ряд Фурье

«Теорема Фурье» перенаправляется сюда. О количестве вещественных корней многочлена см. теорему Будана § теорему Фурье .

Ряд Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ) — разложение периодической функции в сумму тригонометрических функций . Ряд Фурье является примером тригонометрического ряда , но не все тригонометрические ряды являются рядами Фурье. Выражая функцию в виде суммы синусов и косинусов, многие проблемы, связанные с этой функцией, становится легче анализировать, поскольку тригонометрические функции хорошо изучены. Например, ряды Фурье впервые были использованы Жозефом Фурье для поиска решений уравнения теплопроводности . Такое применение возможно, поскольку производные тригонометрических функций распадаются на простые закономерности. Ряды Фурье нельзя использовать для аппроксимации произвольных функций, поскольку большинство функций имеют в своих рядах Фурье бесконечное число членов, и эти ряды не всегда сходятся . Функции с хорошим поведением, например гладкие функции, имеют ряды Фурье, которые сходятся к исходной функции. Коэффициенты ряда Фурье определяются интегралами функции, умноженной на тригонометрические функции, описанные ниже в разделе « Общие формы ряда Фурье» .

Изучение сходимости рядов Фурье сосредоточено на поведении частичных сумм , что означает изучение поведения суммы по мере того, как суммируются все больше и больше членов ряда. На рисунках ниже показаны некоторые частичные результаты рядов Фурье для компонентов прямоугольной волны .

• 
  Прямоугольная волна (представленная синей точкой) аппроксимируется своей шестой частичной суммой (представленной фиолетовой точкой), образованной суммированием первых шести членов (представленных стрелками) ряда Фурье прямоугольной волны. Каждая стрелка начинается с вертикальной суммы всех стрелок слева от нее (т. е. предыдущей частичной суммы).
• 
  Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . По мере добавления большего количества гармоник частичные суммы сходятся (становятся все более и более похожими) на прямоугольную волну.
• 
  Функция $s_{6}(x)$ (красным цветом) представляет собой сумму ряда Фурье шести гармонически связанных синусоидальных волн (синим цветом). Его преобразование Фурье $S(f)$ представляет собой представление в частотной области, которое показывает амплитуды суммированных синусоидальных волн.

Ряды Фурье тесно связаны с преобразованием Фурье , которое можно использовать для поиска информации о частоте для функций, которые не являются периодическими. Периодические функции можно отождествить с функциями на окружности; по этой причине ряды Фурье являются предметом анализа Фурье на окружности, обычно обозначаемой как $\mathbb {T}$ или $S_{1}$. Преобразование Фурье также является частью анализа Фурье , но оно определено для функций на $\mathbb {R} ^{n}$.

Со времен Фурье было открыто множество различных подходов к определению и пониманию понятия ряда Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из которых подчеркивает разные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которых не было во времена Фурье. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для действительных функций от действительных аргументов и использовал функции синуса и косинуса при разложении многие другие преобразования Фурье . С тех пор были определены , что расширило его первоначальную идею на многие приложения и положило начало области математики, называемой анализом Фурье .

Общие формы ряда Фурье

Ряд Фурье — это непрерывная периодическая функция, созданная суммированием гармонически связанных синусоидальных функций. Он имеет несколько разных, но эквивалентных форм, показанных здесь как частичные суммы. Но теоретически $N\rightarrow \infty .$ Подстрочные символы, называемые коэффициентами , и период, $P,$ определить функцию $s_{\scriptscriptstyle N}(x)$ следующее :

Рис. 1. На верхнем графике синим цветом показана непериодическая функция s ( x определенная только в красном интервале от 0 до P. ) , Функцию можно проанализировать на этом интервале, чтобы получить ряд Фурье на нижнем графике. Ряд Фурье всегда является периодической функцией, даже если исходная функция s ( x ) таковой не является.

Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма

$s_{_{N}}(x)=D_{0}+\sum _{n=1}^{N}D_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)$     ( Уравнение 1 )

Ряд Фурье, синус-косинусная форма

$s_{_{N}}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+B_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)$     ( Уравнение 2 )

Ряд Фурье, экспоненциальная форма

$s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}C_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}$     ( Уравнение 3 )

Гармоники индексируются целым числом, $n,$ что также является количеством циклов, которые делают соответствующие синусоиды за интервал $P$. Следовательно, синусоиды имеют :

• длина волны равна ${\tfrac {P}{n}}$ в тех же единицах, что и $x$.
• частота , равная ${\tfrac {n}{P}}$ в обратных единицах $x$.

