Ренормгруппа

В теоретической физике термин ренормгруппа ( РГ ) относится к формальному аппарату, который позволяет систематически исследовать изменения физической системы, рассматриваемые в различных масштабах . В физике элементарных частиц это отражает изменения в основных законах силы (кодифицированных в квантовой теории поля ), поскольку масштаб энергии, на котором происходят физические процессы, меняется, причем шкалы энергии/импульса и разрешающего расстояния эффективно сопряжены в соответствии с принципом неопределенности .

Изменение масштаба называется масштабным преобразованием . Ренормгруппа тесно связана с масштабной инвариантностью и конформной инвариантностью — симметрией, при которой система выглядит одинаковой во всех масштабах ( самоподобие ).

Поскольку масштаб меняется, это похоже на изменение силы увеличения воображаемого микроскопа, рассматривающего систему. В так называемых перенормируемых теориях система одного масштаба обычно состоит из самоподобных копий самой себя, если рассматривать ее в меньшем масштабе, с разными параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты или фундаментальные переменные могут относиться к атомам, элементарным частицам, атомным спинам и т. д. Параметры теории обычно описывают взаимодействия компонентов. Это могут быть переменные муфты , измеряющие силу различных сил, или сами массовые параметры. Сами компоненты могут оказаться состоящими из большего количества одних и тех же компонентов при движении на более короткие расстояния.

Например, в квантовой электродинамике (КЭД) электрон кажется состоящим из электронных и позитронных пар и фотонов, если рассматривать его с более высоким разрешением и на очень коротких расстояниях. Электрон на таких коротких расстояниях имеет несколько иной электрический заряд, чем одетый электрон, видимый на больших расстояниях, и это изменение, или бег , значения электрического заряда определяется уравнением ренормгруппы.

История

Идея масштабных преобразований и масштабной инвариантности стара в физике: аргументы о масштабировании были обычным явлением для школы Пифагора , Евклида и вплоть до Галилея . Они снова стали популярными в конце 19-го века, возможно, первым примером стала идея повышенной вязкости Осборна Рейнольдса как способа объяснения турбулентности.

Ренормгруппа изначально была разработана в физике элементарных частиц, но в настоящее время ее приложения распространяются на физику твердого тела , механику жидкости , физическую космологию и даже нанотехнологии . Ранняя статья Эрнст Штюкельберг и Андре Петерманн в 1953 году предвосхитили эту идею в квантовой теории поля . Штюкельберг и Петерманн концептуально открыли эту область. Они отметили, что перенормировка представляет собой группу преобразований, которые переводят величины из простых членов в противоположные. функцию h ( e Они ввели в квантовую электродинамику (КЭД) ) , которую теперь называют бета-функцией (см. ниже).

Начало

Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу ограничили идею масштабными преобразованиями в КЭД в 1954 году: которые являются наиболее физически значимыми и сосредоточены на асимптотических формах распространителя фотонов при высоких энергиях. Они определили изменение электромагнитной связи в КЭД, осознав простоту масштабной структуры этой теории. Таким образом, они обнаружили, что параметр связи g ( µ ) на энергетическом масштабе µ эффективно задается групповым уравнением (одномерного перевода)

$g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

или эквивалентно, $G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}$, для некоторой функции G (неуказанной - в настоящее время называемой масштабирующей функцией Вегнера ) и константы d в терминах связи g(M) в эталонном масштабе M .

В этих результатах Гелл-Манн и Лоу поняли, что эффективный масштаб может быть произвольно принят как ц и может варьироваться для определения теории в любом другом масштабе:

$g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

Суть РГ заключается в этом групповом свойстве: при изменении масштаба ц теория представляет собой самоподобную копию, и к любому масштабу можно получить доступ аналогичным образом из любого другого масштаба посредством группового действия, формального транзитивного сопряжения связей. в математическом смысле ( уравнение Шрёдера ).

