Группа ренормализации матрицы плотности

Ренормгруппа матрицы плотности ( DMRG ) — это численный вариационный метод, разработанный для получения низкоэнергетической физики квантовых систем многих тел с высокой точностью. В качестве вариационного метода DMRG представляет собой эффективный алгоритм, который пытается найти волновую функцию состояния матричного произведения гамильтониана с наименьшей энергией. Он был изобретен в 1992 году Стивеном Р. Уайтом и на сегодняшний день является наиболее эффективным методом для одномерных систем. ^[1]

История

Первым применением DMRG Стивеном Р. Уайтом и Рейнхардом Ноаком была игрушечная модель : найти спектр частицы со спином 0 в одномерном ящике. ^{[ когда? ]} Эта модель была предложена Кеннетом Г. Уилсоном в качестве проверки любого нового метода ренормгруппы , поскольку все они не смогли решить эту простую задачу. ^{[ когда? ]} DMRG преодолела проблемы предыдущих методов ренормгруппы , соединив два блока с двумя узлами посередине, а не просто добавляя один узел к блоку на каждом этапе, а также используя матрицу плотности для определения наиболее важных состояний, которые необходимо сохраняется в конце каждого шага. После успеха с игрушечной моделью метод DMRG был успешно опробован на квантовой модели Гейзенберга .

Принцип

Основная проблема квантовой физики многих тел заключается в том, что гильбертово пространство растет экспоненциально с размером. Другими словами, если рассматривать решетку с некоторым гильбертовым пространством размерности $d$ на каждом узле решетки, то полное гильбертово пространство будет иметь размерность $d^{N}$ , где $N$ — количество узлов на решетке. Например, цепочка спина 1/2 длины L имеет 2 ^л степени свободы. DMRG — это итерационный вариационный метод, который уменьшает эффективные степени свободы до тех, которые наиболее важны для целевого состояния. Состояние, которое чаще всего интересует, является основным состоянием .

После цикла прогрева ^{[ необходимо определение ]}, метод разбивает систему на две подсистемы или блоки, которые не обязательно должны иметь равные размеры, и два сайта между ними. набор представительных государств В ходе разминки в блок был выбран . Этот набор левых блоков + два сайта + правые блоки известен как суперблок . Теперь может быть найден кандидат на основное состояние суперблока, который представляет собой уменьшенную версию полной системы. Он может иметь довольно низкую точность, но метод является итеративным и улучшается с помощью следующих шагов.

Декомпозиция системы на левый и правый блоки по DMRG.

Найденное основное состояние-кандидат проецируется в гильбертово подпространство для каждого блока с использованием матрицы плотности , отсюда и название. Таким образом, соответствующие состояния для каждого блока обновляются. ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Теперь один из блоков растет за счет другого и процедура повторяется. Когда растущий блок достигает максимального размера, на его месте начинает расти другой. Каждый раз, когда мы возвращаемся к исходной ситуации (равные размеры), мы говорим, что очистка завершена. Обычно нескольких проходов достаточно, чтобы получить точность детали в 10 раз. ¹⁰ для 1D-решетки.

Руководство по внедрению

Практическая реализация алгоритма DMRG — длительная работа. ^{[ мнение ]}. Вот несколько основных вычислительных приемов:

Поскольку размер перенормированного гамильтониана обычно составляет порядка нескольких или десятков тысяч, а искомое собственное состояние является всего лишь основным состоянием, основное состояние для суперблока получается с помощью итерационного алгоритма, такого как Ланцоша алгоритм диагонализации матрицы . Другим выбором является метод Арнольди , особенно при работе с неэрмитовыми матрицами.
Алгоритм Ланцоша обычно начинается с наилучшего предположения решения. Если предположение недоступно, выбирается случайный вектор. В DMRG основное состояние, полученное на определенном шаге DMRG и преобразованное соответствующим образом, является разумным предположением и, таким образом, работает значительно лучше, чем случайный начальный вектор на следующем шаге DMRG.
В системах с симметрией мы могли бы сохранить квантовые числа, такие как полный спин в модели Гейзенберга. Основное состояние удобно находить внутри каждого из секторов, на которые разбито гильбертово пространство.

Приложения

DMRG успешно применялась для получения низкоэнергетических свойств спиновых цепочек: модель Изинга в поперечном поле, модель Гейзенберга и т. д., фермионные системы, такие как модель Хаббарда , проблемы с примесями, такие как эффект Кондо , бозонные системы, и физика квантовых точек, соединенных квантовыми проводами . Он также был расширен для работы с древовидными графами и нашел применение при изучении дендримеров . Для 2D-систем, у которых один из размеров намного больше другого, DMRG также является точным и оказался полезным при изучении лестниц.