Очевидно, что эти ряды могут представлять функции, которые представляют собой просто сумму одной или нескольких частот гармоник. Примечательно то, что он также может представлять промежуточные частоты и/или несинусоидальные функции из-за бесконечного числа членов. Амплитудно-фазовая форма особенно полезна для понимания смысла коэффициентов ряда. (см. § Вывод ). Показательную форму легче всего обобщить для комплекснозначных функций. (см. § Комплекснозначные функции )

Эквивалентность этих форм требует определенных соотношений между коэффициентами. Например, тригонометрическое тождество :

Эквивалентность полярной и прямоугольной формы

$\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \cos(\varphi _{n})\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)$     ( Уравнение 4 )

означает, что :

${\begin{aligned}&A_{n}=D_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad B_{n}=D_{n}\sin(\varphi _{n})\\\\&D_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\arctan(B_{n},A_{n}).\end{aligned}}$    

( Уравнение 4.1 )

Поэтому $A_{n}$ и $B_{n}$ — прямоугольные координаты вектора с полярными координатами $D_{n}$ и $\varphi _{n}.$

Коэффициенты могут быть заданы/предполагаемы, например, музыкальный синтезатор или временные выборки формы волны. В последнем случае экспоненциальная форма ряда Фурье синтезирует преобразование Фурье с дискретным временем , где переменная $x$ представляет частоту вместо времени.

Но обычно коэффициенты определяются путем частотного/гармонического анализа данной действительной функции. $s(x),$ и $x$ представляет время :

Анализ рядов Фурье

${\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx,\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$     ( Уравнение 5 )

Цель состоит в том, чтобы $s_{\scriptstyle {\infty }}$ сходиться к $s(x)$ максимум или все значения $x$ в интервале длины $P.$ Для корректных функций, типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство, а условия Дирихле обеспечивают достаточные условия.

Обозначения $\int _{P}$ представляет собой интегрирование по выбранному интервалу. Типичный выбор: $[-P/2,P/2]$ и $[0,P]$. Некоторые авторы определяют $P\triangleq 2\pi$ потому что это упрощает аргументы синусоидальных функций за счет общности. И некоторые авторы полагают, что $s(x)$ также $P$-периодический, в этом случае $s_{\scriptstyle {\infty }}$ аппроксимирует всю функцию. ${\tfrac {2}{P}}$ Коэффициент масштабирования объясняется на простом примере : $s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).$ Только $n=k$ член уравнения 2 необходим для сходимости, при этом $A_{k}=1$ и $B_{k}=0.$ Соответственно уравнение 5 дает :

$A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,$ по мере необходимости.

Коэффициенты экспоненциальной формы

Другое применимое тождество — формула Эйлера :

${\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}$

(Примечание : * обозначает комплексное сопряжение .)

Подстановка этого значения в уравнение 1 и сравнение с уравнением 3 в конечном итоге показывает :

Коэффициенты экспоненциальной формы

$C_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0},\quad &&n=0\\{\tfrac {D_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(A_{n}-iB_{n}),\quad &n>0\\C_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}$    

( Уравнение 6 )

И наоборот :

Обратные отношения

${\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}$

Подстановка уравнения 5 в уравнение 6 также показывает :

Анализ рядов Фурье

$C_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx;\quad \forall \ n\in \mathbb {Z} \,$ ( все целые числа ) 

( Уравнение 7 )

Комплексные функции

Уравнения 7 и 3 также применимы, когда $s(x)$ является комплексной функцией. Это следует из выражения $\operatorname {Re} (s_{N}(x))$ и $\operatorname {Im} (s_{N}(x))$ как отдельные действительные ряды Фурье, и $s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).$

Вывод

Коэффициенты $D_{n}$ и $\varphi _{n}$ можно понять и вывести с точки зрения взаимной корреляции между $s(x)$ и синусоида на частоте ${\tfrac {n}{P}}$. Для общей частоты $f,$ и интервал анализа $[x_{0},x_{0}+P],$ функция взаимной корреляции :

Рис. 2. Синяя кривая представляет собой взаимную корреляцию прямоугольной волны и косинусоидальной функции, поскольку задержка фазы косинуса меняется в течение одного цикла. Амплитуда и задержка фазы при максимальном значении являются полярными координатами одной гармоники в разложении прямоугольной волны в ряд Фурье. Соответствующие прямоугольные координаты можно определить, оценив взаимную корреляцию всего лишь с двумя фазовыми задержками, разделенными 90°.

