Модель Маджумдара – Гоша

Модель Маджумдара-Гоша представляет собой одномерную квантовую спиновую модель Гейзенберга , в которой антиферромагнитное обменное взаимодействие ближайшего соседа в два раза сильнее, чем взаимодействие следующего ближайшего соседа. Это частный случай более общего $J_{1}$- $J_{2}$ модель, с $J_{1}=2J_{2}$. Модель названа в честь индийских физиков Чанчала Кумара Маджумдара и Дипана Гоша .

Модель Маджумдара-Гоша примечательна тем, что ее основные состояния (квантовые состояния с самой низкой энергией) можно точно найти и записать в простой форме, что делает ее полезной отправной точкой для понимания более сложных спиновых моделей и фаз.

Определение

Модель Маджумдара – Гоша определяется следующим гамильтонианом :

${\hat {H}}=J\sum _{j=1}^{N}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {J}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+2}$

где вектор S представляет собой квантовый оператор спина с квантовым числом S = 1/2.

В литературе могут быть приняты и другие условные обозначения коэффициентов, но наиболее важным фактом является то, что соотношение связей первого соседа и второго соседа составляет 2 к 1. В результате этого соотношения можно выразить гамильтониан ( сдвинутой на общую константу) эквивалентно в виде

${\hat {H}}={\frac {J}{4}}\sum _{j=1}^{N}({\vec {S}}_{j-1}+{\vec {S}}_{j}+{\vec {S}}_{j+1})^{2}$

Суммарная величина есть не что иное, как квадратичный оператор Казимира для представления спиновой алгебры на трех последовательных узлах. $j-1,j,j+1$, который, в свою очередь, можно разложить в прямую сумму представлений спинов 1/2 и 3/2. Он имеет собственные значения ${\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}+1)=3/4$ для подпространства со спином 1/2 и ${\frac {3}{2}}({\frac {3}{2}}+1)=15/4$ для подпространства со спином 3/2.

Основные состояния

Было показано, что модель Маджумдара-Гоша имеет два состояния с минимальной энергией, или основные состояния, а именно состояния, в которых соседние пары спинов образуют синглетные конфигурации. Волновая функция каждого основного состояния является произведением этих синглетных пар. Это объясняет, почему должно быть по крайней мере два основных состояния с одинаковой энергией, поскольку одно из них может быть получается из другого путем простого сдвига или перевода системы на один шаг решетки. Более того, было показано, что эти состояния (и их линейные комбинации) являются уникальными основными состояниями.

Обобщения

Модель Маджумдара-Гоша — одна из немногих реалистичных моделей квантового спина, которые можно решить точно. Более того, его основные состояния являются простыми примерами так называемых твердых тел с валентной связью (VBS). Таким образом, модель Маджумдара-Гоша связана с другой известной спиновой моделью, моделью AKLT , основным состоянием которой является уникальное одномерное твердое тело с валентной связью с одним спином (S = 1).

Модель Маджумдара-Гоша также является полезным примером теоремы Либа-Шульца-Маттиса , которая грубо утверждает, что бесконечная одномерная спиновая система с полунечетными числами должна либо не иметь энергетического промежутка (или зазора), либо не иметь энергетического промежутка (или зазора). между своим основным и возбужденным состояниями или же иметь более одного основного состояния. Модель Маджумдара-Гоша имеет пробел и подпадает под второй случай.

Изотропность модели на самом деле не важна для того факта, что она имеет именно димеризованное основное состояние. Например, ${\hat {H}}=J\sum _{j=1}^{N}({X}_{j}{X}_{j+1}+{Y}_{j}{Y}_{j+1}+\delta {Z}_{j}{Z}_{j+1})+{\frac {J}{2}}\sum _{j=1}^{N}({X}_{j}{X}_{j+2}+{Y}_{j}{Y}_{j+2}+\delta {Z}_{j}{Z}_{j+2})$ также имеет то же самое вышеупомянутое точно димеризованное основное состояние для всех реальных $\delta >-1/2$.

См. также

• Модель Гейзенберга (квантовая)
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Модель J1 J2
• Подход Бете
• Модель Изинга
• модель tJ

Ссылки

• К. К. Маджумдар и Д. Гош, О взаимодействии следующего ближайшего соседа в линейной цепи . Дж. Математика. Физ. 10 , 1388 (1969); дои : 10.1063/1.1664978
• К. К. Маджумдар, Антиферромагнитная модель с известным основным состоянием . Дж. Физ. C: Физика твердого тела. 3 911–915 (1970)
• Асса Ауэрбах, Взаимодействующие электроны и квантовый магнетизм , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992), с. 83