Прореживание блоков во времени

Алгоритм прореживания блоков с развитием во времени ( TEBD ) представляет собой численную схему, используемую для моделирования одномерных квантовых систем многих тел, характеризующихся максимумом взаимодействий ближайших соседей. Это называется децимацией блоков с развитием во времени, поскольку оно динамически идентифицирует соответствующие низкоразмерные гильбертовы подпространства экспоненциально большего исходного гильбертова пространства . Алгоритм, основанный на формализме состояний матрицы произведения, очень эффективен, когда степень запутанности в системе ограничена - требование, выполняемое большим классом квантовых систем многих тел в одном измерении.

Введение

Учитывая трудности, присущие моделированию общих квантовых систем многих тел, экспоненциальный рост параметров с размером системы и, соответственно, высокие вычислительные затраты, одним из решений был бы поиск численных методов, учитывающих частные случаи, когда может извлечь выгоду из физики системы. Необработанный подход, подразумевающий непосредственную работу со всеми параметрами, используемыми для полной характеристики квантовой системы многих тел, серьезно затруднен из-за обильного экспоненциального наращивания с размером системы количества переменных, необходимых для моделирования, что в лучших случаях приводит к к неоправданно длительному времени вычислений и расширенному использованию памяти. Для решения этой проблемы с течением времени был разработан и внедрен на практике ряд различных методов, одним из наиболее успешных из которых является квантовый метод Монте-Карло (КМК). Кроме того, метод перенормировочной группы матрицы плотности (DMRG), наряду с QMC, является очень надежным методом с расширяющимся сообществом пользователей и растущим числом приложений к физическим системам.

Когда первый квантовый компьютер будет подключен и начнет функционировать, перспективы в области вычислительной физики будут выглядеть весьма многообещающими, но до этого дня придется ограничиться обыденными инструментами, предлагаемыми классическими компьютерами. В то время как физики-экспериментаторы прилагают много усилий, пытаясь создать первый квантовый компьютер, физики-теоретики ищут в области квантовой теории информации (QIT) настоящие квантовые алгоритмы, подходящие для решения задач, которые будут плохо работать при попытке их решения. решена на классическом компьютере, но довольно быстро и успешно на квантовом. Поиск таких алгоритмов продолжается до сих пор, наиболее известными (и почти единственными найденными) являются алгоритм Шора , для факторизации больших чисел, и алгоритм поиска Гровера .

В области QIT необходимо определить основные ресурсы, необходимые для настоящих квантовых вычислений. Такой ресурс может быть ответственным за выигрыш в ускорении квантовых вычислений по сравнению с классическими, их идентификация означает также идентификацию систем, которые можно достаточно эффективно моделировать на классическом компьютере. Таким ресурсом является квантовая запутанность ; следовательно, можно установить четкую нижнюю границу запутанности, необходимой для ускорения квантовых вычислений.

Гифре Видаль , работавший тогда в Институте квантовой информации Калифорнийского технологического института , недавно предложил схему, полезную для моделирования определенной категории квантовых явлений. системы. Он утверждает, что «любые квантовые вычисления с чистыми состояниями могут быть эффективно смоделированы с помощью классического компьютера при условии, что степень запутанности достаточно ограничена» . Это происходит с общими гамильтонианами, демонстрирующими локальные взаимодействия, как, например, с гамильтонианами, подобными Хаббарду . Метод демонстрирует полиномиальное поведение низкой степени при увеличении времени вычислений в зависимости от степени запутанности, присутствующей в системе. Алгоритм основан на схеме, которая использует тот факт, что в этих одномерных системах собственные значения приведенной матрицы плотности при двудольном разбиении системы экспоненциально затухают, что позволяет нам работать в пространстве измененного размера, охватываемом собственные векторы, соответствующие выбранным нами собственным значениям .

Можно также оценить объем вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования квантовой системы на классическом компьютере, зная, как запутанность, содержащаяся в системе, масштабируется с ее размером. Классически (и квантово) допустимыми являются модели, в которых задействованы лишь слегка запутанные системы, тогда как сильно запутанные модели, с другой стороны, являются хорошими кандидатами только для настоящих квантовых вычислений.

Численный метод эффективен при моделировании динамики в реальном времени или расчетах основных состояний с использованием эволюции в мнимом времени или изэнтропических интерполяций между целевым гамильтонианом и гамильтонианом с уже известным основным состоянием. Время вычислений линейно зависит от размера системы, поэтому можно исследовать многочастичные системы в 1D.

