Связующая константа

В математике константа связи — это числовая величина, связанная с самоизбегающими блужданиями по решетке . Оно изучается в связи с понятием универсальности в двумерных моделях статистической физики . Хотя константа связи зависит от выбора решетки, поэтому сама по себе не является универсальной (как и другие зависящие от решетки величины, такие как порог критической вероятности перколяции ), тем не менее, это важная величина, которая появляется в гипотезах об универсальных законах. Кроме того, математические методы, используемые для понимания константы связи, например, в недавнем строгом доказательстве Думинила-Копена и Смирнова о том, что константа связи гексагональной решетки имеет точное значение ${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$, может дать подсказки к возможному подходу к решению других важных открытых проблем в изучении самоизбегающих блужданий, в частности, гипотезы о том, что самоизбегающие блуждания сходятся в пределе масштабирования к эволюции Шрамма – Лёвнера .

Определение

Константа связи определяется следующим образом. Позволять $c_{n}$ обозначают количество n -шаговых самоизбегающих блужданий, начинающихся из фиксированной начальной точки решетки. Поскольку каждый n + m шаг самоизбегания из шагов можно разложить на обход с самоизбеганием из n шагов и обход с самоизбеганием из m шагов, отсюда следует, что $c_{n+m}\leq c_{n}c_{m}$. Тогда, применив лемму Фекете к логарифму приведенного выше соотношения, предел $\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}$ можно показать, что оно существует. Этот номер $\mu$ называется константой связи и, очевидно, зависит от конкретной решетки, выбранной для обхода, поскольку $c_{n}$ делает. Стоимость $\mu$ точно известно только для двух решеток, см. ниже. Для других решеток $\mu$ была лишь аппроксимирована численно. Предполагается, что $c_{n}\approx \mu ^{n}n^{\gamma -1}$ когда n стремится к бесконечности, где $\mu$ и $A$, критическая амплитуда, зависят от решетки, а показатель степени $\gamma$, которое считается универсальным и зависящим от размера решетки, предполагается $\gamma =43/32$.

Известные значения

Решетка	Связующая константа
Шестиугольный	${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\simeq 1.85$
Треугольный	$4.15079(4)$
Квадрат	$2.63815853032790(3)$
Кагоме	$2.56062$
Манхэттен	$1.733535(3)$
L-решетка	$1.5657(15)$
$(3.12^{2})$ решетка	$1.7110412...$
$(4.8^{2})$ решетка	$1.80883001(6)$

Эти значения взяты из статьи Йенсена-Гутмана 1998 года. и более поздняя статья Якобсена, Скалларда и Гуттмана. Константа связи $(3.12^{2})$ решетки, поскольку каждый шаг гексагональной решетки соответствует либо двум, либо трем шагам в ней, может быть выражен точно как наибольший действительный корень многочлена

$x^{12}-4x^{8}-8x^{7}-4x^{6}+2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2$

дано точное выражение для константы связности гексагональной решетки. Более подробную информацию об этих решетках можно найти в статье о пороге перколяции .

Думинила-Копена

В 2010 году Уго Дюминиль-Копен и Станислав Смирнов опубликовали первое строгое доказательство того факта, что $\mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$ для гексагональной решетки. Это было высказано Ниенхейсом в 1982 году в рамках более масштабного исследования моделей O( n ) с использованием методов перенормировки. Строгое доказательство этого факта было получено благодаря программе применения инструментов комплексного анализа к дискретным вероятностным моделям, которая также дала впечатляющие результаты, среди прочего, в отношении модели Изинга . Этот аргумент основан на существовании парафермионной наблюдаемой, которая удовлетворяет половине дискретных уравнений Коши – Римана для гексагональной решетки. Мы немного модифицируем определение обхода с самоизбеганием, задав его начало и конец на средних ребрах между вершинами. Пусть H — множество всех средних ребер шестиугольной решетки. Для самоизбегающей прогулки $\gamma$ между двумя средними краями $a$ и $b$, мы определяем $\ell (\gamma )$ быть количеством посещенных вершин и ее витков $W_{\gamma }(a,b)$ как общий поворот направления в радианах, когда $\gamma$ проходит от $a$ к $b$. Цель доказательства — показать, что статистическая сумма

$Z(x)=\sum _{\gamma :a\to H}x^{\ell (\gamma )}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

сходится для $x<x_{c}$ и расходится по $x>x_{c}$ где критический параметр определяется выражением $x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$. Это сразу означает, что $\mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$.

