Тензор вращения

В физике тензор вращения — это тензор , который описывает вторые моменты положения совокупности частиц.

$S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}r_{m}^{(i)}r_{n}^{(i)}$

где $r_{m}^{(i)}$ это $\mathrm {m^{th}}$ Декартова координата положения вектора $\mathbf {r} ^{(i)}$ принадлежащий $\mathrm {i^{th}}$ частица. Начало что системы координат выбрано так,

$\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}=0$

т.е. в системе центра масс $r_{CM}$. Где

$r_{CM}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}$

Другое определение, которое математически идентично, но дает альтернативный метод расчета:

$S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}(r_{m}^{(i)}-r_{m}^{(j)})(r_{n}^{(i)}-r_{n}^{(j)})$

Следовательно, компонент xy тензора инерции для частиц в декартовых координатах будет равен:

$S_{xy}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})$

В континуума пределе

$S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\dfrac {\int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ r_{m}r_{n}}{\int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )}}$

где $\rho (\mathbf {r} )$ представляет собой плотность числа частиц в положении $\mathbf {r}$.

Хотя у них разные единицы измерения, тензор инерции связан с Тензор момента инерции . Ключевое отличие состоит в том, что положения частиц взвешиваются по массе в тензоре инерции, тогда как тензор вращения зависит только от положений частиц; масса не играет роли в определении тензора инерции.

Диагонализация

Поскольку тензор инерции представляет собой симметричную матрицу 3x3 , можно найти декартову систему координат , в которой он диагональен.

$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\lambda _{x}^{2}&0&0\\0&\lambda _{y}^{2}&0\\0&0&\lambda _{z}^{2}\end{bmatrix}}$

где оси выбраны так, что диагональные элементы упорядочены $\lambda _{x}^{2}\leq \lambda _{y}^{2}\leq \lambda _{z}^{2}$. Эти диагональные элементы называются главными моментами тензора инерции.

Дескрипторы форм

Главные моменты можно объединить, чтобы получить несколько параметров, описывающих распределение частиц. Квадрат радиуса вращения представляет собой сумму главных моментов, деленную на число частиц N:

$R_{g}^{2}=(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2})/N$

Асферичность ​ $b$ определяется

$b\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{z}^{2}-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}\right)={\frac {3}{2}}\lambda _{z}^{2}-{\frac {R_{g}^{2}}{2}}$

который всегда неотрицательен и равен нулю только тогда, когда три главных момента равны: λ _x = λ _y = λ _z . Это нулевое условие выполняется, когда распределение частиц сферически симметрично (отсюда и название асферичность ), а также когда распределение частиц симметрично относительно трех координатных осей, например, когда частицы распределены равномерно на кубе , тетраэдре или другом объекте. Платоническое тело .

Аналогично, ацилиндричность $c$ определяется

$c\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{y}^{2}-\lambda _{x}^{2}$

который всегда неотрицательен и равен нулю только тогда, когда два главных момента равны, λ _x = λ _y . Это нулевое условие выполняется, когда распределение частиц цилиндрически симметрично (отсюда и название ацилиндричность ), а также тогда, когда распределение частиц симметрично относительно двух координатных осей, например, когда частицы распределены равномерно на регулярной призме .

Наконец, относительная анизотропия формы $\kappa ^{2}$ определяется

$\kappa ^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b^{2}+(3/4)c^{2}}{R_{g}^{4}}}={\frac {3}{2}}{\frac {\lambda _{x}^{4}+\lambda _{y}^{4}+\lambda _{z}^{4}}{(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

который ограничен между нулем и единицей. $\kappa ^{2}$ = 0 возникает только в том случае, если все точки сферически симметричны, и $\kappa ^{2}$ = 1 возникает только в том случае, если все точки лежат на прямой.

Ссылки

• Мэттис, WL; Сутер, Вашингтон (1994). Конформационная теория больших молекул . Уайли Интерсайенс. ISBN  0-471-84338-5 .
• Теодору, DN; Сутер, Вашингтон (1985). «Форма невозмущенных линейных полимеров: полипропилен». Макромолекулы . 18 (6): 1206–1214. Бибкод : 1985МаМол..18.1206Т . дои : 10.1021/ma00148a028 .