Вывод уравнения 1

$\mathrm {X} _{f}(\tau )={\tfrac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi f(x-\tau )\right)\,dx;\quad \tau \in \left[0,{\tfrac {1}{f}}\right]$     ( Уравнение 8 )

по сути, это согласованный фильтр с шаблоном $\cos(2\pi fx)$.Максимум ​ ​ $\mathrm {X} _{f}(\tau )$ является мерой амплитуды $(D)$ частоты $f$ в функции $s(x)$, и значение $\tau$ в максимуме определяет фазу $(\varphi )$ этой частоты. На рисунке 2 приведен пример, где $s(x)$ представляет собой прямоугольную волну (не показана), а частота $f$ это $4^{\text{th}}$ гармонический. Это также пример получения максимума всего из двух выборок вместо поиска по всей функции. Объединение уравнения 8 с уравнением 4 дает :

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}$

Производная от $\mathrm {X} _{n}(\varphi )$ равен нулю в фазе максимальной корреляции.

$\mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)$

Следовательно, вычисление $A_{n}$ и $B_{n}$ согласно уравнению 5 создает фазу компонента $\varphi _{n}$ максимальной корреляции. А амплитуда компонента равна :

${\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}$

Другие распространенные обозначения

Обозначения $C_{n}$ недостаточно для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому ее принято заменять модифицированной формой функции ( $s,$ в данном случае), например ${\widehat {s}}(n)$ или $S[n]$, а функциональная запись часто заменяет индекс :

${\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}$

В технике, особенно когда переменная $x$ представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением в частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что областью определения этой функции является дискретный набор частот.

Другое часто используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),$

где $f$ представляет собой непрерывную частотную область. Когда переменная $x$ имеет единицы секунды, $f$ имеет единицы герцы . «Зубцы» гребенки расположены на расстоянии, кратном (т.е. гармоникам ) ${\tfrac {1}{P}}$, которая называется основной частотой . $s_{\infty }(x)$ может быть восстановлено из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье :

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}$

Построенная функция $S(f)$ поэтому его обычно называют преобразованием Фурье , хотя интеграл Фурье периодической функции не сходится на частотах гармоник.

Пример анализа

График пилообразной волны , периодического продолжения линейной функции $s(x)=x/\pi$ на интервале $(-\pi ,\pi ]$

Анимированный сюжет первых пяти последовательных частичных рядов Фурье

Рассмотрим пилообразную функцию :

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .$

В этом случае коэффициенты Фурье имеют вид

${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

Можно показать, что ряд Фурье сходится к $s(x)$ в каждой точке $x$ где $s$ дифференцируема, поэтому :

${\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}$     ( Уравнение 9 )

Когда $x=\pi$, ряд Фурье сходится к 0, что является полусуммой левого и правого предела s в точке $x=\pi$. Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье.

Этот пример приводит к решению Базельской проблемы .

Конвергенция

Основная статья: Сходимость ряда Фурье

Доказательство того, что ряд Фурье является действительным представлением любой периодической функции (которая удовлетворяет условиям Дирихле ), представлено в § Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье .

В инженерных приложениях обычно предполагается, что ряд Фурье сходится, за исключением скачков, поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, встречающиеся в других дисциплинах. В частности, если $s$ является непрерывным и является производной от $s(x)$ (которая может существовать не везде) интегрируема с квадратом, то ряд Фурье $s$ сходится абсолютно и равномерно к $s(x)$. Если функция интегрируема с квадратом на интервале $[x_{0},x_{0}+P]$, то ряд Фурье сходится к функции почти всюду . Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, и в этом случае точечная сходимость часто не удается, и сходимость по норме или слабая сходимость обычно изучается .

• 
  Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длин 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как аппроксимация прямоугольной волны улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
• 
  Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длин 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
• 
  Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие «звона» ( феномена Гиббса ) при переходах на вертикальные участки и обратно.