На основе этого (конечного) группового уравнения и его свойства масштабирования Гелл-Манн и Лоу затем могли сосредоточиться на бесконечно малых преобразованиях и изобрели вычислительный метод, основанный на математической функции потока ψ ( g ) = G d /(∂ G / ∂ g ) параметра связи g введенного ими . Подобно функции h ( e ) Штюкельберга и Петермана, их функция определяет дифференциальное изменение связи g ( μ ) по отношению к небольшому изменению масштаба энергии μ посредством дифференциального уравнения, уравнения ренормализационной группы :

$\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)$

Также указано современное название — бета-функция , введенная Ч. Калланом и К. Симанзиком в 1970 году. Поскольку это простая функция от g , интеграция в g ее пертурбативной оценки позволяет указать траекторию перенормировки связи, то есть ее изменение с энергией, что фактически является функцией G в этом пертурбативном приближении. Предсказание ренормгруппы (ср. работы Штюкельберга-Петермана и Гелла-Манна-Лоу) было подтверждено 40 лет спустя в экспериментах на ускорителе LEP : была измерена «константа» тонкой структуры КЭД. быть о 1 ⁄ 127 при энергиях, близких к 200 ГэВ, в отличие от стандартного значения физики низких энергий 1 ⁄ 137  .

Более глубокое понимание

Ренормгруппа возникает в результате перенормировки переменных квантового поля, которая обычно решает проблему бесконечностей в квантовой теории поля. Эта проблема систематического обращения с бесконечностями квантовой теории поля для получения конечных физических величин была решена для КЭД Ричардом Фейнманом , Джулианом Швингером и Шиничиро Томонагой , получившими Нобелевскую премию 1965 года за этот вклад. Они эффективно разработали теорию перенормировки массы и заряда, в которой бесконечность в шкале импульса отсекается сверхбольшим регулятором Λ.

Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электрона, от масштаба Λ скрыта, эффективно заменена на более дальние масштабы, на которых измеряются физические величины, и в результате все наблюдаемые величины оказываются вместо этого конечный, даже для бесконечного Λ. Таким образом, Гелл-Манн и Лоу в этих результатах поняли, что в бесконечно малых величинах, хотя крошечное изменение g обеспечивается приведенным выше уравнением РГ при условии ψ( g ), самоподобие выражается в том факте, что ψ( g ) зависит явно только от параметра(ов) теории, а не от масштаба µ . Следовательно, приведенное выше уравнение ренормгруппы может быть решено относительно ( G и, следовательно,) g ( µ ).

Для более глубокого понимания физического смысла и обобщения процесса перенормировки, выходящего за рамки группы дилатации традиционных перенормируемых теорий, рассматриваются методы, в которых одновременно появляются совершенно разные масштабы длин. Оно пришло из физики конденсированного состояния : в статье Лео П. Каданова в 1966 году была предложена ренормгруппа «блок-спин». «Идея блокировки» — это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупности компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку и получил полное вычислительное содержание в обширных важных вкладах Кеннета Уилсона . Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итерационным перенормировочным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1975 году: а также предыдущие плодотворные разработки его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений в 1971 году. За этот решающий вклад в 1982 году он был удостоен Нобелевской премии.

Реформулировка

Между тем, РГ в физике элементарных частиц была переформулирована в более практических терминах Калланом и Симанзиком в 1970 году. Было также обнаружено, что указанная выше бета-функция, которая описывает изменение параметра «связи» с масштабом, представляет собой «аномалию канонического следа», которая представляет собой квантовомеханическое нарушение симметрии масштаба (расширения) в теории поля. Число применений РГ к физике элементарных частиц резко возросло в 1970-х годах с созданием Стандартной модели .

