Обратная константа Фибоначчи

Обратная константа Фибоначчи , или ψ , определяется как сумма обратных Фибоначчи чисел :

$\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .$

Отношение последовательных членов этой суммы стремится к величине, обратной золотому сечению . Поскольку это число меньше 1, проверка отношения показывает, что сумма сходится .

значение ψ Известно, что приблизительно равно

$\psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots$ (последовательность A079586 в OEIS ).

Госпер описывает алгоритм быстрой численной аппроксимации его значения. Обратный ряд Фибоначчи сам по себе обеспечивает O( k ) цифр точности для k Госпера членов разложения, тогда как ускоренный ряд обеспечивает O( k) ² ) цифры. ψ , как известно, иррационально ; это свойство было высказано Полом Эрдешем , Рональдом Грэмом и Леонардом Карлитцем и доказано в 1989 году Ришаром Андре-Жанненом .

: цепной дроби Представление константы в виде

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,$ (последовательность A079587 в OEIS ).

См. также

• Список сумм обратных величин

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Взаимная константа Фибоначчи» . Математический мир .