Список моментов инерции

Момент инерции , обозначаемый I , измеряет степень, в которой объект сопротивляется вращательному ускорению вокруг определенной оси . Это вращательный аналог массы (которая определяет сопротивление объекта линейному ускорению ). Моменты инерции массы имеют единицы измерения . ML ² ([масса] × [длина] ² ). Его не следует путать со вторым моментом площади , который имеет единицы измерения L. ⁴ ([длина] ⁴ ) и используется в расчетах балок. Момент инерции массы часто также называют инерцией вращения , а иногда и угловой массой .

Для простых объектов с геометрической симметрией часто можно определить момент инерции в точном выражении в замкнутой форме . Обычно это происходит, когда плотность массы постоянна, но в некоторых случаях плотность может меняться и по всему объекту. В общем, может быть непросто символически выразить момент инерции форм с более сложным распределением массы и отсутствием симметрии. При расчете моментов инерции полезно помнить, что это аддитивная функция, и использовать параллельной и теоремы о перпендикулярной оси .

В этой статье в основном рассматриваются симметричные распределения массы с постоянной плотностью по всему объекту, а ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Моменты инерции

Ниже приведены скалярные моменты инерции. В общем случае момент инерции представляет собой тензор , см. ниже.

Описание	Фигура	Момент(ы) инерции
Точка массы М на расстоянии г от оси вращения. Точечная масса не имеет момента инерции вокруг своей оси, но с помощью теоремы о параллельности оси достигается момент инерции вокруг удаленной оси вращения.		$I=Mr^{2}$
Две точечные массы, m 1 и m 2 , с приведенной массой µ и разделенные расстоянием x вокруг оси, проходящей через центр масс системы и перпендикулярной линии, соединяющей две частицы.		$I={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}\!+\!m_{2}}}x^{2}=\mu x^{2}$
Тонкий стержень длиной L и массой m , перпендикулярный оси вращения, вращающийся вокруг своего центра. Это выражение предполагает, что стержень представляет собой бесконечно тонкую (но жесткую) проволоку. Это частный случай тонкой прямоугольной пластины с осью вращения в центре пластины, с w = L и h = 0.		$I_{\mathrm {center} }={\frac {1}{12}}mL^{2}\,\!$
Тонкий стержень длиной L и массой m , перпендикулярный оси вращения, вращающийся вокруг одного конца. Это выражение предполагает, что стержень представляет собой бесконечно тонкую (но жесткую) проволоку. Это также частный случай тонкой прямоугольной пластины с осью вращения на конце пластины, с h = L и w = 0.		$I_{\mathrm {end} }={\frac {1}{3}}mL^{2}\,\!$
Тонкая круглая петля радиуса r и массы m . Это частный случай тора при a = 0 (см. ниже), а также толстостенной цилиндрической трубки с открытыми концами при r 1 = r 2 и h = 0.		$I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m . Это частный случай сплошного цилиндра с h = 0. Это $I_{x}=I_{y}={\frac {I_{z}}{2}}\,$ является следствием теоремы о перпендикулярной оси .		$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}mr^{2}\,\!$
Однородное кольцо (диск с концентрическим отверстием) массы m , внутреннего радиуса r 1 и внешнего радиуса r 2.		$I_{z}={\frac {1}{2}}m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})$
Кольцевое пространство с постоянной плотностью площади $\rho _{A}$		$I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho _{A}(r_{2}^{4}-r_{1}^{4})$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}\pi \rho _{A}(r_{2}^{4}-r_{1}^{4})$
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m . Это выражение предполагает, что толщина оболочки незначительна. Это частный случай толстостенной цилиндрической трубы при r 1 = r 2 .Кроме того, точечная масса m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, и значение r называется радиусом вращения .		$I\approx mr^{2}\,\!$
Сплошной цилиндр радиуса r , высоты h и массы m . Это частный случай толстостенной цилиндрической трубы с r 1 = 0.		$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$   $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$
Толстостенная цилиндрическая трубка с открытыми концами внутреннего радиуса r 1 , внешнего радиуса r 2 , длины h и массы m .		$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)=mr_{2}^{2}\left(1-t+{\frac {t^{2}}{2}}\right)$   где t = ( r 2 - r 1 )/ r 2 - нормализованное соотношение толщин; $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)+h^{2}\right)$ Приведенная выше формула предназначена для плоскости xy, проходящей через центр масс, который совпадает с геометрическим центром цилиндра. Если плоскость xy находится у основания цилиндра, т.е. смещена на $d={\frac {h}{2}},$ тогда по теореме о параллельной оси применима следующая формула: $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)+4h^{2}\right)$
С плотностью ρ и той же геометрией		$I_{z}={\frac {\pi \rho h}{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {\pi \rho h}{12}}\left(3(r_{2}^{4}-r_{1}^{4})+h^{2}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})\right)$
Правильный тетраэдр со стороной s и массой m с осью вращения, проходящей через вершину тетраэдра и его центр масс.		$I_{\mathrm {solid} }={\frac {1}{20}}ms^{2}\,\!$ $I_{\mathrm {hollow} }={\frac {1}{12}}ms^{2}\,\!$
Правильный октаэдр со стороной s и массой m		$I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$ $I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {1}{10}}ms^{2}\,\!$