В 1973 году было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных кварков, названная квантовой хромодинамикой , имеет отрицательную бета-функцию. Это означает, что начальное высокоэнергетическое значение связи приведет к особому значению ц, при котором связь разрушается (расширяется). Это особое значение представляет собой масштаб сильных взаимодействий , µ = Λ _КХД , и происходит при энергии около 200 МэВ. И наоборот, связь становится слабой при очень высоких энергиях ( асимптотическая свобода ), и кварки становятся наблюдаемыми как точечные частицы в глубоко неупругом рассеянии , как и предвидится масштабированием Фейнмана-Бьёркена. Таким образом, КХД была признана квантовой теорией поля, управляющей сильными взаимодействиями частиц.

Импульсное пространство РГ также стало высокоразвитым инструментом в физике твердого тела, но ему мешало широкое использование теории возмущений, которое не позволяло этой теории добиться успеха в сильно коррелированных системах.

Конформная симметрия

Конформная симметрия связана с исчезновением бета-функции. Это может произойти естественным образом, если константа связи притягивается, бегая, к фиксированной точке , в которой β ( g ) = 0. В КХД фиксированная точка возникает на коротких расстояниях, где g → 0, и называется ( тривиальной ) фиксированной ультрафиолетовой точкой. точка . Для тяжелых кварков, таких как топ-кварк дающим массу , связь с бозоном Хиггса, , направлена ​​к фиксированной ненулевой (нетривиальной) фиксированной точке в инфракрасном диапазоне , впервые предсказанной Пендлтоном и Россом (1981): и CT Hill . Связь топ-кварка Юкавы находится немного ниже фиксированной инфракрасной точки Стандартной модели, что предполагает возможность дополнительной новой физики, такой как последовательные тяжелые бозоны Хиггса.

В теории струн конформная инвариантность мирового листа струн является фундаментальной симметрией: β = 0 является требованием. Здесь β — функция геометрии пространства-времени, в котором движется струна. Это определяет размерность пространства-времени теории струн и применяет уравнения общей теории относительности Эйнштейна к геометрии. РГ имеет фундаментальное значение для теории струн и теорий великого объединения .

Это также современная ключевая идея, лежащая в основе критических явлений в физике конденсированного состояния. Действительно, РГ стала одним из важнейших инструментов современной физики. Его часто используют в сочетании с методом Монте-Карло .

Блок вращения

В этом разделе представлена ​​педагогическая картина РГ, которую, возможно, легче всего понять: РГ со вращением блока, разработанная Лео П. Кадановым в 1966 году.

Рассмотрим двумерное твердое тело — набор атомов в идеальном квадратном массиве, как показано на рисунке.

что атомы взаимодействуют между собой только со своими ближайшими соседями и что система находится при заданной температуре Т. Предположим , Сила их взаимодействия количественно определяется связью J. определенной Физика системы будет описываться некоторой формулой, скажем, гамильтонианом H ( T , J ) .

Теперь приступайте к разделению твердого тела на блоки квадратов 2×2; мы пытаемся описать систему в терминах блочных переменных , т. е. переменных, которые описывают среднее поведение блока. Далее предположим, что по какому-то счастливому совпадению физика блочных переменных описывается однотипной формулой , но с разными значениями T и J : H ( T ′ , J ′ ) . (В целом это не совсем так, но зачастую это хорошее первое приближение.)

Возможно, первоначальную задачу было слишком сложно решить, поскольку атомов было слишком много. Теперь в перенормированной задаче их осталось только четверть. Но зачем останавливаться сейчас? Другая итерация того же типа приводит к H ( T" , J" ) и только одной шестнадцатой части атомов. Мы увеличиваем масштаб наблюдения с каждым шагом РГ.

Конечно, лучшая идея — повторять до тех пор, пока не останется только один очень большой блок. Поскольку количество атомов в любом реальном образце материала очень велико, это более или менее эквивалентно обнаружению долгосрочного поведения RG-преобразования, которое принимало ( T , J ) → ( T ′ , J ′ ) и ( T ′ , J ′ ) → ( Т" , J" ) . Часто при многократной итерации это РГ-преобразование приводит к определенному количеству фиксированных точек .