Метод был расширен для изучения равновесной статистической физики в 2D и для анализа неравновесных явлений в 1D.

DMRG также применялась в области квантовой химии для изучения сильно коррелированных систем.

Пример: квантовая модель Гейзенберга.

Рассмотрим «бесконечный» алгоритм DMRG для $S=1$ антиферромагнитная квантовая цепочка Гейзенберга . Рецепт можно применить для любой трансляционно-инвариантной одномерной решетки .

DMRG — это метод ренормгруппы , поскольку он предлагает эффективное усечение гильбертова пространства одномерных квантовых систем.

Начальная точка

Имитировать бесконечную цепочку, начиная с четырех сайтов. Первый — это сайт блокировки , последний — сайт блокировки юниверса , а остальные — добавленные сайты , правый добавляется на сайт блокировки юниверса, а другой — на сайт блокировки.

Гильбертово пространство для одного сайта равно ${\mathfrak {H}}$ с базой $\{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}$ . С этой базой спиновые операторы имеют вид $S_{x}$ , $S_{y}$ и $S_{z}$ для одного сайта. Для каждого блока, двух блоков и двух сайтов, существует свое гильбертово пространство. ${\mathfrak {H}}_{b}$ , его база $\{|w_{i}\rangle \}$ ( $i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{b})$ ) и собственные операторы $O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}$ где

блокировать: ${\mathfrak {H}}_{B}$ , $\{|u_{i}\rangle \}$ , $H_{B}$ , $S_{x_{B}}$ , $S_{y_{B}}$ , $S_{z_{B}}$
левый сайт: ${\mathfrak {H}}_{l}$ , $\{|t_{i}\rangle \}$ , $S_{x_{l}}$ , $S_{y_{l}}$ , $S_{z_{l}}$
правый сайт: ${\mathfrak {H}}_{r}$ , $\{|s_{i}\rangle \}$ , $S_{x_{r}}$ , $S_{y_{r}}$ , $S_{z_{r}}$
вселенная: ${\mathfrak {H}}_{U}$ , $\{|r_{i}\rangle \}$ , $H_{U}$ , $S_{x_{U}}$ , $S_{y_{U}}$ , $S_{z_{U}}$

В начальной точке все четыре гильбертовых пространства эквивалентны ${\mathfrak {H}}$ , все спиновые операторы эквивалентны $S_{x}$ , $S_{y}$ и $S_{z}$ и $H_{B}=H_{U}=0$ . В следующих итерациях это справедливо только для левого и правого сайтов.

Шаг 1. Сформируйте матрицу Гамильтона для суперблока.

Ингредиентами являются четыре оператора блоков и четыре оператора блоков юниверса, которые на первой итерации $3\times 3$ матрицы , три оператора спина левой позиции и три оператора спина правой позиции, которые всегда $3\times 3$ матрицы. матрица гамильтонова суперблока ( Этими операторами формируется цепи), которая на первой итерации имеет всего четыре узла. В антиферромагнитной модели Гейзенберга S = 1 гамильтониан имеет вид:

$\mathbf {H} _{SB}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}$

Эти операторы живут в пространстве состояний суперблока: ${\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B}\otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}$ , база $\{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}$ . Например: (конвенция):

$|1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle$

$|0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle$

Гамильтониан в форме DMRG имеет вид (полагаем $J=-1$ ):

$\mathbf {H} _{SB}=\mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}$

Операторы $(d*3*3*d)\times (d*3*3*d)$ матрицы, $d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})$ , например:

$\langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle$

$\mathbf {S} _{x_{B}}\mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I}$

Шаг 2: Диагонализация гамильтониана суперблока

На этом этапе вы должны выбрать собственное состояние гамильтониана, для которого рассчитываются некоторые наблюдаемые , это целевое состояние . Вначале вы можете выбрать основное состояние и использовать какой-либо продвинутый алгоритм для его поиска, один из них описан в:

Итерационное вычисление нескольких наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов больших вещественно -симметричных матриц , Эрнест Р. Дэвидсон ; Журнал вычислительной физики 17, 87-94 (1975)

Этот шаг является самой трудоемкой частью алгоритма.

Если $|\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k},r_{w}\rangle$ является целевым состоянием, математическое ожидание различных операторов можно измерить на этом этапе с помощью $|\Psi \rangle$ .