Учитывая домен $\Omega$ в шестиугольной решетке начальное среднее ребро $a$и два параметра $x$ и $\sigma$, мы определяем парафермионную наблюдаемую

$F(z)=\sum _{\gamma \subset \Omega :a\to z}e^{-i\sigma W_{\gamma }(a,z)}x^{\ell (\gamma )}.$

Если $x=x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$ и $\sigma =5/8$, то для любой вершины $v$ в $\Omega$, у нас есть

$(p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0,$

где $p,q,r$ средние края, исходящие из $v$. Эта лемма устанавливает, что парафермионная наблюдаемая бездивергентна. Не было доказано, что он свободен от скручиваний, но это решило бы несколько открытых проблем (см. предположения). Доказательство этой леммы представляет собой хитроумное вычисление, в значительной степени опирающееся на геометрию гексагональной решетки.

Далее мы сосредоточимся на конечной трапециевидной области $S_{T,L}$ с 2L-клетками, образующими левую сторону, Т-клетками поперек, а верхнюю и нижнюю стороны под углом $\pm \pi /3$. (Необходимо изображение.) Мы встраиваем шестиугольную решетку в комплексную плоскость так, чтобы длины ребер были равны 1, а среднее ребро в центре левой части располагалось на уровне −1/2. Тогда вершины в $S_{T,L}$ даны

$V(S_{T,L})=\{z\in V(\mathbb {H} ):0\leq Re(z)\leq {\frac {3T+1}{2}},\;|{\sqrt {3}}Im(z)-Re(z)|\leq 3L\}.$

Теперь мы определяем статистические суммы для самоизбегающих блужданий, начиная с $a$ и заканчивающиеся на разных участках границы. Позволять $\alpha$ обозначим левую границу, $\beta$ правая граница, $\epsilon$ верхнюю границу и ${\bar {\epsilon }}$ нижняя граница. Позволять

$A_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.$

Суммируя тождество

$(p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0$

по всем вершинам в $V(S_{T,L})$ и учитывая, что обмотка фиксирована в зависимости от того, на какой части границы заканчивается путь, можно прийти к соотношению

$1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}+\cos(\pi /4)E_{T,L}^{x_{c}}$

после еще одного умного вычисления. Сдача в аренду $L\to \infty$, мы получаем полосовой домен $S_{T}$ и функции разделения

$A_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.$

Позже было показано, что $E_{T,L}^{x_{c}}=0$, но для доказательства это нам не нужно. У нас осталось отношение

$1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}$.

Отсюда можно вывести неравенство

$A_{T+1}^{x_{c}}-A_{T}^{x_{c}}\leq x_{c}(B_{T+1}^{x_{c}})^{2}$

И придем по индукции к строго положительной нижней границе для $B_{T}^{x_{c}}$. С $Z(x_{c})\geq \sum _{T>0}B_{T}^{x_{c}}=\infty$, мы установили, что $\mu \geq {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$.

Для обратного неравенства, для произвольного самоизбегающего блуждания по сотовой решетке, мы проводим каноническое разложение Хаммерсли и Уэлша блуждания на мостики ширины $T_{-I}<\cdots <T_{-1}$ и $T_{0}>\cdots >T_{j}$. Обратите внимание, что мы можем ограничить

$B_{T}^{x}\leq (x/x_{c})^{T}B_{T}^{x_{c}}\leq (x/x_{c})^{T}$

что подразумевает $\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})<\infty$. Наконец, статистическую сумму можно ограничить мостовыми статистическими функциями

$Z(x)\leq \sum _{T_{-I}<\cdots <T_{-1},\;T_{0}>\cdots >T_{j}}2\left(\prod _{k=-I}^{j}B_{T_{k}}^{x}\right)=2\left(\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})\right)^{2}<\infty .$

И так, у нас есть это $\mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$ по желанию.

Предположения

Ниенхейс высказался в пользу предсказания Флори о том, что среднеквадратичное смещение самоизбегающего случайного блуждания $\langle |\gamma (n)|^{2}\rangle$ удовлетворяет масштабному соотношению $\langle |\gamma (n)|^{2}\rangle ={\frac {1}{c_{n}}}\sum _{n\;\mathrm {step\;SAW} }|\gamma (n)|^{2}=n^{2\nu +o(1)}$,с $\nu =3/4$. Показатель масштабирования $\nu$ и универсальная константа $11/32$ может быть вычислено, если самоизбегающее блуждание обладает конформно-инвариантным пределом масштабирования, предположительно являющимся эволюцией Шрамма – Лёвнера с $\kappa =8/3$.

См. также

• Порог перколяции

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа соединения самоизбегающего ходьбы» . Математический мир .