Чтобы быть более конкретным, рассмотрим магнитную систему (например, модель Изинга ), в которой J- связь обозначает тенденцию соседних спинов быть параллельными. Конфигурация системы является результатом компромисса между упорядочивающим J -членом и разупорядочивающим эффектом температуры.

У многих моделей такого рода есть три фиксированные точки:

1. Т знак равно 0 и J → ∞ . Это означает, что при наибольшем размере температура становится несущественной, т. е. фактор разупорядочения исчезает. Таким образом, в больших масштабах система выглядит упорядоченной. Мы находимся в ферромагнитной фазе.
2. Т → ∞ и J → 0 . Совершенно наоборот; здесь доминирует температура и на больших масштабах система неупорядочена.
3. Нетривиальная точка между ними T = T _c и ​​J = J _c . В этом случае изменение масштаба не меняет физику, поскольку система находится во фрактальном состоянии. Она соответствует Кюри фазовому переходу и называется также критической точкой .

Итак, если нам дан определенный материал с заданными значениями T и J , все, что нам нужно сделать, чтобы выяснить крупномасштабное поведение системы, — это перебрать пару, пока мы не найдем соответствующую фиксированную точку.

Элементарная теория

Говоря более техническим языком, давайте предположим, что у нас есть теория, описываемая определенной функцией $Z$ состояния переменных $\{s_{i}\}$ и некоторый набор констант связи $\{J_{k}\}$. Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. д. Она должна содержать все описание физики системы.

Теперь рассмотрим некое блочное преобразование переменных состояния $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$, количество ${\tilde {s}}_{i}$ должно быть меньше, чем количество $s_{i}$. Теперь попробуем переписать $Z$ функционировать только с точки зрения ${\tilde {s}}_{i}$. Если это достижимо определенным изменением параметров, $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$, то теория называется перенормируемой .

Большинство фундаментальных теорий физики, таких как квантовая электродинамика , квантовая хромодинамика и электрослабое взаимодействие, но не гравитация, точно перенормируемы. Кроме того, большинство теорий физики конденсированного состояния приблизительно перенормируемы: от сверхпроводимости до турбулентности жидкости.

Изменение параметров реализуется некой бета-функцией: $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$, который, как говорят, индуцирует поток ренормгруппы (или поток РГ ) на $J$-космос. Значения $J$ под потоком называются ходовыми муфтами .

Как было сказано в предыдущем разделе, наиболее важной информацией в потоке РГ являются его неподвижные точки . Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором фиксированных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность , обладая так называемым полюсом Ландау , как в квантовой электродинамике. Для φ ⁴ взаимодействия Майкл Айзенман доказал, что эта теория действительно тривиальна для размерности пространства-времени D ≥ 5. Для D = 4 тривиальность еще предстоит строго доказать, но расчеты на решетке предоставили убедительные доказательства этого. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже прогнозирования таких параметров, как масса бозона Хиггса, в асимптотических сценариях безопасности. Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом.

Поскольку преобразования РГ в таких системах выполняются с потерями (т. е. количество переменных уменьшается — см. пример в другом контексте « Сжатие данных с потерями »), для данного преобразования РГ не обязательно должно быть обратное преобразование. Таким образом, в таких системах с потерями ренормгруппа фактически является полугруппой , поскольку из-за потерь следует, что для каждого элемента не существует уникального обратного.

Соответствующие и нерелевантные операторы и классы универсальности

См. также: Класс универсальности , Опасно нерелевантный оператор , Фазовый переход § Критические показатели и классы универсальности и Масштабная инвариантность § Описание CFT.

