Ортонормальность

В линейной алгебре два вектора в пространстве внутреннего произведения являются ортонормированными , если они являются ортогональными единичными векторами . Единичный вектор означает, что вектор имеет длину 1, которая также называется нормализованной. Ортогональность означает, что все векторы перпендикулярны друг другу. Набор векторов образует ортонормированный набор , если все векторы в наборе взаимно ортогональны и все имеют единичную длину. Ортонормированный набор, образующий базис, называется ортонормированным базисом .

Интуитивный обзор

Построение ортогональности векторов мотивировано желанием распространить интуитивное понятие перпендикулярных векторов на пространства более высокой размерности. В декартовой плоскости два вектора называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90° (т. е. если они образуют прямой угол ). Это определение можно формализовать в декартовом пространстве, определив скалярное произведение и указав, что два вектора на плоскости ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Точно так же построение нормы вектора мотивировано желанием распространить интуитивное представление о длине вектора на пространства более высокой размерности. В декартовом пространстве нормой вектора является квадратный корень из вектора, разделенного точками. То есть,

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$

Многие важные результаты в линейной алгебре связаны с наборами двух или более ортогональных векторов. Но зачастую проще иметь дело с векторами единичной длины . То есть часто упрощается рассмотрение только векторов, норма которых равна 1. Идея ограничения ортогональных пар векторов только парами единичной длины достаточно важна, чтобы ей дали специальное имя. Два вектора, ортогональные и имеющие длину 1, называются ортонормированными .

Простой пример

Как выглядит пара ортонормированных векторов в двумерном евклидовом пространстве?

Пусть u = (x ₁ , y ₁ ) и v = (x ₂ , y ₂ ).Рассмотрим ограничения на x ₁ , x ₂ , y ₁ , y _2, необходимые для того, чтобы u и v образовали ортонормированную пару.

• Из ограничения ортогональности u • v = 0.
• Из ограничения единичной длины на u , || ты || = 1.
• Из ограничения на единичную длину v , || в || = 1.

Разложение этих членов дает 3 уравнения:

1. $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
2. ${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
3. ${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$

Преобразование декартовых координат в полярные и рассмотрение уравнения $(2)$ и уравнение $(3)$ немедленно дает результат r ₁ = r ₂ = 1. Другими словами, требование, чтобы векторы имели единичную длину, ограничивает векторы лежащими на единичной окружности .

После замены уравнение $(1)$ становится $\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0$. Перестановка дает $\tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}$. Использование тригонометрического тождества для преобразования котангенса дает

$\tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

$\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}$

Понятно, что на плоскости ортонормированные векторы представляют собой просто радиусы единичной окружности, разность углов которых равна 90°.

Определение

Позволять ${\mathcal {V}}$ быть пространством внутреннего продукта . Набор векторов

$\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}$

называется ортонормированным тогда и только тогда, когда

$\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}$

где $\delta _{ij}\,$ это дельта Кронекера и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ внутренний продукт, определенный по ${\mathcal {V}}$.

Значение

Ортонормированные множества сами по себе не имеют особого значения. Однако они обладают определенными особенностями, которые делают их фундаментальными при изучении понятия диагонализуемости некоторых операторов в векторных пространствах.

Характеристики

Ортонормированные множества обладают некоторыми очень привлекательными свойствами, благодаря которым с ними особенно легко работать.

• Теорема . Если { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } — ортонормированный список векторов, то $$\forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}$$
• Теорема . Каждый ортонормированный список векторов линейно независим .

Существование

• Теорема Грама-Шмидта . Если { v ₁ , v ₂ ,..., v _n } — линейно независимый список векторов в пространстве внутреннего произведения ${\mathcal {V}}$, то существует ортонормированный список { e ₁ , e ₂ ,..., en _} векторов из ${\mathcal {V}}$ такой, что пролет ( е ₁ , е ₂ ,..., е _п ) = пролет ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n ).

Доказательство теоремы Грама-Шмидта является конструктивным и подробно обсуждается в другом месте. Теорема Грама-Шмидта вместе с аксиомой выбора гарантирует, что каждое векторное пространство допускает ортонормированный базис. Возможно, это наиболее значимое использование ортонормированности, поскольку этот факт позволяет операторы обсуждать в пространствах скалярных произведений с точки зрения их действия на ортонормированные базисные векторы пространства. В результате возникает глубокая связь между диагонализуемостью оператора и тем, как он действует на ортонормированные базисные векторы. Эта связь характеризуется Спектральной Теоремой .

Примеры

Стандартная основа

Стандартный базис координатного пространства F ^н является

{ е 1 , е 2 ,..., е н } где	е 1 = (1, 0, ..., 0)
	е 2 = (0, 1, ..., 0)
	$\vdots$
	е н = (0, 0, ..., 1)

Любые два вектора e _i , e _j, где i≠j, ортогональны, и все векторы явно имеют единичную длину. Итак, { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } образует ортонормированный базис.

Вещественные функции

При обращении к с действительным знаком функциям обычно L² предполагается внутренний продукт , если не указано иное. Две функции $\phi (x)$ и $\psi (x)$ ортонормированы на интервале $[a,b]$ если

$(1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}$

$(2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.$

ряд Фурье

Ряд Фурье — это метод выражения периодической функции через синусоидальные базисные функции.Взяв C [−π,π] за пространство всех действительных функций, непрерывных на интервале [−π,π], и приняв скалярное произведение за

$\langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx$

можно показать, что

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N}$

образует ортонормированное множество.

Однако это не имеет большого значения, поскольку C [−π,π] бесконечномерен и конечный набор векторов не может его охватывать. Но удаление ограничения на конечность n делает множество плотным в C [−π,π] и, следовательно, ортонормированным базисом C [−π,π].

См. также

• Ортогонализация
• Ортонормированная функциональная система

Источники

• Экслер, Шелдон (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 106–110 , ISBN  978-0-387-98258-8
• Чен, Вай-Кай (2009), Основы схем и фильтров (3-е изд.), Бока-Ратон : CRC Press , стр. 62 , ISBN  978-1-4200-5887-1