Теорема Теллегена

Теорема Теллегена — одна из самых мощных теорем теории сетей . Из него можно вывести большинство теорем о распределении энергии и принципов экстремума в теории сетей. Он был опубликован в 1952 году Бернаром Теллегеном . ^{[ 1 ]} По сути, теорема Теллегена дает простое соотношение между величинами, которые удовлетворяют законам Кирхгофа теории электрических цепей .

Теорема Теллегена применима ко множеству сетевых систем. Основными предположениями для систем являются сохранение потока обширных величин ( закон тока Кирхгофа , KCL) и единственность потенциалов в узлах сети ( закон напряжения Кирхгофа , KVL). Теорема Теллегена предоставляет полезный инструмент для анализа сложных сетевых систем, включая электрические цепи, биологические и метаболические сети , сети трубопроводного транспорта и сети химических процессов .

Теорема

Рассмотрим произвольную сеть с сосредоточенными параметрами , которая имеет $b$ филиалы и $n$ узлы. В электрической сети ответвления представляют собой двухполюсные компоненты, а узлы — точки соединения. Предположим, что каждой ветви мы приписываем произвольно отраслевую разность потенциалов $W_{k}$ и ток ветви $F_{k}$ для $k=1,2,\dots ,b$ и предположим, что они измерены относительно произвольно выбранных связанных опорных направлений. Если разность потенциалов ветвей $W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}$ удовлетворяют всем ограничениям, налагаемым КВЛ, и если токи ветвей $F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}$ удовлетворять всем ограничениям, налагаемым KCL, тогда

\sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.

Теорема Теллегена чрезвычайно общая; оно справедливо для любой сети с сосредоточенными параметрами, которая содержит любые элементы, линейные или нелинейные , пассивные или активные , изменяющиеся или неизменяемые во времени . Общность расширяется, когда $W_{k}$ и $F_{k}$ являются линейными операциями над множеством разностей потенциалов и над множеством токов ветвей (соответственно), поскольку линейные операции не влияют на КВЛ и КСЛ. Например, линейной операцией может быть усреднение или преобразование Лапласа . В более общем смысле операторы, сохраняющие KVL, называются операторами напряжения Кирхгофа, операторы, сохраняющие KCL, называются операторами тока Кирхгофа, а операторы, сохраняющие оба, называются просто операторами Кирхгофа. Для справедливости теоремы Теллегена эти операторы не обязательно должны быть линейными. ^{[ 2 ]}

Набор токов также может быть выбран в другое время из набора разностей потенциалов, поскольку KVL и KCL верны во все моменты времени. Другое расширение — это когда набор потенциальных разностей $W_{k}$ это из одной сети и множества токов $F_{k}$ принадлежит совершенно другой сети, пока две сети имеют одинаковую топологию (одинаковую матрицу инцидентности ), теорема Теллегена остается верной. Это расширение теоремы Теллегена приводит ко многим теоремам, касающимся двухпортовых сетей. ^{[ 3 ]}

Определения

Нам нужно ввести несколько необходимых сетевых определений, чтобы обеспечить компактное доказательство.

Матрица заболеваемости: $n\times b$ матрица $\mathbf {A_{a}}$ называется матрицей инцидентности от узла к ветви для матричных элементов $a_{ij}$ существование

a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{if current in branch }}j{\text{ leaves node }}i\\-1,&{\text{if current in branch }}j{\text{ enters node }}i\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Ссылочный или базовый узел $P_{0}$ введен для представления окружающей среды и подключен ко всем динамическим узлам и терминалам. $(n-1)\times b$ матрица $\mathbf {A}$ , где строка, содержащая элементы $a_{0j}$ опорного узла $P_{0}$ исключается, называется приведенной матрицей инцидентности.

Законы сохранения (ЗКС) в векторно-матричной форме:

\mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0}

Условие единственности потенциалов (КВЛ) в векторно-матричной форме:

\mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w}

где $w_{k}$ - абсолютные потенциалы в узлах опорного узла $P_{0}$ .

Доказательство

Использование КВЛ:

{\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}

потому что $\mathbf {AF} =\mathbf {0}$ от КСЛ. Так:

\sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0

Приложения

Сетевые аналоги были созданы для широкого спектра физических систем и оказались чрезвычайно полезными при анализе их динамического поведения. Классической областью применения теории сетей и теоремы Теллегена является теория электрических цепей. В основном он используется для разработки фильтров в приложениях обработки сигналов.

Более позднее применение теоремы Теллегена находится в области химических и биологических процессов. Допущения для электрических цепей (законы Кирхгофа) обобщены на динамические системы, подчиняющиеся законам необратимой термодинамики. Топологию и структуру реакционных сетей (механизмов реакций, метаболических сетей) можно проанализировать с помощью теоремы Теллегена.

Другое применение теоремы Теллегена — определение стабильности и оптимальности сложных технологических систем, таких как химические заводы или системы добычи нефти. Теорему Теллегена можно сформулировать для технологических систем, использующих технологические узлы, терминалы, соединения потоков и допускающих поглотители и источники для производства или уничтожения больших количеств.

Формулировка теоремы Теллегена о процессных системах:

\sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}

где $p_{j}$ условия производства, $t_{j}$ - это клеммные соединения, и ${\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}$ — это условия динамического хранения для расширенных переменных.

Ссылки

Встроенные ссылки

^ Теллеген, BDH (1952). «Общая сетевая теорема с приложениями». Отчеты об исследованиях Philips . 7 : 259–269.
^ Пенфилд, П. (1970). «Обобщенная форма теоремы Теллегена» (PDF) . Транзакции IEEE по теории цепей . КТ-17: 302–305 . Проверено 8 ноября 2016 г.
^ Теорема Теллегена и электрические сети Пола Пенфилда-младшего, Роберта Спенса и Саймона Дуинкера, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1970.

Общие ссылки

Основная теория цепей К. А. Десоера и Э. С. Куха, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1969 г.
«Теорема Теллегена и термодинамические неравенства», Г. Ф. Остер и К. А. Дезоер, J. Theor. Биол 32 (1971), 219–241.
«Сетевые методы в моделях производства», Дональд Уотсон, Сети , 10 (1980), 1–15.

Внешние ссылки

Пример схемы для теоремы Теллегена
Г. Ф. Остер и К. А. Дезоер, Теорема Теллегена и термодинамические неравенства
Сетевая термодинамика

[Tellegen-1] Теллеген, BDH (1952). «Общая сетевая теорема с приложениями». Отчеты об исследованиях Philips . 7 : 259–269.

[Penfield-2] Пенфилд, П. (1970). «Обобщенная форма теоремы Теллегена» (PDF) . Транзакции IEEE по теории цепей . КТ-17: 302–305 . Проверено 8 ноября 2016 г.

[3] Теорема Теллегена и электрические сети Пола Пенфилда-младшего, Роберта Спенса и Саймона Дуинкера, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1970.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]