Полезной особенностью алгоритма TEBD является то, что его можно надежно использовать для моделирования временной эволюции гамильтонианов, зависящих от времени, описывающих системы, которые могут быть реализованы с холодными атомами в оптических решетках или в системах, далеких от равновесия в квантовом транспорте. С этой точки зрения TEBD имел определенное превосходство над DMRG, очень мощной техникой, но до недавнего времени не очень хорошо подходящей для моделирования временной эволюции. Поскольку формализм состояний матричного продукта лежит в основе математической основы DMRG, схема TEBD была принята сообществом DMRG, что привело к появлению зависящей от времени DMRG [2]. , сокращенно т-ДМРГ.

Примерно в то же время другие группы разработали аналогичные подходы, в которых квантовая информация играет преобладающую роль, как, например, в реализациях DMRG для периодических граничных условий [3] и для изучения динамики смешанных состояний в одномерных квантовых решеточных системах. . Эти последние подходы на самом деле обеспечивают формализм, который является более общим, чем исходный подход TEBD, поскольку он также позволяет иметь дело с эволюцией с помощью операторов матричного произведения; это позволяет моделировать нетривиальные небесконечно-малые эволюции в отличие от случая TEBD и является важным компонентом для работы с многомерными аналогами состояний матричного продукта.

Разложение государства

Представляем разложение государства

Рассмотрим цепочку из N кубитов , описываемую функцией $|\Psi \rangle \in H^{{\otimes }N}$. Самый естественный способ описания $|\Psi \rangle$ будет использовать местный $M^{N}$-мерный базис $|i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle$: $$|\Psi \rangle =\sum \limits _{i=1}^{M}c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}|{i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}}\rangle$$ где M — размер на месте.

Хитрость TEBD заключается в переписывании коэффициентов. $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$: $$c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}=\sum \limits _{\alpha _{1},..,\alpha _{N-1}=0}^{\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{\alpha _{2}}^{[2]}\Gamma _{\alpha _{2}\alpha _{3}}^{[3]i_{3}}\lambda _{\alpha _{3}}^{[3]}\cdot ..\cdot \Gamma _{\alpha _{N-2}\alpha _{N-1}}^{[{N-1}]i_{N-1}}\lambda _{\alpha _{N-1}}^{[N-1]}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}$$

Эта форма, известная как состояние матричного продукта , значительно упрощает вычисления.

Чтобы понять почему, можно взглянуть на Шмидта разложение состояния , которое использует разложение по сингулярным значениям для более простого выражения состояния с ограниченной запутанностью.

Разложение Шмидта

Рассмотрим состояние двудольной системы $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}$. Каждое такое состояние $|{\Psi }\rangle$ можно представить в соответственно выбранном базисе как: $$\left\vert \Psi \right\rangle =\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}\left\vert {\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\right\rangle$$ где $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ формируются с векторами $|{\Phi _{i}^{A}}\rangle$ которые составляют ортонормированный базис в $H_{A}$ и, соответственно, векторы $|{\Phi _{i}^{B}}\rangle$, которые образуют ортонормированный базис в ${H_{B}}$, с коэффициентами $a_{i}$ быть реальным и позитивным, ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1}$. Это называется разложением Шмидта (SD) состояния. В общем случае суммирование доходит до $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$. Ранг Шмидта двудольного разделения определяется количеством ненулевых коэффициентов Шмидта. Если ранг Шмидта равен единице, разделение характеризуется состоянием продукта. Векторы СД определены с точностью до фазы, а собственные значения и ранг Шмидта единственны.

Например, двухкубитное состояние: $$|{\Psi }\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(|{00}\rangle +{\sqrt {3}}|{01}\rangle +{\sqrt {3}}|{10}\rangle +|{11}\rangle \right)$$ имеет следующее SD: $$\left|{\Psi }\right\rangle ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}\left|{\phi _{1}^{A}\phi _{1}^{B}}\right\rangle +{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\left|{\phi _{2}^{A}\phi _{2}^{B}}\right\rangle$$ с $$|{\phi _{1}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle +|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{1}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{B}}\rangle +|{1_{B}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle -|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{1_{B}}\rangle -|{0_{B}}\rangle )$$

С другой стороны, государство: $$|{\Phi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|{00}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {6}}}|{01}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{10}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {6}}}|{11}\rangle$$ это состояние продукта: $$\left|\Phi \right\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\left|0_{A}\right\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}\left|1_{A}\right\rangle \right)\otimes \left(\left|0_{B}\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|1_{B}\right\rangle \right)$$

Построение разложения государства

На данный момент мы знаем достаточно, чтобы попытаться увидеть, как мы явно строим декомпозицию (назовем ее D ).

