Список центроидов

Ниже приводится список центроидов различных двумерных и трехмерных объектов. Центр тяжести объекта $X$ в $n$ - мерное пространство – это пересечение всех гиперплоскостей , разделяющих $X$ на две части с одинаковым моментом относительно гиперплоскости. Неформально это « среднее » всех точек $X$ . Для объекта однородного состава или, другими словами, имеющего одинаковую плотность во всех точках, центр тяжести тела является также его центром масс . В случае двухмерных объектов, показанных ниже, гиперплоскости представляют собой просто линии.

2D центроиды

Для каждой двумерной фигуры ниже указаны площадь и координаты центроида. $({\bar {x}},{\bar {y}})$ даны:

Форма	Фигура	${\bar {x}}$	${\bar {y}}$	Область
прямоугольника площадь		${\frac {b}{2}}$	${\frac {h}{2}}$	${bh}$
Общая треугольная площадь		${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}$ ^[1]	${\frac {h}{3}}$	${\frac {bh}{2}}$
Равнобедренно-треугольная область		${\frac {l}{2}}$	${\frac {h}{3}}$	${\frac {lh}{2}}$
Право-треугольная область		${\frac {b}{3}}$	${\frac {h}{3}}$	${\frac {bh}{2}}$
Круглая площадь		$0$	$0$	${\pi r^{2}}$
Четвертькруглая площадь ^[2]		${\frac {4r}{3\pi }}$	${\frac {4r}{3\pi }}$	${\frac {\pi r^{2}}{4}}$
Полукруглая площадка ^[3]		$0$	${\frac {4r}{3\pi }}$	${\frac {\pi r^{2}}{2}}$
Круговой сектор		${\frac {2r\sin(\alpha )}{3\alpha }}$	$\,\!0$	$\,\!\alpha r^{2}$
Круглый сегмент		${\frac {4r\sin ^{3}(\alpha )}{3(2\alpha -\sin(2\alpha ))}}$	$\,\!0$	${\frac {r^{2}}{2}}(2\alpha -\sin(2\alpha ))$
Кольцевой сектор		${\frac {2\sin(\alpha )}{3\alpha }}{\frac {r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}$	$\,\!0$	$\alpha (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})$
Четвертькруговая дуга	Точки на круге $\,\!x^{2}+y^{2}=r^{2}$ и в первом квадранте	${\frac {2r}{\pi }}$	${\frac {2r}{\pi }}$	$L={\frac {\pi r}{2}}$
Полукруглая дуга	Точки на круге $\,\!x^{2}+y^{2}=r^{2}$ и выше $\,\!x$ ось	$\,\!0$	${\frac {2r}{\pi }}$	$L=\,\!\pi r$
Дуга круга	Точки на кривой (в полярных координатах) $\,\!\rho =r$ , от $\,\!\theta =-\alpha$ к $\,\!\theta =\alpha$	${\frac {\rho \sin(\alpha )}{\alpha }}$	$\,\!0$	$L=\,\!2\alpha \rho$
эллиптическая область		$0$	$0$	${\pi ab}$
Четвертьэллиптическая область		${\frac {4a}{3\pi }}$	${\frac {4b}{3\pi }}$	${\frac {\pi ab}{4}}$
Полуэллиптическая область		$\,\!0$	${\frac {4b}{3\pi }}$	${\frac {\pi ab}{2}}$
Параболическая область	Площадь между кривой $\,\!y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}$ и линия $\,\!y=h$	$\,\!0$	${\frac {3h}{5}}$	${\frac {4bh}{3}}$
Полупараболическая область Площадь между кривой $y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}$ и $\,\!y$ ось, от $\,\!y=0$ к $\,\!y=h$		${\frac {3b}{8}}$	${\frac {3h}{5}}$	${\frac {2bh}{3}}$
Параболическая перемычка	Площадь между кривой $\,\!y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}$ и $\,\!x$ ось, от $\,\!x=0$ к $\,\!x=b$	${\frac {3b}{4}}$	${\frac {3h}{10}}$	${\frac {bh}{3}}$
Общий спандрел	Площадь между кривой $y={\frac {h}{b^{n}}}x^{n}$ и $\,\!x$ ось, от $\,\!x=0$ к $\,\!x=b$	${\frac {n+1}{n+2}}b$	${\frac {n+1}{4n+2}}h$	${\frac {bh}{n+1}}$