Шаг 3: Уменьшите матрицу плотности

Сформируйте приведенную матрицу плотности $\rho$ для первых двух блочных систем, блочной и левоузловой. По определению это $(d*3)\times (d*3)$ матрица: $\rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}$

Диагонализировать $\rho$ и сформировать $m\times (d*3)$ матрица $T$ , какие строки являются $m$ собственные векторы, связанные с $m$ наибольшие собственные значения $e_{\alpha }$ из $\rho$ . Так $T$ формируется наиболее значимыми собственными состояниями приведенной матрицы плотности. Вы выбираете $m$ глядя на параметр $P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }$ : $1-P_{m}\cong 0$ .

Шаг 4. Новые операторы блока и блока юниверса.

Сформируйте $(d*3)\times (d*3)$ матричное представление операторов для системы, состоящей из блока и левого узла, а также для системы, состоящей из правого узла и юниверс-блока, например:

$H_{B-l}=H_{B}\otimes \mathbb {I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{l}}$

$S_{x_{B-l}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}$

$H_{r-U}=\mathbb {I} \otimes H_{U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{U}}$

$S_{x_{r-U}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I}$

Теперь сформируйте $m\times m$ матричные представления нового блока и операторы блока юниверса образуют новый блок путем изменения базиса при преобразовании $T$ , например: ${\begin{matrix}&H_{B}=TH_{B-l}T^{\dagger }&S_{x_{B}}=TS_{x_{B-l}}T^{\dagger }\end{matrix}}$ На этом итерация завершается и алгоритм возвращается к шагу 1.

Алгоритм успешно останавливается, когда наблюдаемая сходится к некоторому значению.

Матричный продуктовый подход

Успех DMRG для 1D-систем связан с тем, что это вариационный метод в пространстве состояний матричного продукта (MPS). Это состояния вида

|\Psi \rangle =\sum _{s_{1}\cdots s_{N}}\operatorname {Tr} (A^{s_{1}}\cdots A^{s_{N}})|s_{1}\cdots s_{N}\rangle

где $s_{1}\cdots s_{N}$ — значения, например, z -компоненты спина в спиновой цепочке, а A ^{и _я} являются матрицами произвольной размерности m . При m → ∞ представление становится точным. Эта теория была изложена С. Роммером и С. Остлундом в [1] .

В приложениях квантовой химии $s_{i}$ означает четыре возможности проекции спинового квантового числа двух электронов, которые могут занимать одну орбиталь, таким образом $s_{i}=|00\rangle ,|10\rangle ,|01\rangle ,|11\rangle$ , где первая (вторая) запись этих кетов соответствует электрону со спином вверх (вниз). В квантовой химии $A^{s_{1}}$ (для заданного $s_{i}$ ) и $A^{s_{N}}$ (для заданного $s_{N}$ ) традиционно выбираются в качестве матриц строк и столбцов соответственно. Таким образом, результат $A^{s_{1}}\ldots A^{s_{N}}$ является скалярным значением, и операция трассировки не требуется. $N$ — это количество сайтов (в основном орбиталей), используемых в моделировании.

Матрицы в анзаце MPS не уникальны, можно, например, вставить $B^{-1}B$ в середине $A^{s_{i}}A^{s_{i+1}}$ , затем определите ${\tilde {A}}^{s_{i}}=A^{s_{i}}B^{-1}$ и ${\tilde {A}}^{s_{i+1}}=BA^{s_{i+1}}$ , и состояние останется неизменным. Такая калибровочная свобода используется для приведения матриц к каноническому виду. Существуют три типа канонической формы: (1) левонормализованная форма, когда

\sum _{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }{\tilde {A}}^{s_{i}}=I

для всех $i$ , (2) правонормализованная форма, когда

\sum _{s_{i}}{\tilde {A}}^{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }=I

для всех $i$ и (3) смешанно-каноническая форма, когда среди $N$ матрицы в описанном выше подходе MPS .

Цель расчета DMRG состоит в том, чтобы найти элементы каждого из $A^{s_{i}}$ матрицы. Для этой цели были разработаны так называемые односайтовые и двухсайтовые алгоритмы. В односайтовом алгоритме одновременно решается только одна матрица (один сайт), элементы которой решаются. Двухсайтовая просто означает, что две матрицы сначала сжимаются (перемножаются) в одну, а затем решаются ее элементы. Двухсайтовый алгоритм предлагается потому, что односайтовый алгоритм гораздо более склонен к попаданию в ловушку локального минимума. Наличие MPS в одной из вышеупомянутых канонических форм имеет то преимущество, что делает вычисления более выгодными - это приводит к обычной проблеме собственных значений. Без канонизации мы будем иметь дело с обобщенной проблемой собственных значений.

