}+t$ и так для первого заказа в $t$, $r_{2}^{4}=r_{1}^{4}+4r_{1}^{3}t+\cdots$. Итак, для тонкой трубки $I_{x}=I_{y}\approx \pi r^{3}t$ и $I_{z}\approx 2\pi r^{3}t$. $I_{z}$ — второй полярный момент площади .
Заполненный круговой сектор с углом θ в радианах и радиусом r относительно оси, проходящей через центр тяжести сектора и центр круга.		$I_{x}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}$	Эта формула справедлива только для 0 ≤ ${\textstyle \theta }$ ≤ ${\textstyle 2\pi }$
Заполненный полукруг радиусом r относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести области.		${\begin{aligned}I_{x}&=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.1098r^{4}\\[3pt]I_{y}&={\frac {\pi r^{4}}{8}}\end{aligned}}$
Заполненный полукруг, как указано выше, но относительно оси, коллинеарной основанию.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {\pi r^{4}}{8}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {\pi r^{4}}{8}}\end{aligned}}$	$I_{x}$: Это следствие теоремы о параллельности осей и того факта, что расстояние между осями X предыдущего и этого составляет ${\textstyle {\frac {4r}{3\pi }}}$
Заполненная четверть круга радиуса r с осями, проходящими через основания.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {\pi r^{4}}{16}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {\pi r^{4}}{16}}\end{aligned}}$
Заполненная четверть круга радиуса r с осями, проходящими через центр тяжести.		${\begin{aligned}I_{x}&=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}\\[3pt]I_{y}&=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}\end{aligned}}$	Это следствие теоремы о параллельных осях и того факта, что расстояние между этими двумя осями равно ${\textstyle {\frac {4r}{3\pi }}}$
Заполненный эллипс , радиус которого по оси x равен a , а радиус по оси y равен b.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {\pi }{4}}ab^{3}\\[3pt]I_{y}&={\frac {\pi }{4}}a^{3}b\end{aligned}}$
Заполненная прямоугольная область с базовой шириной b и высотой h.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {bh^{3}}{12}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}$
Заполненная прямоугольная область, как указано выше, но относительно оси, коллинеарной основанию.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {bh^{3}}{3}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {b^{3}h}{3}}\end{aligned}}$	Это результат теоремы о параллельной оси.
Полый прямоугольник с внутренним прямоугольником, ширина которого равна b 1 , а высота h 1.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {bh^{3}-b_{1}{h_{1}}^{3}}{12}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {b^{3}h-{b_{1}}^{3}h_{1}}{12}}\end{aligned}}$
Заполненная треугольная область с шириной основания b , высотой h и смещением верхней вершины a относительно оси, проходящей через центроид.	The figure presents a triangle with dimensions 'b', 'h' and 'a', along with axes 'x' and 'y' that pass through the centroid.	${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {bh^{3}}{36}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {b^{3}h-b^{2}ha+bha^{2}}{36}}\\[3pt]I_{xy}&=-{\frac {bh^{2}}{72}}(b-2a)\end{aligned}}$
Заполненная треугольная область, как указано выше, но относительно оси, коллинеарной основанию.	The figure presents a triangle with dimensions 'b', 'h' and 'a', along with axes 'x' and 'y', 'x' being collinear with the base.	${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {bh^{3}}{12}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {b^{3}h+b^{2}ha+bha^{2}}{12}}\end{aligned}}$	Это следствие теоремы о параллельной оси.
Равносторонний угол, обычно встречающийся в инженерных приложениях.		${\begin{aligned}I_{x}=I_{y}&={\frac {t(5L^{2}-5Lt+t^{2})(L^{2}-Lt+t^{2})}{12(2L-t)}}\\[3pt]I_{(xy)}&={\frac {L^{2}t(L-t)^{2}}{4(t-2L)}}\\[3pt]I_{a}&={\frac {t(2L-t)(2L^{2}-2Lt+t^{2})}{12}}\\[3pt]I_{b}&={\frac {t(2L^{4}-4L^{3}t+8L^{2}t^{2}-6Lt^{3}+t^{4})}{12(2L-t)}}\end{aligned}}$	$I_{(xy)}$ это часто неиспользуемый «второй момент площади произведения», используемый для определения главных осей.

скрывать Правильные многоугольники
Описание	Фигура	Второй момент площади	Комментарий
Заполненный правильный (равнобуквенный) треугольник со стороной a.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {a^{4}}{32{\sqrt {3}}}}\approx 0.01804a^{4}\\[3pt]I_{y}&={\frac {a^{4}}{32{\sqrt {3}}}}\approx 0.01804a^{4}\end{aligned}}$	Результат действителен как для горизонтальной, так и для вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, и, следовательно, также действителен для оси с произвольным направлением, проходящей через начало координат. Это справедливо для всех правильных многоугольников .
Заполненный квадрат со стороной a		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {a^{4}}{12}}\\[3pt]I_{y}&={\frac {a^{4}}{12}}\end{aligned}}$	Результат действителен как для горизонтальной, так и для вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, и, следовательно, также действителен для оси с произвольным направлением, проходящей через начало координат. Это справедливо для всех правильных многоугольников .
Заполненный правильный шестиугольник со стороной a.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}\approx 0.54126a^{4}\\[3pt]I_{y}&={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}\approx 0.54126a^{4}\end{aligned}}$	Результат действителен как для горизонтальной, так и для вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, и, следовательно, также действителен для оси с произвольным направлением, проходящей через начало координат. Это справедливо для всех правильных многоугольников .
Заполненный правильный восьмиугольник со стороной длиной a.		${\begin{aligned}I_{x}&={\frac {11+8{\sqrt {2}}}{12}}a^{4}\approx 1.85947a^{4}\\[3pt]I_{y}&={\frac {11+8{\sqrt {2}}}{12}}a^{4}\approx 1.85947a^{4}\end{aligned}}$	Результат действителен как для горизонтальной, так и для вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, и, следовательно, также действителен для оси с произвольным направлением, проходящей через начало координат. Это справедливо для всех правильных многоугольников .

Теорема о параллельной оси

Основная статья: Теорема о параллельной оси

Теорему о параллельной оси можно использовать для определения второго момента площади твердого тела относительно любой оси, учитывая второй момент площади тела относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести тела, площадь поперечного сечения и расстояние по перпендикуляру ( г ) между осями.

$$I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}$$

См. также

• Список моментов инерции
• Список центроидов
• Второй полярный момент площади