Радиус вращения

Радиус вращения или радиус вращения тела вокруг оси вращения определяется как радиальное расстояние до точки, момент инерции которой был бы таким же, как фактическое распределение массы тела, если бы там была сосредоточена вся масса тела. Радиус инерции имеет размеры расстояния [L] или [M]. ⁰ LT ⁰ ], а единица измерения СИ — метр (м).

Формулировка

Математически радиус инерции среднеквадратичное — это расстояние частей объекта от его центра масс или заданной оси, в зависимости от соответствующего применения. На самом деле это расстояние по перпендикуляру от точечной массы до оси вращения. Траекторию движущейся точки можно представить в виде тела. Тогда радиус инерции можно использовать для характеристики типичного расстояния, пройденного этой точкой.

Предположим, тело состоит из $n$ частицы каждая с массой $m$. Позволять $r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}$ — их перпендикулярные расстояния от оси вращения. Тогда момент инерции $I$ тела вокруг оси вращения равна

$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}$

Если все массы одинаковы ( $m$), то момент инерции $I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})$.

С $m=M/n$ ( $M$ общая масса тела),

$I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n$

Из приведенных выше уравнений мы имеем

$MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n$

Радиус инерции - это среднеквадратичное расстояние частиц от оси. Формула

$R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n$

Следовательно, радиус вращения тела вокруг данной оси можно также определить как среднеквадратичное расстояние различных частиц тела от оси вращения. Он также известен как мера распределения массы вращающегося твердого тела вокруг его оси вращения.

ИЮПАП Определение

Радиус инерции (в полимерной науке)( $s$, единица измерения: нм или единица измерения СИ: м): Для макромолекулы, состоящей из $n$ элементы массы, масс $m_{i}$, $i$=1,2,…, $n$, расположенные на фиксированных расстояниях $s_{i}$ от центра масс радиус инерции равен квадратному корню из средней массы $s_{i}^{2}$ по всем элементам массы, т. е.

$s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_{i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}$

Примечание. За элементы массы обычно принимают массы скелетных групп, составляющих макромолекулу, например –СН ₂ – в полиметилене.

Применение в строительной технике

В строительной технике двумерный радиус инерции используется для описания распределения площади поперечного сечения колонны вокруг ее центроидальной оси с массой тела. Радиус инерции определяется следующей формулой:

$R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}$

Где $I$ - второй момент площади и $A$ это общая площадь поперечного сечения.

Радиус вращения полезен при оценке жесткости колонны. Если главные моменты двумерного тензора вращения не равны, колонна будет стремиться прогнуться вокруг оси с меньшим главным моментом. Например, колонна эллиптического поперечного сечения будет иметь тенденцию прогибаться в направлении меньшей полуоси.

В технике , где объектами исследования обычно являются непрерывные тела материи, радиус инерции обычно рассчитывается как интеграл.

Приложения в механике

Радиус вращения вокруг заданной оси ( $r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}$) можно рассчитать через момент инерции массы $I_{\text{axis}}$ вокруг этой оси и общая масса m ;

$r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}$

$I_{\text{axis}}$ является скаляром момента инерции и не является тензором .

приложения

Определение ИЮПАК радиуса инерции

В физике полимеров радиус инерции используется для описания размеров полимерной цепи . Радиус вращения отдельного гомополимера со степенью полимеризации N в данный момент времени определяется как:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}$

где $\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }$ – среднее положение мономеров.Как подробно описано ниже, радиус вращения также пропорционален среднеквадратичному расстоянию между мономерами:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i\neq j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}$

В качестве третьего метода радиус вращения также можно вычислить путем суммирования главных моментов тензора вращения .

цепи Поскольку количество конформаций в образце полимера квазибесконечно и постоянно меняются с течением времени, «радиус инерции», обсуждаемый в физике полимеров, обычно следует понимать как среднее значение по всем полимерным молекулам образца и с течением времени. То есть радиус вращения, который измеряется как среднее по времени или ансамблю :

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}\right\rangle$

где угловые скобки $\langle \ldots \rangle$ обозначают среднее значение по ансамблю .

Полимерная цепь, управляемая энтропией (т.е. в так называемых тета-условиях), совершает случайное блуждание в трех измерениях. Радиус инерции в этом случае определяется выражением

$R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a$

Обратите внимание, что хотя $aN$ представляет длину контура полимера, $a$ сильно зависит от жесткости полимера и может изменяться на порядки. $N$ соответственно уменьшается.

Одна из причин, по которой радиус инерции является интересным свойством, заключается в том, что его можно определить экспериментально с помощью статического рассеяния света , а также с помощью малоуглового рассеяния нейтронов и рентгеновских лучей . Это позволяет физикам-теоретикам-полимерщикам проверять свои модели на соответствие реальности.Гидродинамический радиус численно аналогичен и может быть измерен с помощью динамического рассеяния света (DLS).

Происхождение личности

Чтобы показать, что два определения $R_{\mathrm {g} }^{2}$ идентичны, сначала умножаем слагаемое в первом определении:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right]$

Проведя суммирование по двум последним слагаемым и воспользовавшись определением $\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }$ дает формулу

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)$

С другой стороны, второе определение можно вычислить аналогично следующему.

${\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}$

Таким образом, эти два определения совпадают.

Последнее преобразование использует отношение

${\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }.\end{aligned}}$

географических данных

При анализе данных радиус вращения используется для расчета множества различных статистических данных, включая распространение географических местоположений. Эти местоположения были недавно собраны у пользователей социальных сетей для изучения типичных упоминаний пользователя. Это может быть полезно для понимания того, как определенная группа пользователей социальных сетей использует платформу.

$R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}$

Ссылки

• Гросберг А.Ю. и Хохлов А.Р. (1994) Статистическая физика макромолекул (перевод Атанова Ю.А.), АИП Пресс. ISBN   1-56396-071-0
• Флори Пи Джей. (1953) Принципы химии полимеров , Корнельский университет, стр. 428–429 (Приложение C главы X).