Поле электрического смещения

Для более широкого освещения этой темы см. Ток смещения .

В физике поле электрического смещения (обозначается D ) или электрическая индукция — это векторное поле , которое появляется в уравнениях Максвелла . Он учитывает электромагнитные эффекты поляризации и электрического поля , объединяя их во вспомогательное поле . Он играет важную роль в таких темах, как емкость материала, а также реакция диэлектриков на электрическое поле и то, как формы могут изменяться под действием электрических полей в пьезоэлектричества или флексоэлектричества, а также создание напряжений и перенос заряда из-за упругие деформации.

Иллюстрация поляризации из-за отрицательного заряда

В любом материале, если есть центр инверсии , то заряд, например, $+x$ и $-x$ одинаковы. нет Это означает, что диполя . Если к изолятору приложено электрическое поле, то (например) отрицательные заряды могут слегка смещаться в сторону положительной стороны поля, а положительные заряды — в другую сторону. Это приводит к индуцированному диполю, который описывается как поляризация . В молекулах могут быть несколько разные движения отрицательных электронов и положительных ядер или разные смещения атомов в ионном соединении . Материалы, не имеющие центра инверсии, проявляют пьезоэлектричество и всегда имеют поляризацию; в других пространственно изменяющиеся деформации могут нарушить инверсионную симметрию и привести к поляризации, флексоэлектрическому эффекту . Другие стимулы, такие как магнитные поля, могут привести к поляризации некоторых материалов, это называется магнитоэлектрическим эффектом .

Определение

Поле электрического смещения « D » определяется как

$$\mathbf {D} \equiv \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,$$

где $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума (также называемая диэлектрической проницаемостью свободного пространства), а P - (макроскопическая) плотность постоянных и индуцированных электрических дипольных моментов в материале, называемая плотностью поляризации .

Поле смещений удовлетворяет закону Гаусса в диэлектрике:

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho -\rho _{\text{b}}=\rho _{\text{f}}$$

В этом уравнении $\rho _{\text{f}}$ – количество свободных зарядов на единицу объема. Именно эти заряды сделали объем ненейтральным, и их иногда называют пространственным зарядом . По сути, это уравнение говорит о том, что линии потока D должны начинаться и заканчиваться на свободных зарядах. В отличие $\rho _{\text{b}}$ — плотность всех тех зарядов, входящих в состав диполя , каждый из которых нейтрален. В примере изолирующего диэлектрика между металлическими пластинами конденсатора единственные свободные заряды находятся на металлических пластинах, а диэлектрик содержит только диполи. Если диэлектрик заменить легированным полупроводником или ионизированным газом и т. д., то электроны движутся относительно ионов, а если система конечна, они оба вносят вклад в $\rho _{\text{f}}$ по краям.

D не определяется исключительно бесплатностью. Поскольку E имеет нулевой ротор в электростатических ситуациях, отсюда следует, что

$$\nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P}$$

Эффект этого уравнения можно увидеть в случае объекта с «замороженной» поляризацией, такого как стержневой электрет , электрический аналог стержневого магнита. В таком материале нет свободного заряда, но собственная поляризация приводит к возникновению электрического поля, демонстрируя, что поле D не полностью определяется свободным зарядом. Электрическое поле определяется с использованием приведенного выше соотношения вместе с другими граничными условиями на плотность поляризации для получения связанных зарядов, которые, в свою очередь, создают электрическое поле.

В линейном , однородном , изотропном диэлектрике с мгновенной реакцией на изменение электрического поля P линейно зависит от электрического поля,

$$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} ,$$

где константа пропорциональности $\chi$ называется электрической восприимчивостью материала. Таким образом

$$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E}$$

где ε = ε ₀ ε _r — диэлектрическая проницаемость , а ε _r = 1 + χ — относительная диэлектрическая проницаемость материала.

В линейных однородных изотропных средах ε является константой. Однако в линейных анизотропных средах это тензор , а в неоднородных средах — функция положения внутри среды. Он также может зависеть от электрического поля (нелинейные материалы) и иметь временной отклик. Явная зависимость от времени может возникнуть, если материалы физически движутся или меняются во времени (например, отражения от движущейся границы раздела вызывают доплеровские сдвиги ). среде может возникнуть другая форма временной зависимости В стационарной , поскольку между наложением электрического поля и возникающей в результате поляризацией материала может существовать временная задержка. В этом случае P представляет собой свертку импульсной характеристики восприимчивости χ и электрического E. поля Такая свертка принимает более простую форму в частотной области : Фурье преобразуя соотношение и применяя теорему о свертке , можно получить следующее соотношение для линейной, неизменной во времени среды:

$$\mathbf {D} (\omega )=\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\omega ),$$

где $\omega$ – частота приложенного поля. Ограничение причинности приводит к соотношениям Крамерса-Кронига , которые накладывают ограничения на форму частотной зависимости. Явление частотно-зависимой диэлектрической проницаемости является примером материальной дисперсии . Фактически, все физические материалы имеют некоторую дисперсию материала, поскольку они не могут мгновенно реагировать на приложенные поля, но для многих задач (тех, которые касаются достаточно узкой полосы пропускания ) частотной зависимостью ε можно пренебречь.