Рассмотрим некоторую наблюдаемую A физической системы, претерпевающей РГ-преобразование. Величина наблюдаемой по мере того, как масштаб системы меняется от малого к большому, определяет важность наблюдаемой(ых) для закона масштабирования:

Если его величина ...	тогда наблюдаемое ...
всегда увеличивается	соответствующий
всегда уменьшается	не имеющий отношения
другой	маргинальный

наблюдаемая соответствующая Для описания макроскопического поведения системы необходима ; нерелевантные наблюдаемые не нужны. Маргинальные наблюдаемые величины могут приниматься во внимание, а могут и не приниматься во внимание. Примечательным общим фактом является то, что большинство наблюдаемых не имеют значения , т. е. в макроскопической физике в большинстве систем доминируют лишь несколько наблюдаемых .

Например, в микроскопической физике для описания системы, состоящей из моля атомов углерода-12, нам необходимо порядка 10 ²³ ( число Авогадро ), а для описания ее как макроскопической системы (12 граммов углерода-12) нам достаточно лишь нескольких.

До появления РГ-подхода Вильсона существовал удивительный эмпирический факт, который нужно было объяснить: совпадение критических показателей (т. е. показателей зависимости нескольких величин от приведенной температуры вблизи фазового перехода второго рода ) в очень разрозненных явлениях, таких как магнитные системы. , сверхтекучий переход ( лямбда-переход ), физика сплавов и т. д. Таким образом, в целом термодинамические характеристики системы вблизи фазового перехода зависят только от небольшого числа переменных , таких как размерность и симметрия, но нечувствительны к деталям лежащих в основе микроскопические свойства системы.

Это совпадение критических показателей для якобы совершенно разных физических систем, называемое универсальностью , легко объясняется с помощью ренормгруппы, демонстрируя, что различия в явлениях между отдельными мелкомасштабными компонентами определяются нерелевантными наблюдаемыми , в то время как соответствующие наблюдаемые являются общими для всех. общий. Следовательно, многие макроскопические явления могут быть сгруппированы в небольшой набор классов универсальности , определяемых общими наборами соответствующих наблюдаемых.

Импульсное пространство

На практике ренормгруппы бывают двух основных «разновидностей». Представленная выше картина Каданова относится главным образом к так называемой РГ реального пространства .

РГ-импульс-пространство С другой стороны, имеет более длительную историю, несмотря на свою относительную тонкость. Его можно использовать для систем, в которых степени свободы можно выразить через моды Фурье данного поля. Преобразование РГ происходит путем интегрирования определенного набора мод с большим импульсом (большим волновым числом). Поскольку большие волновые числа связаны с масштабами малой длины, РГ в импульсном пространстве приводит к по существу аналогичному эффекту грубой обработки, что и в РГ в реальном пространстве.

РГ в импульсном пространстве обычно выполняется на основе разложения по возмущениям . Справедливость такого расширения основана на том, что реальная физика системы близка к физике системы в свободном поле . В этом случае можно вычислить наблюдаемые, суммируя главные члены разложения. Этот подход оказался успешным для многих теорий, включая большую часть физики элементарных частиц, но терпел неудачу для систем, физика которых очень далека от какой-либо свободной системы, т. е. систем с сильными корреляциями.

В качестве примера физического значения РГ в физике элементарных частиц рассмотрим обзор перенормировки заряда в квантовой электродинамике (КЭД). Предположим, у нас есть точечный положительный заряд определенной истинной (или голой ) величины. Электромагнитное поле вокруг него имеет определенную энергию и, таким образом, может создавать несколько виртуальных электрон-позитронных пар (например). Хотя виртуальные частицы аннигилируют очень быстро, за время их короткой жизни электрон будет притягиваться зарядом, а позитрон – отталкиваться. Поскольку это происходит равномерно всюду вблизи точечного заряда, где его электрическое поле достаточно сильное, эти пары эффективно создают экран вокруг заряда, если смотреть издалека. Измеренная сила заряда будет зависеть от того, насколько близко наш измерительный зонд сможет приблизиться к точечному заряду, обходя тем большую часть экрана виртуальных частиц, чем ближе он подходит. Отсюда зависимость некоторой константы связи (здесь электрического заряда) от масштаба расстояния .