История

Смотрите также: Анализ Фурье § История

Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов , после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана ле Рона д'Аламбера и Даниэля Бернулли . Фурье ввел этот ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своем «Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les Corps Solides » ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ) 1807 года и опубликовав свою работу. Théorie analytique de la chaleur ( Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. В «Мемуаре» был представлен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Исследованиями Фурье был установлен факт, что произвольная (сначала непрерывная) а затем обобщается на любые кусочно -гладкие ) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое заявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . Ранние идеи разложения периодической функции в сумму простых осциллирующих функций относятся к III веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и ​​эпициклах .

Уравнение теплопроводности представляет собой уравнение в частных производных . До работы Фурье не было известно решение уравнения теплопроводности в общем случае, хотя были известны частные решения, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была синусоидальная или косинусоидальная волна . Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье заключалась в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позже Питер Густав Лежен Дирихле и Бернхард Риман выразил результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальная мотивация заключалась в решении уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы могут быть применены к широкому кругу математических и физических задач, особенно к тем, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами . Ряд Фурье имеет множество таких применений в электротехнике , вибрации анализе , акустике , оптике , обработке сигналов , обработке изображений , квантовой механике , эконометрике , теория оболочек , и т. д.

Начало

Жозеф Фурье писал:

$\varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .$

Умножив обе части на $\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}$, а затем интегрируя из $y=-1$ к $y=+1$ дает:

$a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.$

- Жозеф Фурье, Мемуары о распространении тепла в твердых телах . (1807)

Это немедленно дает любой коэффициент a _k тригонометрического ряда для φ( y ) для любой функции, имеющей такое разложение. Это работает, потому что если φ имеет такое разложение, то (при подходящих предположениях о сходимости) интеграл $${\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}$$может осуществляться по срокам. Но все термины, включающие $\cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}$ для j ≠ k исчезают при интегрировании от −1 до 1, оставляя только $k^{\text{th}}$ срок.

В этих нескольких строках, близких к современному формализму, используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Даламбером , Даниэлем Бернулли и Гауссом , Фурье считал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно — вопрос довольно тонкий, и многолетние попытки прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .

Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комитет (в который, среди прочих, входили Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр ) пришел к выводу: ...способ, которым автор пришел к этим уравнениям, не лишен трудностей и... его анализ по их объединению все еще оставляет желать лучшего с точки зрения общности и даже строгости .

Мотивация Фурье

Распределение тепла в металлической пластине по методу Фурье.

Разложение пилообразной функции в ряд Фурье (вверху) выглядит сложнее, чем простая формула $s(x)={\tfrac {x}{\pi }}$, поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивацией Фурье было решение уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата, стороны которого равны $\pi$ метров, с координатами $(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$. Если внутри пластины нет источника тепла и если на трех из четырех сторон поддерживается температура 0 градусов Цельсия, а на четвертой стороне, определяемой выражением $y=\pi$, поддерживается при градиенте температуры $T(x,\pi )=x$ градусов Цельсия, для $x$ в $(0,\pi )$, то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного периода времени) определяется выражением

$T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.$

Здесь sinh — гиперболический синус. Это решение уравнения теплопроводности получается путем умножения каждого члена уравнения 9 на $\sinh(ny)/\sinh(n\pi )$. Хотя наш пример функции $s(x)$ кажется, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла $T(x,y)$ является нетривиальным. Функция $T$ не может быть записано как выражение закрытой формы . Этот метод решения тепловой проблемы стал возможен благодаря работе Фурье.

Другие приложения

Другое применение — решение Базельской задачи с помощью теоремы Парсеваля . Пример обобщает, и можно вычислить ζ (2 n ) для любого положительного целого числа n .

Таблица обычных рядов Фурье

Некоторые распространенные пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже.

• $s(x)$ обозначает периодическую функцию с периодом $P$.
• $A_{0},A_{n},B_{n}$ обозначим коэффициенты ряда Фурье (синус-косинусной формы) периодической функции $s(x)$.