Если координаты центроида отмечены как ноль, координаты находятся в начале координат, а уравнения для получения этих точек представляют собой длины включенных осей, разделенные на два, чтобы достичь центра, который в этих случаях является началом координат и, следовательно, нулем. .

3-D центроиды

Для каждого трехмерного тела ниже указаны объем и координаты центроида. $({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})$ даны:

Форма	Фигура	${\bar {x}}$	${\bar {y}}$	${\bar {z}}$	Объем
Кубовидный	a, b = стороны основания кубоида c = третья сторона кубоида	${\frac {a}{2}}$	${\frac {b}{2}}$	${\frac {c}{2}}$	${abc}$
Прямоугольная пирамида	a, b = стороны основания h = расстояние от основания до вершины	${\frac {a}{2}}$	${\frac {b}{2}}$	${\frac {h}{4}}$	${\frac {abh}{3}}$
Общая треугольная призма	b = нижняя сторона треугольного основания призмы, h = высота треугольного основания призмы L = длина призмы	см. выше для общего треугольное основание	${\frac {h}{3}}$	${\frac {L}{2}}$	${\frac {bhL}{2}}$
Равнобедренная треугольная призма	b = нижняя сторона треугольного основания призмы, h = высота треугольного основания призмы L = длина призмы	${\frac {b}{2}}$	${\frac {h}{3}}$	${\frac {L}{2}}$	${\frac {bhL}{2}}$
Прямотреугольная призма	b = нижняя сторона треугольного основания призмы, h = перпендикулярная сторона треугольного основания призмы L = длина призмы	${\frac {b}{3}}$	${\frac {h}{3}}$	${\frac {L}{2}}$	${\frac {bhL}{2}}$
Правый круглый цилиндр	r = радиус цилиндра h = высота цилиндра	$0$	$0$	${\frac {h}{2}}$	${\pi r^{2}h}$
Правый круглый сплошной конус	r = радиус основания конуса h = расстояние от основания до вершины	$0$	$0$	${\frac {h}{4}}$	${\frac {\pi r^{2}h}{3}}$
Твердая сфера	r = радиус сферы	$0$	$0$	$0$	${\frac {4\pi r^{3}}{3}}$
Твердая полусфера	r = радиус полусферы	$0$	$0$	${\frac {3r}{8}}$	${\frac {2\pi r^{3}}{3}}$
Сплошной полуэллипсоид вращения вокруг оси z.	a = радиус базовой окружности h = высота полуэллипсоида от центра базовой окружности до края.	$0$	$0$	${\frac {3h}{8}}$	${\frac {2\pi a^{2}h}{3}}$
Твердый параболоид вращения вокруг оси Z	a = радиус базовой окружности h = высота паболоида от центра базовой окружности до края.	$0$	$0$	${\frac {h}{3}}$	${\frac {\pi a^{2}h}{2}}$
Сплошной эллипсоид	a, b, c = главные полуоси эллипсоида	$0$	$0$	$0$	${\frac {4\pi abc}{3}}$
Сплошной полуэллипсоид вокруг оси Z	a, b = главные полуоси основного эллипса c = главная полуось z, идущая от центра базового эллипса	$0$	$0$	${\frac {3c}{8}}$	${\frac {2\pi abc}{3}}$
Сплошной параболоид вокруг оси Z	a, b = главные полуоси основного эллипса c = главная полуось z, идущая от центра базового эллипса	$0$	$0$	${\frac {c}{3}}$	${\frac {\pi abc}{2}}$