Масштабы импульса и длины обратно связаны в соответствии с соотношением де Бройля : чем выше масштаб энергии или импульса, которого мы можем достичь, тем меньше масштаба длины мы можем исследовать и решить. Поэтому практики РГ в импульсно-пространственном пространстве иногда заявляют, что интегрируют высокие импульсы или высокую энергию из своих теорий.

Точные уравнения ренормгруппы

Точное уравнение ренормгруппы ( ERGE ) — это уравнение, которое учитывает нерелевантные связи. Существует несколько формулировок.

Wilson ERGE является самым простым концептуально, но его практически невозможно реализовать. Преобразование Фурье в пространство импульсов после вращения Вика в евклидово пространство . Настаивайте на жестком ограничении импульса , p ² ≤ Л ² так что единственными степенями свободы являются степени свободы с импульсом меньше Λ . Функция разделения ​

$Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

Для любого положительного Λ' меньше Λ определите S _Λ' (функционал над конфигурациями поля φ, преобразование Фурье которого имеет поддержку импульса в пределах p ² ≤ L' ² ) как

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

Если S _Λ зависит только от φ , а не от производных φ , это можно переписать как

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],$

из которого становится ясно, что, поскольку только функции φ с носителем между Λ' и Λ интегрируются , левая часть все еще может зависеть от φ с носителем вне этого диапазона. Очевидно,

$Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].$

На самом деле это преобразование транзитивно . Если вы вычислите S _{Λ ′} из S _Λ а затем вычислите S _{Λ ′ ′} из S _{Λ ′ ,} , это даст вам то же вильсоновское действие, что и вычисление S _Λ″ непосредственно из S _Λ .

Polchinski ERGE включает в себя плавное УФ -регулятора отключение . По сути, идея является улучшением по сравнению с Wilson ERGE. Вместо резкого ограничения импульса используется плавное ограничение. По сути, мы сильно подавляем вклады от импульсов, превышающих Λ . Однако гладкость обрезания позволяет вывести функционально- дифференциальное уравнение в масштабе обрезания Λ . Как и в подходе Вильсона, у нас есть разные функционалы действия для каждого масштаба энергии обрезания Λ . Предполагается, что каждое из этих действий описывает одну и ту же модель, а это означает, что их функции разделения должны точно совпадать.

Другими словами (для реального скалярного поля; обобщения на другие поля очевидны):

$Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)$

и Z _Λ действительно не зависит от Λ ! Здесь мы использовали сокращенную нотацию ДеВитта . Мы также разделили простое действие S _Λ на квадратичную кинетическую часть и взаимодействующую часть S _{int Λ} . Этот раскол определенно не является чистым. «Взаимодействующая» часть вполне может содержать и квадратичные кинетические члены. Фактически, если и произойдет какая-либо перенормировка волновой функции , то она наверняка произойдет. Это можно несколько уменьшить, введя масштабирование полей. R _Λ является функцией импульса p, а второй член показателя степени равен

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)$

при расширении.

Когда $p\ll \Lambda$, р _Λ ( п )/ п ² по существу равно 1. Когда $p\gg \Lambda$, р _Λ ( п )/ п ² становится очень-очень огромным и приближается к бесконечности. р _Λ ( п )/ п ² всегда больше или равно 1 и является гладким. По сути, это оставляет флуктуации с импульсами меньшими, чем обрезание Λ, не затрагиваемыми, но сильно подавляет вклады от флуктуаций с импульсами, большими, чем обрезание. Это, очевидно, огромное улучшение по сравнению с Уилсоном.

Условие, которое

${\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0$

может быть удовлетворено (но не только)

${\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].$

Жак Дистлер без доказательств утверждал, что этот ERGE неверен с точки зрения непертурбативности .