Правильный додекаэдр со стороной s и массой m		$I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {39\phi +28}{90}}ms^{2}$ $I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {39\phi +28}{150}}ms^{2}\,\!$ (где $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$)
Правильный икосаэдр со стороной s и массой m.		$I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {\phi ^{2}}{6}}ms^{2}$ $I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {\phi ^{2}}{10}}ms^{2}\,\!$
Полая сфера радиуса r и массы m .		$I={\frac {2}{3}}mr^{2}\,\!$
Твердая сфера (шар) радиуса r и массы m .		$I={\frac {2}{5}}mr^{2}\,\!$
Сфера (оболочка) радиуса r 2 и массы m с центрированной сферической полостью радиуса r 1 . Когда радиус полости r 1 = 0, объект представляет собой сплошной шар (вверху). Когда r 1 = r 2 , ${\frac {r_{2}^{5}-r_{1}^{5}}{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}}={\frac {2}{3}}mr_{2}^{2}$, а объект представляет собой полую сферу.		$I={\frac {2}{5}}m\cdot {\frac {r_{2}^{5}-r_{1}^{5}}{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}}\,\!$
Прямой круглый конус радиусом r , высотой h и массой m.		$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$   Об оси, проходящей через наконечник: $I_{x}=I_{y}=m\left({\frac {3}{20}}r^{2}+{\frac {3}{5}}h^{2}\right)\,\!$   Об оси, проходящей через основание: $I_{x}=I_{y}=m\left({\frac {3}{20}}r^{2}+{\frac {1}{10}}h^{2}\right)\,\!$ Вокруг оси, проходящей через центр масс: $I_{x}=I_{y}=m\left({\frac {3}{20}}r^{2}+{\frac {3}{80}}h^{2}\right)\,\!$
Прямой круглый полый конус радиусом r , высотой h и массой m.		$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$   $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}m\left(r^{2}+2h^{2}\right)\,\!$
Тор с малым радиусом a , большим радиусом b и массой m .		Вокруг оси, проходящей через центр и перпендикулярной диаметру: ${\frac {1}{4}}m\left(4b^{2}+3a^{2}\right)$   О диаметре: ${\frac {1}{8}}m\left(5a^{2}+4b^{2}\right)$
Эллипсоид (сплошной) полуосей a , b и c массой m		$I_{x}={\frac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right)\,\!$ $I_{y}={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+c^{2}\right)\,\!$ $I_{z}={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right)\,\!$
Тонкая прямоугольная пластина высотой h , шириной w и массой m. (Ось вращения на конце пластины)		$I_{e}={\frac {1}{12}}m\left(4h^{2}+w^{2}\right)\,\!$
Тонкая прямоугольная пластина высотой h , шириной w и массой m. (Ось вращения в центре)		$I_{c}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)\,\!$
Тонкая прямоугольная пластина массы m, длина стороны, прилегающей к стороне, содержащей ось вращения, равна r. (Ось вращения вдоль боковой стороны пластины)		$I={\frac {1}{3}}mr^{2}$
Твердый прямоугольный кубоид высотой h , шириной w , глубиной d и массой m . Для одинаково ориентированного куба со сторонами длиной $s$, $I_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$		$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(d^{2}+h^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+h^{2}\right)$
Твердый кубоид высотой D , шириной W и длиной L и массой m , вращающийся вокруг самой длинной диагонали. Для куба с гранями $s$, $I={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$.		$I={\frac {1}{6}}m\left({\frac {W^{2}D^{2}+D^{2}L^{2}+W^{2}L^{2}}{W^{2}+D^{2}+L^{2}}}\right)$
Наклоненный сплошной кубоид глубины d , ширины w и длины l и массы m , вращающийся вокруг вертикальной оси (ось y, как показано на рисунке). Для куба с гранями $s$, $I={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$.		$I={\frac {m}{12}}\left(l^{2}\cos ^{2}\beta +d^{2}\sin ^{2}\beta +w^{2}\right)$
Треугольник с вершинами в начале координат, а также в точках P и Q , с массой m , вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.		$I={\frac {1}{6}}m(\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} +\mathbf {Q} \cdot \mathbf {Q} )$
Плоский многоугольник с вершинами P 1 , P 2 , P 3 , ..., P N и массой m, равномерно распределенными внутри него, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.		$I=m\left({\frac {\sum \limits _{n=1}^{N}\|\mathbf {P} _{n+1}\times \mathbf {P} _{n}\|\left(\left(\mathbf {P} _{n}\cdot \mathbf {P} _{n}\right)+\left(\mathbf {P} _{n}\cdot \mathbf {P} _{n+1}\right)+\left(\mathbf {P} _{n+1}\cdot \mathbf {P} _{n+1}\right)\right)}{6\sum \limits _{n=1}^{N}\|\mathbf {P} _{n+1}\times \mathbf {P} _{n}\|}}\right)$
Плоский правильный многоугольник с n -вершинами и массой m, равномерно распределенными внутри, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через ее барицентр . R — радиус описанной окружности .		$I={\frac {1}{2}}mR^{2}\left(1-{\frac {2}{3}}\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\right)$
Равнобедренный треугольник массы M , угла при вершине 2β и длины общей стороны L (ось, проходящая через вершину, перпендикулярно плоскости)		$I={\frac {1}{2}}mL^{2}\left(1-{\frac {2}{3}}\sin ^{2}\left(\beta \right)\right)$
Бесконечный диск с массой, распределенной в двумерном гауссовском распределении по двум осям вокруг оси вращения, с плотностью массы как функцией вектора положения. ${\mathbf {x} }$ $\rho ({\mathbf {x} })=m{\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\mathbf {x} }\right)}{\sqrt {(2\pi )^{2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}$		$I=m\cdot \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\Sigma }})\,\!$

