Теорема Лоха

В чисел теории теорема Лоха касается скорости сходимости непрерывную дробь разложения типичного действительного числа в . Доказательство теоремы было опубликовано в 1964 году Густавом Лохсом . ^{[ 1 ]}

Теорема утверждает, что почти для всех действительных чисел в интервале (0,1) количество членов m разложения числа в цепную дробь, которые необходимы для определения первых n знаков десятичного разложения числа, ведет себя асимптотически следующим образом:

\lim _{n\to \infty }{\frac {m}{n}}={\frac {6\ln(2)\ln(10)}{\pi ^{2}}}\approx 0.97027014

(последовательность A086819 в OEIS ). ^{[ 2 ]}

Поскольку этот предел лишь немного меньше 1, это можно интерпретировать как утверждение, что каждый дополнительный член в представлении цепной дроби «типичного» действительного числа увеличивает точность представления примерно на один десятичный знак. Десятичная ; система — это последняя позиционная система , в которой каждая цифра несет меньше информации, чем одно частное непрерывной дроби переход к базе 11 (изменение $\ln(10)$ к $\ln(11)$ в уравнении) приводит к тому, что указанное выше значение превышает 1.

обратная этому пределу,

{\frac {\pi ^{2}}{6\ln(2)\ln(10)}}\approx 1.03064083

(последовательность A062542 в OEIS ),

в два раза больше логарифма по основанию 10 константы Леви .

Ярким примером числа, не проявляющего такого поведения, является золотое сечение , иногда называемое « наиболее иррациональным » числом, все члены которого в виде непрерывной дроби являются единицами, наименьшими из возможных в канонической форме. В среднем для этого требуется примерно 2,39 членов цепной дроби на десятичную цифру. ^{[ 3 ]}

Доказательство

Доказательство предполагает основные свойства цепных дробей . Позволять $T:x\mapsto 1/x\mod 1$ быть отображением Гаусса.

Позволять $\rho (t)={\frac {1}{(1+t)\ln 2}}$ — функция плотности вероятности распределения Гаусса, которая сохраняется при отображении Гаусса.

Поскольку функция плотности вероятности ограничена сверху и снизу, набор пренебрежимо мал по отношению к мере Лебега тогда и только тогда, когда распределение Гаусса.

Лемма

Лемма. ${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$ .

Доказательство. С ${\textstyle T^{n}x\leq 1}$ , у нас есть ${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$ если только $\liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x=0$ Рассмотрим совокупность всех ${\textstyle x}$ которые имеют ${\textstyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x<0}$ . То есть, $\{x:\exists c>0,\forall N\geq 1,\exists n\geq N,T^{n}x<e^{-cn}\}$ $=\cup _{c>0}\cap _{N\geq 1}\cup _{n\geq N}[0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]$ где $[0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]$ обозначает набор чисел, разложение цепной дроби которых имеет $a_{n}>e^{cn}$ , но никаких других ограничений. Теперь, поскольку отображение Гаусса сохраняет меру Гаусса, $[0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]$ имеет ту же меру Гаусса, что и ${\textstyle [0;a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$ , что то же самое, что

$\int _{0}^{e^{-cn}}\rho (t)dt=\log _{2}(1+e^{-cn})\sim {\frac {e^{-cn}}{\ln 2}}$ Союз закончился ${\textstyle \cup _{n\geq N}}$ суммы до ${\textstyle \sim {\frac {e^{-cN}}{(1-e^{-c})\ln 2}}}$ , который на ${\textstyle N\to \infty }$ лимит равен нулю.

Таким образом, набор таких ${\textstyle x}$ имеет нулевую меру Гаусса.

Завершить оценку

Теперь расширите этот термин, используя основные свойства цепной дроби: $\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\ln {\frac {T^{n}x}{q_{n}(q_{n}+q_{n-1}T^{n}x)}}=-2\ln q_{n}+\ln T^{n}x-\ln \left(1+{\frac {q_{n-1}}{q_{n}}}T^{n}x\right)$ Второй ${\textstyle o(n)}$ . Третий термин ${\textstyle \in [\ln 1,\ln 2]}$ . Оба исчезают после деления на $n$ .
Таким образом $\lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-2\lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln q_{n}=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}$ где мы использовали результат константы Леви .

Ссылки

^ Лохс, Густав (1964), «Сравнение точности десятичных дробей и цепных дробей», статьи математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке), 27 (1–2): 142–144, doi : 10.1007/ БФ02993063 , МР 0162753 , С2КИД 119419559
^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Лоха» . Математический мир .
^ Купер, Гарольд (17 августа 2016 г.). «Продолжительные потоки фракций» . Существовать . Проверено 30 августа 2016 г.

[1] Лохс, Густав (1964), «Сравнение точности десятичных дробей и цепных дробей», статьи математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке), 27 (1–2): 142–144, doi : 10.1007/ БФ02993063 , МР 0162753 , С2КИД 119419559

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Лоха» . Математический мир .

[3] Купер, Гарольд (17 августа 2016 г.). «Продолжительные потоки фракций» . Существовать . Проверено 30 августа 2016 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]