Эффективное среднее действие ERGE предполагает плавное отключение ИК-регулятора. Идея состоит в том, чтобы принять во внимание все колебания вплоть до ИК-масштаба k . Эффективное среднее действие будет точным для колебаний с импульсом больше k . параметра k При уменьшении эффективное среднее действие приближается к эффективному действию , включающему все квантовые и классические флуктуации. Напротив, при больших k эффективное среднее действие близко к «голому действию». Таким образом, эффективное среднее действие интерполируется между «голым действием» и эффективным действием .

Для реального скалярного поля добавляется ИК-ограничение.

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)$

действию от S , где R _k — функция как от k, так и p такая, что для $p\gg k$, R _k (p) очень мал и приближается к 0, а для $p\ll k$, $R_{k}(p)\gtrsim k^{2}$. R _k является одновременно гладким и неотрицательным. Его большое значение для малых импульсов приводит к подавлению их вклада в статистическую сумму, что фактически равносильно пренебрежению крупномасштабными флуктуациями.

Можно использовать сокращенную запись ДеВитта.

${\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi$

для этого IR регулятора.

Так,

$\exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)$

где J — исходное поле . Преобразование Лежандра Wk _обычно дает эффективное действие . Однако действие, с которого мы начали, на самом деле равно S[φ]+1/2 φ⋅R _k ⋅φ, и поэтому, чтобы получить эффективное среднее действие, мы вычитаем 1/2 φ⋅R _k ⋅φ. Другими словами,

$\phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]$

можно инвертировать, чтобы получить J _k [φ], и мы определяем эффективное среднее действие Γ _k как

$\Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .$

Следовательно,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}$

таким образом

${\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]$

— это ERGE, также известное как уравнение Веттериха . Как показал Моррис, эффективное действие Γ _k на самом деле просто связано с эффективным действием Полчинского S _int посредством соотношения преобразования Лежандра.

Поскольку существует бесконечно много вариантов R _k , существует также бесконечно много различных интерполирующих ERGE.Обобщение на другие поля, такие как спинорные поля, несложно.

Хотя ERGE Полчинского и ERGE эффективного среднего действия выглядят одинаково, они основаны на совершенно разных философских подходах. В эффективном среднем действии ERGE основное действие остается неизменным (и шкала отсечки УФ-излучения, если она есть, также остается неизменной), но ИК-вклады в эффективное действие подавляются, тогда как в ERGE Полчинского QFT фиксирован. раз и навсегда, но «голое действие» варьируется в разных энергетических масштабах, чтобы воспроизвести заранее заданную модель. Версия Полчинского, безусловно, по духу гораздо ближе к идее Вильсона. Обратите внимание, что один использует «простые действия», тогда как другой использует эффективные (средние) действия.

Ренормгрупповое улучшение эффективного потенциала

Ренормгруппу также можно использовать для расчета эффективных потенциалов порядков выше 1-петлевого. Такой подход особенно интересен для расчета поправок к формуле Коулмана–Вайнберга. механизм. Для этого необходимо записать уравнение ренормгруппы через эффективный потенциал. К делу $\phi ^{4}$ модель:

$\left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.$

Для определения эффективного потенциала полезно написать $V_{\text{eff}}$ как

$V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},$

где $S_{\text{eff}}$ является степенным рядом в $L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}$:

$S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .$

Используя приведенный выше анзац , можно решить уравнение ренормгруппы пертурбативно и найти эффективный потенциал до желаемого порядка. Педагогическое объяснение этой методики приведено в ссылке.

См. также

• Квантовая тривиальность
• Масштабная инвариантность
• Уравнение Шредера
• Регуляризация (физика)
• Группа ренормализации матрицы плотности
• Группа функциональной ренормализации
• Критические явления
• Универсальность (динамические системы)
• C-теорема
• История квантовой теории поля
• Топ-кварк
• Асимптотическая безопасность

Ссылки

Исторические ссылки

• Фишер, Майкл (1974). «Ренормгруппа в теории критического поведения». Преподобный Мод. Физ . 46 (4): 597. Бибкод : 1974РвМП...46..597Ф . дои : 10.1103/RevModPhys.46.597 .