Временной интервал $s(x)$	Сюжет	Частотная область (синус-косинусная форма) ${\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$	Примечания	Ссылка
$s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}$	Полноволновой выпрямленный синус
$s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	Полупериодный выпрямленный синус
$s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$
$s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$
$s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}$

Таблица основных свойств

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

• Комплексное сопряжение отмечено звездочкой.
• $s(x),r(x)$ назначать $P$-периодические функции или функции, определенные только для $x\in [0,P].$
• $S[n],R[n]$ обозначим коэффициенты ряда Фурье (экспоненциальной формы) $s$ и $r.$

Свойство	Временной интервал	Частотная область (экспоненциальная форма)	Примечания	Ссылка
Линейность	$a\cdot s(x)+b\cdot r(x)$	$a\cdot S[n]+b\cdot R[n]$	$a,b\in \mathbb {C}$
Обращение времени/Обращение частоты	$s(-x)$	$S[-n]$
Сопряжение времени	$s^{*}(x)$	$S^{*}[-n]$
Обращение времени и сопряжение	$s^{*}(-x)$	$S^{*}[n]$
Реальная часть времени	$\operatorname {Re} {(s(x))}$	${\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])$
Мнимая часть времени	$\operatorname {Im} {(s(x))}$	${\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])$
Действительная часть по частоте	${\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))$	$\operatorname {Re} {(S[n])}$
Мнимая часть частоты	${\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))$	$\operatorname {Im} {(S[n])}$
Сдвиг во времени/Модуляция по частоте	$s(x-x_{0})$	$S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}$	$x_{0}\in \mathbb {R}$
Сдвиг частоты/модуляция во времени	$s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}$	$S[n-n_{0}]\!$	$n_{0}\in \mathbb {Z}$

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие:

${\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}$

Отсюда выявляются различные зависимости, например:

• Преобразование вещественной функции ( s _RE + s _RO ) представляет собой четную симметричную функцию S _RE + i S _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции ( i s _IE + i s _IO ) является нечетной симметричной функцией S _RO + i S _IE , и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции ( s _RE + i s _IO ) является действительной функцией S _RE + S _RO , и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( s _RO + i s _IE ) является мнимозначной функцией i S _IE + i S _IO , и обратное верно.

Другие объекты недвижимости

Лемма Римана – Лебега.

Если $S$ является интегрируемым , ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$, ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ и ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$ Этот результат известен как лемма Римана–Лебега .

Теорема Парсеваля

Основная статья: теорема Парсеваля

Если $s$ принадлежит $L^{2}(P)$ (периодический на интервале длины $P$) затем : ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

Теорема Планшереля

Основная статья: Теорема Планшереля

Если $c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots$ являются коэффициентами и ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ тогда есть уникальная функция $s\in L^{2}(P)$ такой, что $S[n]=c_{n}$ для каждого $n$.

Теоремы свертки

Основная статья: Теорема о свертке § Периодическая свертка (коэффициенты ряда Фурье)

Данный $P$-периодические функции, $s_{_{P}}$ и $r_{_{P}}$ с коэффициентами ряда Фурье $S[n]$ и $R[n],$ $n\in \mathbb {Z} ,$

• Точечное произведение : $$h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)$$ также $P$-периодический, а коэффициенты его ряда Фурье задаются дискретной сверткой $S$ и $R$ последовательности : $$H[n]=\{S*R\}[n].$$
• Периодическая свертка : $$h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau$$ также $P$-периодический, с коэффициентами ряда Фурье : $$H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].$$
• Двойно бесконечная последовательность $\left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}$ в $c_{0}(\mathbb {Z} )$ – это последовательность коэффициентов Фурье функции из $L^{1}([0,2\pi ])$ тогда и только тогда, когда это свертка двух последовательностей в $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$. Видеть

Производное свойство

Мы говорим, что $s$ принадлежит $C^{k}(\mathbb {T} )$ если $s$ является 2 π -периодической функцией на $\mathbb {R}$ который $k$ раз дифференцируема, и ее $k^{\text{th}}$ производная непрерывна.

• Если $s\in C^{1}(\mathbb {T} )$, то коэффициенты Фурье ${\widehat {s'}}[n]$ производной $s'$ может быть выражено через коэффициенты Фурье ${\widehat {s}}[n]$ функции $s$, по формуле ${\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]$.
• Если $s\in C^{k}(\mathbb {T} )$, затем ${\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]$. В частности, поскольку для фиксированного $k\geq 1$ у нас есть ${\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0$ как $n\to \infty$, отсюда следует, что $|n|^{k}{\widehat {s}}[n]$ стремится к нулю, а это означает, что коэффициенты Фурье сходятся к нулю быстрее, чем k -я степень n при любом $k\geq 1$.

Компактные группы

Основные статьи: Компактная группа , группа Ли и теорема Питера – Вейля.