Рассмотрим двудольное расщепление $[1]:[2..N]$. SD имеет коэффициенты $\lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}$ и собственные векторы $\left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\right\rangle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\right\rangle$. Расширяя $\left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\right\rangle$в локальной базе можно написать:

$$|{\Psi }\rangle =\sum \limits _{i_{1},{\alpha _{1}=1}}^{M,\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}|{i_{1}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$$

Процесс можно разложить на три этапа, повторяемых для каждой связи (и, соответственно, SD) в цепочке: Шаг 1 : выразить $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$находится в локальной базе для кубита 2: $$|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle =\sum _{i_{2}}|{i_{2}}\rangle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$$

Векторы $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ не обязательно нормализуются .

Шаг 2 : напишите каждый вектор $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ с точки зрения максимума (выделено Видалем) $\chi$ Векторы Шмидта $|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$ и, соответственно, коэффициенты $\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}$: $$|\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}\rangle =\sum _{\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$$

Шаг 3 : сделайте замены и получите: $$|{\Psi }\rangle =\sum _{i_{1},i_{2},\alpha _{1},\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{i_{1}i_{2}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$$

1 по 3, можно построить всю декомпозицию состояния D. Повторяя шаги с Последний $\Gamma$являются частным случаем, как и первые, выражая правые векторы Шмидта в $(N-1)^{th}$ облигаций на местной основе на $N^{th}$ решетчатое место. Как показано в, несложно получить разложение Шмидта при $k^{th}$ облигация, т.е. $[1..k]:[k+1..N]$, Д. от

Собственные значения Шмидта явно заданы в D :

$$|{\Psi }\rangle =\sum _{\alpha _{k}}\lambda _{{\alpha }_{k}}^{[k]}|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle$$

Собственные векторы Шмидта просто:

$$|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle =\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}..\alpha _{k-1}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\cdot \cdot \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]i_{k}}|{i_{1}i_{2}..i_{k}}\rangle$$ и

$$|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle =\sum _{\alpha _{k+1},\alpha _{k+2}..\alpha _{N}}\Gamma _{\alpha _{k}\alpha _{k+1}}^{[k+1]i_{k+1}}\lambda _{\alpha _{k+1}}^{[k+1]}\cdot \cdot \lambda _{\alpha _{N-1}}^{N-1}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}|{i_{k+1}i_{k+2}..i_{N}}\rangle$$

Обоснование

Теперь, глядя на D вместо $M^{N}$ начальные условия, есть ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$. Видимо это просто причудливый способ переписать коэффициенты $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$, но на самом деле это нечто большее. Предполагая, что N четно, ранг Шмидта $\chi$ для двудольного разреза в середине цепочки может иметь максимальное значение $M^{N/2}$; в этом случае мы получим как минимум $M^{N+1}{\cdot }(N-2)$ коэффициенты, учитывая только ${\chi }^{2}$ немного больше, чем первоначально $M^{N}$! На самом деле разложение D полезно при работе с системами, демонстрирующими низкую степень запутанности, что, к счастью, имеет место для многих одномерных систем, где коэффициенты Шмидта основного состояния затухают экспоненциально с $\alpha$:

$$\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}{\sim }e^{-K\alpha _{l}},\ K>0.$$

Поэтому можно учесть только часть коэффициентов Шмидта (а именно самые большие), отбросив остальные и, следовательно, снова нормировав состояние:

$$|{\Psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}}}\cdot \sum \limits _{{{\alpha }_{l}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|{\Phi _{\alpha _{l}}^{[1..l]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{l}}^{[l+1..N]}}\rangle ,$$

где $\chi _{c}$ — количество сохраненных коэффициентов Шмидта.

Давайте отойдем от этой абстрактной картины и освежимся конкретным примером, чтобы подчеркнуть преимущество такого разложения. рассмотрим, например, случай с 50 фермионами в ферромагнитной Для простоты цепочке. Размерность 12, скажем, для $\chi _{c}$ было бы разумным выбором, сохраняя отброшенные собственные значения на уровне $0.0001$% от общего количества, как показали численные исследования, то есть примерно $2^{14}$ коэффициенты по сравнению с первоначальными $2^{50}$ те.