Педагогические и исторические обзоры

• Уайт, СР (1992). «Формулировка матрицы плотности для квантовых ренормгрупп». Физ. Преподобный Летт . 69 (19): 2863–2866. Бибкод : 1992PhRvL..69.2863W . дои : 10.1103/PhysRevLett.69.2863 . ПМИД   10046608 . Самый успешный вариационный метод РГ.
• Голденфельд, Н. (1993). Лекции по фазовым переходам и ренормгруппе . Аддисон-Уэсли.
• Ширков, Дмитрий В. (1999). «Эволюция ренормгруппы Боголюбова». arXiv : hep-th/9909024 . Бибкод : 1999hep.th....9024S . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) Математическое введение и исторический обзор с упором на теорию групп и ее применение в физике высоких энергий.
• Деламотт, Б. (февраль 2004 г.). «Намек на перенормировку» . Американский журнал физики . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th/0212049 . Бибкод : 2004AmJPh..72..170D . дои : 10.1119/1.1624112 . S2CID   2506712 . Пешеходное введение в перенормировку и ренормгруппу.
• Марис, HJ; Каданов, LP (июнь 1978 г.). «Обучение ренормгруппе». Американский журнал физики . 46 (6): 652–657. Бибкод : 1978AmJPh..46..652M . дои : 10.1119/1.11224 . S2CID   123119591 . Пешеходное введение в ренормгруппу, применяемую в физике конденсированного состояния.
• Хуанг, К. (2013). «Критическая история перенормировки». Международный журнал современной физики А. 28 (29): 1330050. arXiv : 1310.5533 . Бибкод : 2013IJMPA..2830050H . дои : 10.1142/S0217751X13300500 .
• Ширков Д.В. (31 августа 2001 г.). «Пятьдесят лет ренормгруппы» . ЦЕРН Курьер . Проверено 12 ноября 2008 г.
• Багнулс, К.; Бервилье, К. (2001). «Точные уравнения ренормгруппы: вводный обзор». Отчеты по физике . 348 (1–2): 91–157. arXiv : hep-th/0002034 . Бибкод : 2001PhR...348...91B . дои : 10.1016/S0370-1573(00)00137-X . S2CID   18274894 .

Книги

• ТД Ли ; Физика элементарных частиц и введение в теорию поля , академическое издательство Харвуда, 1981, ISBN   3-7186-0033-1 . Содержит краткое, простое и четкое изложение групповой структуры, в открытии которой он также принимал участие, как это признается в статье Гелл-Манна и Лоу.
• Л. Ц. Аджемян, Н.В. Антонов и А.Н. Васильев; Группа теоретико-полевой перенормировки в полностью развитой турбулентности ; Гордон и Брич, 1999. ISBN   90-5699-145-0 .
• Васильев А.Н.; Теоретико-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике ; Чепмен и Холл/CRC, 2004. ISBN   9780415310024 (Автономное рассмотрение приложений ренормгруппы с полными вычислениями);
• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Clarendon Press (2002), ISBN   0-19-850923-5 (исключительно основательный и подробный трактат по обеим темам);
• Зинн-Жюстин, Жан : Перенормировка и ренормировочная группа: От открытия УФ-расходимостей к концепции эффективных теорий поля , в: де Витт-Моретт К., Зубер Ж.-Б. (ред.), Труды НАТО ASI по квантовой теории поля: перспектива и перспектива , 15–26 июня 1998 г., Лез Уш, Франция, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN]. Полный текст доступен в PostScript .
• Кляйнерт Х. и Шульте Фролинде В.; Критические свойства φ ⁴ -Теории , World Scientific (Сингапур, 2001 г.) ; Мягкая обложка ISBN   981-02-4658-7 . Полный текст доступен в формате PDF .