Преобразование звездной сетки

Преобразование «звезда-сетка» или преобразование «звезда-многоугольник» — это метод математического анализа цепей , позволяющий преобразовать резистивную сеть в эквивалентную сеть с одним узлом меньше. Эквивалентность следует из тождества дополнения Шура , примененного к матрице Кирхгофа сети.

Эквивалентное сопротивление между узлами A и B определяется выражением:

z_{\text{AB}}=z_{\text{A}}z_{\text{B}}\sum {\frac {1}{z}},

где $z_{\text{A}}$ – импеданс между узлом A и удаляемым центральным узлом.

Преобразование заменяет N резисторов на ${\textstyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$ резисторы. Для ${\textstyle N>3}$ , результатом является увеличение количества резисторов, поэтому преобразование не имеет общего обратного без дополнительных ограничений.

Возможно, хотя и не обязательно эффективно, преобразовать сколь угодно сложную резистивную сеть с двумя выводами в один эквивалентный резистор, неоднократно применяя преобразование «звезда» для устранения каждого нетерминального узла.

Особые случаи

Когда N :

Для одного висячего резистора преобразование исключает резистор.
Для двух резисторов «звездой» являются просто два резистора, включенных последовательно, а преобразование дает один эквивалентный резистор.
Особый случай трех резисторов более известен как преобразование Y-Δ . Поскольку результат также имеет три резистора, это преобразование имеет обратное преобразование Δ-Y.

См. также

Ссылки

ван Лиер, М.; Оттен, Р. (март 1973 г.). «Планаризация путем трансформации». Транзакции IEEE по теории цепей . 20 (2): 169–171. дои : 10.1109/TCT.1973.1083633 .
Бедросян, С. (декабрь 1961 г.). «Конверс трансформации звездной сетки». IRE Транзакции по теории цепей . 8 (4): 491–493. дои : 10.1109/TCT.1961.1086832 .
Э.Б. Кертис, Д. Ингерман, Дж. А. Морроу. Круговые планарные графы и резисторные сети. Линейная алгебра и ее приложения. Том 283, выпуски 1–3, 1 ноября 1998 г., стр. 115–150 | дои = https://doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10087-3 .