Одним из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упомянули, является то, что оно выполняет свертки с точечными произведениями. Если это свойство, которое мы стремимся сохранить, то можно построить ряд Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают те классические группы , которые компактны. Это обобщает преобразование Фурье на все пространства вида L ² ( G ), где G — компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переносит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю [− π , π ] .

Альтернативным расширением компактных групп является теорема Питера-Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные таковым о конечных группах.

Атомные орбитали химии по частично описываются сферическими гармониками , которые можно использовать для построения рядов Фурье сфере .

Римановы многообразия

Основные статьи: оператор Лапласа и риманово многообразие

Если область определения не является группой, то не существует внутренне определенной свертки. Однако, если $X$ — компактное риманово многообразие , оно имеет оператор Лапласа–Бельтрами . Оператор Лапласа–Бельтрами — это дифференциальный оператор, соответствующий оператору Лапласа для риманова многообразия. $X$. Тогда по аналогии можно рассмотреть уравнения теплопроводности на $X$. Поскольку Фурье пришел к своему базису, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование в качестве основы собственных решений оператора Лапласа – Бельтрами. Это обобщает ряды Фурье на пространства типа $L^{2}(X)$, где $X$ является римановым многообразием. Ряд Фурье сходится аналогично $[-\pi ,\pi ]$ случай. Типичный пример — взять $X$ быть сферой с обычной метрикой, и в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник .

Локально компактные абелевы группы

Основная статья: Двойственность Понтрягина

Обсужденное выше обобщение на компактные группы не распространяется на некомпактные неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA) .

Это обобщает преобразование Фурье до $L^{1}(G)$ или $L^{2}(G)$, где $G$ является группой LCA. Если $G$ компактен, то также получается ряд Фурье, сходящийся аналогично $[-\pi ,\pi ]$ случай, но если $G$ некомпактно, вместо этого получается интеграл Фурье . Это обобщение дает обычное преобразование Фурье , когда лежащая в основе локально компактная абелева группа равна $\mathbb {R}$.

Расширения

Ряд Фурье по квадрату

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных $x$ и $y$ на площади $[-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$: $${\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}$$

Помимо того, что ряд Фурье по квадрату полезен для решения уравнений в частных производных, таких как уравнение теплопроводности, одним из заметных применений ряда Фурье по квадрату является сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений JPEG использует двумерное дискретное косинусное преобразование — дискретную форму косинусного преобразования Фурье , которая в качестве базовой функции использует только косинус.

Для двумерных массивов с шахматным видом половина коэффициентов ряда Фурье исчезает из-за дополнительной симметрии.

Ряд Фурье периодической функции решетки Браве

Трехмерная решетка Браве определяется как набор векторов вида: $$\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$$где $n_{i}$ являются целыми числами и $\mathbf {a} _{i}$ — три линейно независимых вектора. Предположим, у нас есть некоторая функция, $f(\mathbf {r} )$, такой, что он подчиняется условию периодичности для любого вектора решетки Браве $\mathbf {R}$, $f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )$, мы могли бы составить из него ряд Фурье. Такой функцией может быть, например, эффективный потенциал, который «чувствует» один электрон внутри периодического кристалла. Полезно составить ряд Фурье потенциала при применении теоремы Блоха . Во-первых, мы можем написать любой произвольный вектор положения $\mathbf {r}$ в системе координат решетки: $$\mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},$$где $a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,$ это означает, что $a_{i}$ определяется как величина $\mathbf {a} _{i}$, так ${\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}$ – единичный вектор, направленный вдоль $\mathbf {a} _{i}$.

Таким образом, мы можем определить новую функцию, $$g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).$$

Эта новая функция, $g(x_{1},x_{2},x_{3})$, теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность $a_{1}$, $a_{2}$, и $a_{3}$ соответственно: $$g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).$$

Это позволяет нам построить набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами. $m_{1},m_{2},m_{3}$. Далее для обозначения этих коэффициентов мы будем использовать функциональные обозначения, тогда как ранее мы использовали индексы. Если мы напишем серию для $g$ на интервале $\left[0,a_{1}\right]$ для $x_{1}$, мы можем определить следующее: $$h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}$$

И тогда мы можем написать: $$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}$$

Дальнейшее определение: $${\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}$$

Мы можем написать $g$ еще раз как: $$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}$$

Наконец, применив то же самое к третьей координате, мы определяем: $${\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}$$