Расширения

В 2004 году был разработан метод прореживания блоков с развитием во времени для реализации эволюции состояний матричных продуктов в реальном времени. Идея основана на классическом моделировании квантового компьютера . Впоследствии был разработан новый метод расчета эволюции в реальном времени в рамках формализма DMRG – см. статью А. Фейгина и С.Р. Уайта [2] .

В последние годы были выдвинуты некоторые предложения по расширению этого метода на 2D и 3D, расширяя определение состояний матричного продукта. См. эту статью Ф. Верстраете и И. Сирака , [3] .

Дальнейшее чтение

Оригинальная статья С.Р. Уайта, [4] или [5]
Учебник по DMRG и его происхождению: https://www.springer.com/gp/book/9783540661290
Широкий обзор Карен Холлберг ] [6 .
Два обзора Ульриха Шольвека, один обсуждает исходную формулировку [7] , а другой с точки зрения состояний матричного произведения [8]
Доктор философии. диссертация Хавьера Родригеса Лагуны [9] .
Введение в DMRG и его зависящее от времени расширение [10] .
Список электронных отпечатков DMRG на arxiv.org [11] .
Обзорная статья по DMRG для ab initio квантовой химии [12] .
Вводное видео о DMRG для ab initio квантовой химии [13] .

Уайт, Стивен Р.; Хьюз, Дэвид А. (1 августа 1993 г.). «Численное исследование ренормгруппой низколежащих собственных состояний антиферромагнитной цепочки Гейзенберга S = 1». Физический обзор B . 48 (6). Американское физическое общество (APS): 3844–3852. Бибкод : 1993PhRvB..48.3844W . дои : 10.1103/physrevb.48.3844 . ISSN 0163-1829 . PMID 10008834 .

Сопутствующее программное обеспечение

The Matrix Product Toolkit : бесплатный GPL набор инструментов для управления конечными и бесконечными состояниями матричных произведений, написанный на C++ [14].
Uni10 : библиотека, реализующая многочисленные алгоритмы тензорных сетей (DMRG, TEBD, MERA, PEPS...) на C++.
Powder with Power: бесплатное распространение зависящего от времени кода DMRG, написанного на Фортране [15]. Архивировано 4 декабря 2017 г. на Wayback Machine.
Проект ALPS: бесплатное распространение независимого от времени кода DMRG и квантовых кодов Монте-Карло, написанных на C++ [16]
DMRG++ : бесплатная реализация DMRG, написанная на C++ [17].
Библиотека ITensor C (Intelligent Tensor): бесплатная библиотека для выполнения вычислений DMRG на основе тензоров и матричных произведений, написанная на ++ [18]
OpenMPS : реализация DMRG с открытым исходным кодом, основанная на состояниях матричного продукта, написанная на Python/Fortran2003. [19]
Программа Snake DMRG: программа DMRG с открытым исходным кодом, tDMRG и DMRG с конечной температурой, написанная на C ++ [20]
CheMPS2 : спин-адаптированный код DMRG с открытым исходным кодом (GPL) для ab initio квантовой химии, написанный на C ++ [21]
Блок : структура DMRG с открытым исходным кодом для квантовой химии и модельных гамильтонианов. Поддерживает SU(2) и общие неабелевы симметрии. Написан на С++.
Блок 2 : эффективная параллельная реализация DMRG, динамической DMRG, tdDMRG и DMRG с конечной температурой для квантовой химии и моделей. Написан на Python / C++ .

См. также

Ссылки

^ Накатани, Наоки (2018), «Состояния продукта матрицы и алгоритм перенормировки группы матрицы плотности» , Справочный модуль по химии, молекулярным наукам и химической инженерии , Elsevier, doi : 10.1016/b978-0-12-409547-2.11473-8 , ISBN 978-0-12-409547-2 , получено 21 апреля 2021 г.

[1] Накатани, Наоки (2018), «Состояния продукта матрицы и алгоритм перенормировки группы матрицы плотности» , Справочный модуль по химии, молекулярным наукам и химической инженерии , Elsevier, doi : 10.1016/b978-0-12-409547-2.11473-8 , ISBN 978-0-12-409547-2 , получено 21 апреля 2021 г.

[1]