Магический угол

Магический угол – это точно определенный угол, значение которого составляет примерно 54,7356°. Магический угол является корнем полинома Лежандра второго порядка , P ₂ (cos θ ) = 0 , и поэтому любое взаимодействие, которое зависит от этого полинома Лежандра второго порядка, исчезает при магическом угле. Это свойство делает магический угол особенно важным в спектроскопии с вращением под магическим углом твердотельной ЯМР- . При магнитно-резонансной томографии структуры с упорядоченным коллагеном , такие как сухожилия и связки , ориентированные под магическим углом, в некоторых последовательностях могут выглядеть гиперинтенсивными; это называется артефактом или эффектом магического угла.

Математическое определение [ править ]

Магический угол θ _m равен

\theta _{\mathrm {m} }=\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}=\arctan {\sqrt {2}}\approx 0.955\,32\ {\text{rad}}\approx 54.7^{\circ }\!,

где arccos и arctan — обратные функции косинуса и тангенса соответственно. ОЭИС : A195696

$θ m$ — угол между пространственной диагональю куба и любым из трёх его соединяющихся ребер, см. изображение.

Другое представление магического угла — это половина угла открытия, образующегося при вращении куба от его пространственной диагональной оси, что можно представить как $arccos — .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/3 109,4712 °$ или $2 арктана \sqrt 2$ радиана $\approx$ . Этот двойной магический угол напрямую связан с тетраэдрической молекулярной геометрией и представляет собой угол между двумя вершинами и точным центром тетраэдра ( т. е. центральный угол ребра, также известный как тетраэдрический угол).

Магический угол и резонанс магнитный ядерный

В спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР) три основных ядерных магнитных взаимодействия: диполярная связь , анизотропия химического сдвига (CSA) и квадрупольная связь первого порядка , зависят от ориентации тензора взаимодействия с внешним магнитным полем.

При вращении образца вокруг заданной оси их средняя угловая зависимость принимает вид:

\left\langle 3\cos ^{2}\theta -1\right\rangle =\left(3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {r} }-1\right)\left(3\cos ^{2}\beta -1\right)\!,

где $θ$ — угол между главной осью взаимодействия и магнитным полем, $θr —$ угол оси вращения относительно магнитного поля, а $β$ — (произвольный) угол между осью вращения и главной осью магнитного поля. взаимодействие.

Для диполярных связей главная ось соответствует межъядерному вектору между связанными спинами; для CSA — направлению с наибольшей засветкой; для квадруполярной связи он соответствует $оси z$ тензора градиента электрического поля.

Уголом $β$ нельзя манипулировать, поскольку он зависит от ориентации взаимодействия относительно молекулярного каркаса и от ориентации молекулы относительно внешнего поля. угол $θr Однако$ может определить экспериментатор. Если положить $θ r = θ m \approx 54,7°$ , то средняя угловая зависимость обращается в нуль. Вращение под магическим углом - это метод ЯМР-спектроскопии твердого тела , который использует этот принцип для устранения или уменьшения влияния анизотропных взаимодействий, тем самым увеличивая спектральное разрешение.

Для нестационарного взаимодействия, т. е. гетероядерных диполярных связей, CSA и квадрупольных связей первого порядка, анизотропная составляющая сильно снижается и практически подавляется в пределе быстрого вращения, т. е. когда частота вращения больше ширины взаимодействия.

Усреднение близко к нулю только в рамках теории возмущений первого порядка ; Члены более высокого порядка вызывают появление разрешенных частот, кратных частоте вращения, создавая вращающиеся боковые полосы в спектрах.

Зависящие от времени взаимодействия, такие как гомоядерные диполярные связи, сложнее усреднить до их изотропных значений с помощью вращения под магическим углом; сеть сильно связанных спинов будет вызывать смешивание спиновых состояний в ходе вращения образца, мешая процессу усреднения.

магический угол » Применение к медицинской визуализации: артефакт «

Артефакт магического угла относится к усилению сигнала, наблюдаемому, когда последовательности МРТ с коротким временем эхо-сигнала (TE) (например, $T 1$ или последовательности спин-эхо протонной плотности) используются для изображения тканей с хорошо упорядоченными коллагеновыми волокнами в одном направлении (например, сухожилие или суставной гиалиновый хрящ). ^[1] Этот артефакт возникает, когда угол между такими волокнами и магнитным полем равен $θ m$ .

Пример: этот артефакт проявляется при оценке сухожилий вращательной манжеты плеча. Эффект магического угла может создать видимость тендинита надостной мышцы .

Армированная резина [ править ]

Для достижения оптимальной нагрузки в прямом резиновом шланге волокна должны быть расположены под углом примерно 54,7 угловых градусов, также называемым магическим углом. Магический угол 54,7 точно уравновешивает продольное напряжение, вызванное внутренним давлением, и кольцевое (окружное) напряжение.

Ссылки [ править ]

^ Биддер, М.; Рахал, А.; Фуллертон, Г.; Биддер, Г. (2007). «Эффект магического угла: источник артефактов, определяющий контраст изображения и техника получения изображений» . Журнал магнитно-резонансной томографии . 25 (2): 290–300. дои : 10.1002/jmri.20850 . ПМИД 17260400 . S2CID 6464946 .

[1] Биддер, М.; Рахал, А.; Фуллертон, Г.; Биддер, Г. (2007). «Эффект магического угла: источник артефактов, определяющий контраст изображения и техника получения изображений» . Журнал магнитно-резонансной томографии . 25 (2): 290–300. дои : 10.1002/jmri.20850 . ПМИД 17260400 . S2CID 6464946 .

[1]