Даже если собственные значения Шмидта не имеют экспоненциального убывания, но демонстрируют алгебраическое убывание, мы все равно можем использовать D для описания нашего состояния. $\psi$. Количество коэффициентов, необходимых для точного описания $\psi$ может быть значительно больше, но все же в пределах досягаемости возможного численного моделирования.

Обновление разложения

Теперь можно приступить к исследованию поведения разложения D при воздействии на него однокубитных вентилей (OQG) и двухкубитных вентилей (TQG), действующих на соседние кубиты. Вместо обновления всех $M^{N}$ коэффициенты $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$, мы ограничимся рядом операций, увеличивающих $\chi$ как полином низкой степени, что позволяет сэкономить время вычислений .

Однокубитные вентили, действующие на кубит k

OQG влияют только на кубит, на который они воздействуют, обновление состояния $|{\psi }\rangle$ после того, как унитарный оператор в кубите k не изменяет собственные значения или векторы Шмидта слева, следовательно, $\Gamma ^{[k-1]}$'s, или справа, отсюда $\Gamma ^{[k+1]}$х. Единственный $\Gamma$которые будут обновлены: $\Gamma ^{[k]}$(требуется только не более ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ операции), как

$$\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{'[k]i_{k}}=\sum _{j}U_{j_{k}}^{i_{k}}\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]j_{k}}.$$

Двухкубитные вентили, действующие на кубиты k, k +1

Изменения, необходимые для обновления $\Gamma$и $\lambda$, следующие за унитарной операцией V над кубитами k , k +1, касаются только $\Gamma ^{[k]}$, и $\Gamma ^{[k+1]}$. Они состоят из ряда ${O}({M\cdot \chi }^{3})$ основные операции.

Следуя оригинальному подходу Видаля, $|{\psi }\rangle$ можно рассматривать как принадлежащие только к четырем подсистемам:

$${{H}=J{\otimes }H_{C}{\otimes }H_{D}{\otimes }K}.\,$$

Подпространство J плотности натянуто собственными векторами приведенной матрицы $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$:

$$\rho ^{[1..{k-1}]}=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})}^{2}|{\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}\rangle \langle {\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}|=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})^{2}}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|.$$

Аналогичным образом подпространство K натягивается собственными векторами приведенной матрицы плотности:

$$\rho ^{[{k+2}..{N}]}=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}\rangle \langle {\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}|=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\gamma }\rangle \langle {\gamma }|.$$

Подпространства $H_{C}$ и $H_{D}$ принадлежат кубитам k и k + 1. Используя этот базис и разложение D , $|{\psi }\rangle$ можно записать как:

$$|{\psi }\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\beta ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }^{[C-1]}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]i}\lambda _{\beta }^{[C]}\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]j}\lambda _{\gamma }^{[D]}|{{\alpha }ij{\gamma }}\rangle$$

Используя те же рассуждения, что и для OQG, для применения TQG V к кубитам k , k + 1 необходимо только обновить $\Gamma ^{[C]}$, $\lambda$ и $\Gamma ^{[D]}.$

Мы можем написать $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ как: $$|{\psi '}\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}\lambda _{\gamma }|{{\alpha }ij\gamma }\rangle$$ где $$\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}=\sum \limits _{\beta =1}^{\chi }\sum \limits _{m,n=1}^{M}V_{mn}^{ij}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]m}\lambda _{\beta }\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]n}.$$

Чтобы узнать новое разложение, новое $\lambda$в связи k и соответствующие им собственные векторы Шмидта должны быть вычислены и выражены через ${\Gamma }$разложения D . Приведенная матрица плотности $\rho ^{'[DK]}$ следовательно, диагонализуется : $$\rho ^{'[DK]}=Tr_{JC}|{\psi '}\rangle \langle {\psi '}|=\sum _{j,j',\gamma ,\gamma '}\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}|{j\gamma }\rangle \langle {j'\gamma '}|.$$

Квадратные корни из его собственных значений — это новый $\lambda$х. Выразив собственные векторы диагонализованной матрицы в базисе: $\{|{j\gamma }\rangle \}$ тот $\Gamma ^{[{D]}}$также получаются: $$|{\Phi ^{'[{DK}]}}\rangle =\sum _{j,\gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j}\lambda _{\gamma }|{j\gamma }\rangle .$$