На границе, $(\mathbf {D_{1}} -\mathbf {D_{2}} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=D_{1,\perp }-D_{2,\perp }=\sigma _{\text{f}}$, где σ _f — плотность свободного заряда и единичная нормаль $\mathbf {\hat {n}}$ указывает в направлении от среды 2 к среде 1.

История

Самое раннее известное использование этого термина относится к 1864 году в статье Джеймса Клерка Максвелла «Динамическая теория электромагнитного поля» . Максвелл ввел термин D — удельную мощность электрической индукции — в форме, отличной от современных и привычных обозначений.

Именно Оливер Хевисайд переформулировал сложные уравнения Максвелла в современную форму. Лишь в 1884 году Хевисайд совместно с Уиллардом Гиббсом и Генрихом Герцем сгруппировал уравнения в отдельный набор. Эта группа из четырех уравнений была известна по-разному как уравнения Герца-Хевисайда и уравнения Максвелла-Герца, а иногда до сих пор известна как уравнения Максвелла-Хевисайда; следовательно, вероятно, именно Хевисайд придал D то нынешнее значение, которое он имеет сейчас.

Пример: Поле смещения в конденсаторе

Конденсатор с параллельными пластинами. Используя воображаемый ящик, можно использовать закон Гаусса, чтобы объяснить связь между электрическим смещением и свободным зарядом.

Рассмотрим бесконечный конденсатор с параллельными пластинами , пространство между пластинами которого пусто или содержит нейтральную изолирующую среду. В обоих случаях свободные заряды находятся только на металлических обкладках конденсатора. Поскольку линии потока D заканчиваются на свободных зарядах, а на обеих обкладках имеется одинаковое количество равномерно распределенных зарядов противоположного знака, то все линии потока должны просто пересекать конденсатор с одной стороны на другую. В единицах СИ плотность заряда на пластинах пропорциональна величине поля D между пластинами. Это следует непосредственно из закона Гаусса путем интегрирования по небольшому прямоугольному прямоугольнику, расположенному между одной обкладкой конденсатора:

$\scriptstyle _{A}$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{\text{free}}$

По бокам ящика d A перпендикулярен полю, поэтому интеграл по этому сечению равен нулю, как и интеграл по грани, находящейся вне конденсатора, где D равно нулю. Следовательно, единственной поверхностью, которая вносит вклад в интеграл, является поверхность коробки внутри конденсатора и, следовательно,

$$|\mathbf {D} |A=|Q_{\text{free}}|,$$

где A — площадь поверхности верхней грани коробки, а $Q_{\text{free}}/A=\rho _{\text{f}}$ – плотность заряда свободной поверхности положительной пластины. Если пространство между обкладками конденсатора заполнено линейным однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$, то в среде наводится поляризация $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon \mathbf {E}$ поэтому разность напряжений между пластинами равна

$$V=|\mathbf {E} |d={\frac {|\mathbf {D} |d}{\varepsilon }}={\frac {|Q_{\text{free}}|d}{\varepsilon A}}$$

где d — их расстояние.

Введение диэлектрика увеличивает ε в раз. $\varepsilon _{r}$ и либо разность напряжений между обкладками будет меньше в этот раз, либо заряд должен быть выше. Частичная компенсация полей в диэлектрике позволяет большему количеству свободного заряда задерживаться на двух обкладках конденсатора на единицу падения потенциала, чем это было бы возможно, если бы пластины были разделены вакуумом.

Если расстояние d между обкладками конечного плоскопараллельного конденсатора много меньше его поперечных размеровмы можем аппроксимировать его, используя бесконечный случай, и получить его емкость как

$$C={\frac {Q_{\text{free}}}{V}}\approx {\frac {Q_{\text{free}}}{|\mathbf {E} |d}}={\frac {A}{d}}\varepsilon ,$$

См. также

• История уравнений Максвелла § Термин «уравнения Максвелла»
• Плотность поляризации
• Электрическая восприимчивость
• Магнитное поле
• Электрический дипольный момент