Список 3D тензоров инерции

Этот список тензоров момента инерции приведен для главных осей каждого объекта.

Чтобы получить скалярные моменты инерции I, приведенные выше, тензорный момент инерции I проецируется вдоль некоторой оси, определяемой единичным вектором n, согласно формуле:

$\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} \equiv n_{i}I_{ij}n_{j}\,,$

где точки указывают на сокращение тензора и соглашение Эйнштейна о суммировании используется . В приведенной выше таблице n будет единичным декартовым базисом ex _e , e _y , z _y для получения I _x , I _z , I _{соответственно} .

Описание	Фигура	Тензор момента инерции
Твердая сфера радиуса r и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{5}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{5}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{5}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Полая сфера радиуса r и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{3}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{3}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Твердый эллипсоид полуосей a , b , c и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{5}}m(b^{2}+c^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{5}}m(a^{2}+c^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{5}}m(a^{2}+b^{2})\end{bmatrix}}$
Прямой круглый конус радиусом r , высотой h и массой m около вершины.		$I={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {3}{5}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {3}{10}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Твердый кубоид шириной w , высотой h , глубиной d и массой m.	180x	$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}$
Тонкий стержень вдоль оси Y длиной l и массой m на конце.		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}ml^{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&{\frac {1}{3}}ml^{2}\end{bmatrix}}$
Тонкий стержень вдоль оси Y длиной l и массой m относительно центра.		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}ml^{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&{\frac {1}{12}}ml^{2}\end{bmatrix}}$
Сплошной цилиндр радиуса r , высоты h и массы m.		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Толстостенная цилиндрическая трубка с открытыми концами внутреннего радиуса r 1 , наружного радиуса r 2 , длины h и массы m.		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}m(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})\end{bmatrix}}$

См. также

• Список вторых моментов площади
• Теорема о параллельной оси
• Теорема о перпендикулярной оси

Внешние ссылки

• Тензор инерции тетраэдра
• Учебное пособие по определению момента инерции для распространенных форм