Из левых собственных векторов $$\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{JC}]}}\rangle =\langle {\Phi _{\beta }^{'[{DK}]}}|{\psi '}\rangle =\sum _{i,j,\alpha ,\gamma }(\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j})^{*}\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}(\lambda _{\gamma })^{2}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle$$ после выражения их в основе $\{|{i\alpha }\rangle \}$, $\Gamma ^{[{C}]}$это: $$|{\Phi ^{'[{JC}]}}\rangle =\sum _{i,\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{'[{C}]i}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle .$$

Вычислительная стоимость

Размерность наибольших тензоров в D имеет порядок ${O}(M{\cdot }{\chi }^{2})$; при построении $\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}$ происходит суммирование $\beta$, ${\it {m}}$ и ${\it {n}}$ для каждого $\gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}$, что в сумме составляет ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ операции. То же самое относится и к образованию элементов $\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}$, или для вычисления левых собственных векторов $\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle$, максимум ${\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})$, соответственно ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ основные операции. В случае кубитов $M=2$, следовательно, ее роль не очень существенна для порядка числа основных операций, но в случае, когда локальная размерность больше двух, она имеет весьма решающий вклад.

Численное моделирование

Численное моделирование нацелено на (возможно, зависящие от времени) гамильтонианы системы $N$ частицы, расположенные в линию, состоящие из произвольных ОКГ и ТКГ:

$$H_{N}=\sum \limits _{l=1}^{N}K_{1}^{[l]}+\sum \limits _{l=1}^{N}K_{2}^{[l,l+1]}.$$

Полезно разложить $H_{N}$ как сумма двух, возможно, некоммутирующих членов, $H_{N}=F+G$, где

$$F\equiv \sum _{{\text{even }}l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\sum _{{\text{even }}l}F^{[l]},$$$$G\equiv \sum _{{\text{odd }}l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\sum _{{\text{odd }}l}G^{[l]}.$$

Любые члены двух тел коммутируют: $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$, $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ Это сделано для того, чтобы расширение Сузуки – Троттера (ST) экспоненциального оператора, названного в честь Масуо Судзуки и Хейла Троттера .

Расширение Сузуки-Троттера

Разложение Сузуки-Троттера первого порядка (ST1) представляет собой общий способ записи экспоненциальных операторов: $$e^{A+B}=\lim _{n\to \infty }\left(e^{\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}\right)^{n}$$ или, что то же самое $$e^{{\delta }(A+B)}=e^{{\delta }A}e^{{\delta }B}+{\it {O}}(\delta ^{2}).$$

Поправочный член обращается в нуль в пределе $\delta \to 0$

Для моделирования квантовой динамики полезно использовать унитарные операторы , сохраняющие норму (в отличие от разложений в степенные ряды), и именно здесь на помощь приходит разложение Троттера-Сузуки. В задачах квантовой динамики унитарность операторов в разложении ST оказывается вполне практичным, поскольку ошибка имеет тенденцию концентрироваться в общей фазе , что позволяет нам точно вычислить средние значения и сохраняющиеся величины. Поскольку СТ сохраняет объем фазового пространства, его также называют симплектическим интегратором.

Хитрость ST2 заключается в написании унитарных операторов $e^{-iHt}$ как: $$e^{-iH_{N}T}=[e^{-iH_{N}\delta }]^{T/{\delta }}=[e^{{\frac {\delta }{2}}F}e^{{\delta }G}e^{{\frac {\delta }{2}}F}]^{n}$$ где $n={\frac {T}{\delta }}$. Число $n$ называется числом Троттера.

Моделирование эволюции во времени

Операторы $e^{{\frac {\delta }{2}}F}$, $e^{{\delta }G}$ легко выразить, как:

$$e^{{\frac {\delta }{2}}F}=\prod _{{\text{even }}l}e^{{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$$ $$e^{{\delta }G}=\prod _{{\text{odd }}l}e^{{\delta }G^{[l]}}$$

поскольку любые два оператора $F^{[l]}$, $F^{[l']}$ (соответственно, $G^{[l]}$, $G^{[l']}$) ездить на работу $l{\neq }l'$ а разложение ST первого порядка сохраняет только произведение экспонент, причем приближение в этом случае становится точным.

