Состояние продукта матрицы

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц.

Состояние продукта матрицы ( MPS ) — это квантовое состояние множества частиц (в N узлах), записанное в следующей форме:

$|\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,$

где $A_{i}^{(s_{i})}$ являются комплексными квадратными матрицами порядка $\chi$ (это измерение называется локальным измерением). Индексы $s_{i}$ просмотреть состояния в вычислительной базе. Для кубитов это $s_{i}\in \{0,1\}$. Для кудитов (систем d-уровня) это $s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}$.

Это особенно полезно для работы с основными состояниями одномерных квантовых спиновых моделей (например, модель Гейзенберга (квантовая) ).Параметр $\chi$ связано с запутанностью частиц. В частности, если состояние является состоянием-продуктом (т.е. вообще не запутано), его можно описать как состояние матричного продукта с $\chi =1$.

Для состояний, которые трансляционно-симметричны, мы можем выбрать:

$A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.$

В общем случае любое состояние можно записать в форме MPS (с $\chi$ растет экспоненциально с увеличением числа частиц N ). Однако MPS практичны, когда $\chi$ мала – например, не зависит от числа частиц. За исключением небольшого числа конкретных случаев (некоторые из которых упомянуты в разделе « Примеры »), такое невозможно, хотя во многих случаях оно служит хорошим приближением.

Разложение MPS не уникально. Для ознакомления см. и. В контексте конечных автоматов см. Особое внимание, уделяемое графическому обоснованию тензорных сетей, см. во введении.

Получение МПС

Один из способов получить MPS-представление квантового состояния — использовать разложение Шмидта N - 1 раз. В качестве альтернативы, если известна квантовая схема , которая подготавливает состояние многих тел, можно сначала попытаться получить представление схемы в виде оператора матричного произведения. Локальными тензорами в операторе матричного произведения будут четыре индексных тензора. Локальный тензор MPS получается путем сжатия одного физического индекса локального тензора MPO с состоянием, которое вводится в квантовую схему в этом месте.

Примеры

Состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера

Гринбергера-Хорна-Цайлингера , которое для N частиц можно записать как суперпозицию N Состояние нулей и N единиц.

$|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}$

может быть выражено как состояние матричного продукта с точностью до нормализации, с

$A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},$

или, что то же самое, используя обозначения из:

$A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.$

В этой записи используются матрицы, элементы которых являются векторами состояния (вместо комплексных чисел), а при умножении матриц используется тензорное произведение для их записей (вместо произведения двух комплексных чисел). Такая матрица строится как

$A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.$

Обратите внимание, что тензорное произведение не является коммутативным .

В этом конкретном примере произведение двух матриц A равно:

$AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.$

штат W

W состояние , т. е. суперпозиция всех вычислительных базисных состояний веса Хэмминга один.

$|\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )$

Несмотря на то, что состояние является симметричным по перестановкам, его простейшее представление MPS таковым не является. Например:

$A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.$

Модель АКЛТ

Основная статья: Модель AKLT

Волновая функция основного состояния AKLT, которая является историческим примером подхода MPS: соответствует выбору

$A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}$

$A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}$

$A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}$

где $\sigma {\text{'s}}$ являются матрицами Паули , или

$A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.$

Модель Маджумдара – Гоша

Основная статья: Модель Маджумдара – Гоша

Основное состояние Маджумдара – Гоша можно записать как MPS с

$A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.$

См. также

• Группа ренормализации матрицы плотности
• Вариационный метод (квантовая механика)
• Перенормировка
• Цепь Маркова
• Тензорная сеть

Внешние ссылки

• Обзорная статья с открытым исходным кодом, посвященная алгоритмам, приложениям и программному обеспечению тензорных сетей.
• Состояние состояния матричного продукта
• Практическое введение в тензорные сети: состояния матричного продукта и прогнозируемые состояния запутанной пары
• Размахивание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям
• Тензорные сети в двух словах: введение в тензорные сети