Мы пишем $g$ как: $$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}$$

Перестановка: $$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.$$

Теперь каждый вектор обратной решетки можно записать (но это не означает, что это единственный способ записи) как $\mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}$, где $m_{i}$ являются целыми числами и $\mathbf {g} _{i}$ являются векторами обратной решетки, удовлетворяющими $\mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}$ ( $\delta _{ij}=1$ для $i=j$, и $\delta _{ij}=0$ для $i\neq j$). Тогда для любого произвольного вектора обратной решетки $\mathbf {G}$ и произвольный вектор положения $\mathbf {r}$ в исходном пространстве решетки Браве их скалярное произведение равно: $$\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).$$

Итак, ясно, что в нашем расширении $g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )$, сумма на самом деле ведется по векторам обратной решетки: $$f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },$$

где $$h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.$$

Предполагая $$\mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},$$мы можем решить эту систему трех линейных уравнений относительно $x$, $y$, и $z$ с точки зрения $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$ для расчета элемента объема в исходной прямоугольной системе координат. Как только у нас есть $x$, $y$, и $z$ с точки зрения $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$, мы можем вычислить определитель Якобиана : $${\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}$$который после некоторых вычислений и применения некоторых нетривиальных тождеств векторного произведения может быть показан как равный: $${\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}$$

(может быть выгодно в целях упрощения расчетов работать в такой прямоугольной системе координат, в которой так уж получилось, что $\mathbf {a} _{1}$ параллельно оси x , $\mathbf {a} _{2}$ лежит в плоскости xy , а $\mathbf {a} _{3}$ имеет компоненты всех трех осей). Знаменатель - это в точности объем примитивной элементарной ячейки, заключенной в три примитивных вектора. $\mathbf {a} _{1}$, $\mathbf {a} _{2}$ и $\mathbf {a} _{3}$. В частности, теперь мы знаем, что $$dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.$$

Мы можем написать сейчас $h(\mathbf {G} )$ как интеграл с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, а не с $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$ переменные: $$h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }$$письмо $d\mathbf {r}$ для элемента объема $dx\,dy\,dz$; и где $C$ является примитивной элементарной ячейкой, таким образом, $\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})$ - объем примитивной элементарной ячейки.

Интерпретация гильбертова пространства

Основная статья: Гильбертово пространство

На языке гильбертовых пространств множество функций $\left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}$ является ортонормированным базисом пространства $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ функций, интегрируемых с квадратом на $[-\pi ,\pi ]$. Это пространство на самом деле является гильбертовым пространством со скалярным произведением, заданным для любых двух элементов. $f$ и $g$ к:

$\langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,$ где $g^{*}(x)$ представляет собой комплексное сопряжение $g(x).$

Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств можно записать как

$f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.$

Синусы и косинусы образуют ортогональный набор, как показано выше. Интеграл синуса, косинуса и их произведения равен нулю (зеленая и красная области равны и взаимно сокращаются), когда $m$, $n$ или функции различны, и π только в том случае, если $m$ и $n$ равны, и используемая функция одна и та же. Они образовали бы ортонормированный набор, если бы интеграл равнялся 1 (т. е. каждую функцию нужно было бы масштабировать на $1/{\sqrt {\pi }}$).

Это в точности соответствует комплексной экспоненциальной формулировке, приведенной выше. Версия с синусами и косинусами обоснована и интерпретацией гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор : $$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,$$$$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$$(где δ _mn — дельта Кронекера ), а $$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;$$при этом синусы и косинусы ортогональны постоянной функции $1$. Ортонормированный базис для $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ состоящий из вещественных функций, образован функциями $1$ и ${\sqrt {2}}\cos(nx)$, ${\sqrt {2}}\sin(nx)$ с n = 1,2,.... Плотность их оболочки является следствием теоремы Стоуна – Вейерштрасса , но следует также из свойств классических ядер, таких как ядро ​​Фейера .

Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье

Основная статья: Сходимость ряда Фурье

Эти теоремы и их неформальные вариации, в которых не указаны условия сходимости, иногда в общем называются теоремой Фурье или теоремой Фурье .