Эволюцию во времени можно осуществить согласно

$$|{{\tilde {\psi }}_{t+\delta }}\rangle =e^{-i{\frac {\delta }{2}}F}e^{{-i\delta }G}e^{{\frac {-i\delta }{2}}F}|{{\tilde {\psi }}_{t}}\rangle .$$

Для каждого «временного шага» $\delta$, $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ применяются последовательно ко всем нечетным сайтам, то $e^{{-i\delta }G^{[l]}}$ к четным, и $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ снова к лишним; по сути это последовательность TQG, и выше было объяснено, как обновить декомпозицию. ${\it {D}}$ при их применении.

Наша цель — сделать временную эволюцию состояния $|{\psi _{0}}\rangle$ на время T, в сторону состояния $|{\psi _{T}}\rangle$ используя n-частичный гамильтониан $H_{n}$.

Построение разложения весьма затруднительно, если вообще возможно. ${\it {D}}$ для произвольного состояния n-частиц, поскольку это означало бы, что нужно вычислить разложение Шмидта по каждой связи, расположить собственные значения Шмидта в порядке убывания и выбрать первое $\chi _{c}$ и соответствующие собственные векторы Шмидта. Имейте в виду, что это будет означать диагонализацию довольно щедрых матриц уменьшенной плотности, что, в зависимости от системы, которую нужно моделировать, может оказаться задачей, находящейся за пределами нашей досягаемости и терпения. Вместо этого можно попробовать сделать следующее:

1. построить разложение ${\it {D}}$ для простого начального состояния, скажем, некоторого состояния-продукта $|{\psi _{P}}\rangle$, для которого разложение является прямым.
2. иметь отношение к $|{\psi _{0}}\rangle$ в основное состояние $|{\psi _{gr}}\rangle$ гамильтониана ${\tilde {H}}$ достаточно локальным преобразованием Q (например, которое можно выразить как произведение TQG) $|{\psi _{0}}\rangle =Q|{\psi _{gr}}\rangle$
3. совершить эволюцию за мнимое время к основному состоянию гамильтониана ${\tilde {H}}$, $|{\psi _{gr}}\rangle$ в соответствии с:

   $$|{\psi _{gr}}\rangle =\lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {e^{-{\tilde {H}}\tau }|{\psi _{P}}\rangle }{\|e^{-{\tilde {H}}\tau }|{\psi _{P}}\rangle \|}},$$

   или, альтернативно, смоделировать изэнтропическую эволюцию, используя зависящий от времени гамильтониан, который интерполирует между гамильтонианом $H_{1}$, который имеет состояние продукта $|{\psi _{P}}\rangle$ как его основное состояние, а гамильтониан ${\tilde {H}}$; эволюция должна происходить достаточно медленно, чтобы система всегда находилась в основном состоянии или, по крайней мере, очень близко к нему.
4. наконец, сделайте временную эволюцию государства $|{\psi _{0}}\rangle$ к $|{\psi _{T}}\rangle$ используя гамильтониан $H_{n}$: $$|{\psi _{T}}\rangle =e^{-iH_{n}T}|{\psi _{0}}\rangle$$

Источники ошибок

Ошибки моделирования возникают из-за приближения Сузуки-Троттера и усечения гильбертова пространства.

Ошибки, возникающие из-за расширения Сузуки-Троттера.

В случае аппроксимации Троттера ${\it {p^{th}}}$ порядок, ошибка порядка ${\delta }^{p+1}$. Принимая во внимание $n={\frac {T}{\delta }}$ шагов, ошибка после времени T: $$\epsilon ={\frac {T}{\delta }}\delta ^{p+1}=T\delta ^{p}$$

Неаппроксимированное состояние $|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle$ является:

$$|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle ={\sqrt {1-{\epsilon }^{2}}}|{\psi _{Tr}}\rangle +{\epsilon }|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle$$

где $|{\psi _{Tr}}\rangle$ сохраняется ли состояние после расширения Троттера и $|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle$ учитывает ту часть, которой пренебрегают при расширении.

Общая ошибка масштабируется со временем $T$ как: $$\epsilon (T)=1-|\langle {\tilde {\psi _{Tr}}}|{\psi _{Tr}}\rangle |^{2}=1-1+\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}$$

Ошибка Троттера не зависит от размера цепи.

Ошибки, возникающие из-за усечения гильбертова пространства.

Учитывая ошибки, возникающие из-за усечения гильбертова пространства, входящего в разложение D , они двоякие.

Во-первых, как мы видели выше, наименьшие вклады в спектр Шмидта не учитываются, а состояние точно отображается до: $$\epsilon ({\it {D}})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})$$ где $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ представляет собой сумму всех отброшенных собственных значений приведенной матрицы плотности на связи ${\it {n}}$. Государство $|{\psi }\rangle$ то есть по данной облигации ${\it {n}}$, описываемый разложением Шмидта: $$|{\psi }\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle$$ где $$|{\psi _{D}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle$$ сохраняется ли состояние после усечения и $$|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}={\chi }_{c}}^{\chi }\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle$$ – состояние, образованное собственными функциями, соответствующими наименьшим, нерелевантным коэффициентам Шмидта, которыми пренебрегают. Сейчас, $\langle \psi _{D}^{\bot }|\psi _{D}\rangle =0$ потому что они натянуты векторами, соответствующими ортогональным пространствам. Используя тот же аргумент, что и для расширения Троттера, ошибка после усечения: $$\epsilon _{n}=1-|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$$

После перехода к следующей облигации состояние аналогично: $$|{\psi _{D}}\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n+1}}}|{{{\psi }'}_{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n+1}}}|{{\psi '}_{D}^{\bot }}\rangle$$ Ошибка после второго усечения: $$\epsilon =1-|\langle {\psi }|\psi '_{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})(1-\epsilon _{n})$$ и так далее, по мере перехода от облигации к облигации.

Второй источник ошибок заключен в разложении $D$ более тонкий и требует небольшого расчета.

Как мы рассчитали ранее, константа нормализации после усечения по связи $l$ $([1..l]:[l+1..N])$ является: $$R={\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}={1-\epsilon _{l}}$$

Теперь перейдем к облигациям ${\it {l}}-1$ и вычислим норму правых векторов Шмидта $\|{\Phi _{\alpha _{l-1}}^{[l-1..N]}}\|$; с учетом полной размерности Шмидта норма составляет: $$n_{1}=1=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}+\sum \limits _{\alpha _{l}=\chi _{c}}^{\chi }(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=S_{1}+S_{2},$$

где $(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}=\sum \limits _{i_{l}=1}^{d}(\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}})^{*}\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}}$.

С учетом усеченного пространства нормой является: $$n_{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}\cdot ({\lambda '}_{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}{\frac {(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}}{R}}={\frac {S_{1}}{R}}$$

Приняв разницу, $\epsilon =n_{2}-n_{1}=n_{2}-1$, мы получаем: $$\epsilon ={\frac {S_{1}}{R}}-1\leq {\frac {1-R}{R}}={\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}{\to }0\ \ as\ \ {\epsilon _{l}{\to }{0}}$$

Следовательно, при построении приведенной матрицы плотности след матрицы умножается на коэффициент: $$|\langle {\psi _{D}}|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-{\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}={\frac {1-2\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}$$

Общая ошибка усечения

Общая ошибка усечения с учетом обоих источников ограничена сверху: $$\epsilon ({D})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})\prod \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {1-2\epsilon _{n}}{1-\epsilon _{n}}}=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-2\epsilon _{n})$$

При использовании расширения Троттера мы перемещаемся не от облигации к облигации, а между облигациями одинаковой четности; причем для СТ2 делаем перебор четных и двух для нечетных. Но тем не менее приведенный выше расчет остается в силе. Ошибка оценивается путем последовательного умножения на константу нормализации каждый раз, когда мы строим приведенную матрицу плотности и выбираем ее соответствующие собственные значения.

«Адаптивное» измерение Шмидта

Одна вещь, которая может сэкономить много вычислительного времени без потери точности, — это использовать разные размерности Шмидта для каждой связи вместо фиксированного для всех связей, сохраняя, как обычно, только необходимое количество соответствующих коэффициентов. Например, если взять первую связь, то в случае кубитов размерность Шмидта равна всего двум. Следовательно, на первой связи вместо бесполезной диагонализации, скажем, матриц 10 на 10 или 20 на 20, мы можем просто ограничиться обычными матрицами 2 на 2, что делает алгоритм в целом быстрее. Вместо этого мы можем установить порог для собственных значений SD, оставив только те, которые выше порога.

TEBD также предлагает возможность прямого распараллеливания благодаря факторизации оператора экспоненциальной эволюции времени с использованием расширения Сузуки-Троттера. Параллельный TEBD имеет ту же математику, что и его непараллельный аналог, единственная разница заключается в числовой реализации.