Предыдущее уравнение 3 :

$s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},$

представляет собой тригонометрический полином степени $N$ в общем виде это можно выразить так :

$p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.$

Свойство наименьших квадратов

Теорема Парсеваля подразумевает, что:

Теорема . Тригонометрический полином. $s_{_{N}}$ — единственный лучший тригонометрический полином степени $N$ аппроксимирующий $s(x)$, в том смысле, что для любого тригонометрического полинома $p_{_{N}}\neq s_{_{N}}$ степени $N$, у нас есть: $$\|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},$$где норма гильбертова пространства определяется как: $$\|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.$$

Теоремы сходимости

Смотрите также: феномен Гиббса

Благодаря свойству метода наименьших квадратов и полноте базиса Фурье мы получаем элементарный результат сходимости.

Теорема — Если $s$ принадлежит $L^{2}(P)$ (интервал длиной $P$), затем $s_{\infty }$ сходится к $s$ в $L^{2}(P)$, то есть, $\|s_{_{N}}-s\|_{2}$ сходится к 0 как $N\to \infty$.

Мы уже упоминали, что если $s$ непрерывно дифференцируемо, то $(i\cdot n)S[n]$ это $n^{\text{th}}$ Коэффициент Фурье производной $s'$. следует, по существу Из неравенства Коши–Шварца , что $s_{\infty }$ абсолютно суммируема. Сумма этого ряда представляет собой непрерывную функцию, равную $s$, поскольку ряд Фурье сходится в среднем к $s$:

Теорема — Если $s\in C^{1}(\mathbb {T} )$, затем $s_{\infty }$ сходится к $s$ равномерно (а значит, и поточечно ).

Этот результат легко доказать, если $s$ далее предполагается, что $C^{2}$, поскольку в этом случае $n^{2}S[n]$ стремится к нулю, так как $n\rightarrow \infty$. В более общем смысле, ряд Фурье абсолютно суммируем, поэтому сходится равномерно к $s$, при условии, что $s$ удовлетворяет Гёльдера условию порядка $\alpha >1/2$. В абсолютно суммируемом случае неравенство:

$\sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|$

доказывает равномерную сходимость.

многие другие результаты, касающиеся сходимости рядов Фурье , начиная от довольно простого результата о том, что ряд сходится при Известны $x$ если $s$ дифференцируема в $x$, к гораздо более сложному результату Леннарта Карлесона , чем ряд Фурье $L^{2}$ функция фактически сходится почти везде .

Дивергенция

Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T -периодической функции не обязательно сходится поточечно. Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта.

В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью под названием «Серия Фурье-Лебега, расходящаяся presque partout» , в которой привел пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позже он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду.

См. также

• Теорема ATS
• Теорема Карлесона
• Ядро Дирихле
• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Теорема Фейера
• Фурье-анализ
• Ряд Фурье по синусу и косинусу
• Преобразование Фурье
• Феномен Гиббса
• Ряд Фурье половинного диапазона
• Ряд Лорана – замена q = e ^ix преобразует ряд Фурье в ряд Лорана и наоборот. Это используется в q в ряд разложении j -инварианта .
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Спектральная теория
• Теория Штурма – Лиувилля
• по теореме о вычетах Интегралы от f ( z ), особенности, полюса

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Уильям Э. Бойс; Ричард К. ДиПрима (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. Нью-Джерси: ISBN  0-471-43338-1 .
• Джозеф Фурье, перевод Александра Фримена (2003). Аналитическая теория тепла . Дуврские публикации. ISBN  0-486-49531-0 . Полное переиздание 2003 года английского перевода Александра Фримена 1878 года работы Фурье Théorie Analytique de la Chaleur , первоначально опубликованного в 1822 году.
• Энрике А. Гонсалес-Веласко (1992). «Связи в математическом анализе: случай рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 427–441. дои : 10.2307/2325087 . JSTOR   2325087 .
• Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Курьер. ISBN  978-0-486-43261-8 .
• Феликс Кляйн , Развитие математики в XIX веке . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Перевод М. Акермана из «Лекций по развитию математики в XIX веке» , Springer, Берлин, 1928.
• Вальтер Рудин (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc. ISBN  0-07-054235-Х .
• А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-89053-5 . Первое издание вышло в 1935 году.

Внешние ссылки

• «Ряды Фурье» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хобсон, Эрнест (1911). «Ряд Фурье» . Британская энциклопедия . Том. 10 (11-е изд.). стр. 753–758.
• Вайсштейн, Эрик В. «Ряд Фурье» . Математический мир .
• Жозеф Фурье - сайт о жизни Фурье, который использовался для исторического раздела этой статьи в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2001 г.).

В эту статью включен материал из примера серии Фурье на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .