Сходимость ряда Фурье

В математике вопрос о том, ли ряд Фурье к периодической функции сходится заданной функции, исследуется в области, известной как классический гармонический анализ , раздел чистой математики . В общем случае сходимость не обязательно задана, и для того, чтобы сходимость имела место, должны соблюдаться определенные критерии.

Определение сходимости требует понимания поточечной сходимости , равномерной сходимости , абсолютной сходимости , L ^п пространства , методы суммирования и среднее Чезаро .

Предварительные сведения

Рассмотрим f функцию интегрируемую на интервале [0, 2 π ] . Для такого f Фурье коэффициенты ${\widehat {f}}(n)$ определяются по формуле

${\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,\mathrm {d} t,\quad n\in \mathbb {Z} .$

принято описывать формулой Связь между f и его рядом Фурье

$f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.$

Обозначение ~ здесь означает, что сумма в некотором смысле представляет функцию. Чтобы исследовать это более тщательно, необходимо определить частичные суммы:

$S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.$

Вопрос о том, сходится ли ряд Фурье, заключается в следующем: являются ли функции $S_{N}(f)$ (которые являются функциями переменной t, которую мы опустили в обозначениях) сходятся к f и в каком смысле? Существуют ли условия на f, обеспечивающие тот или иной тип сходимости?

Прежде чем продолжить, ядро ​​Дирихле необходимо представить . Взяв формулу для ${\widehat {f}}(n)$, подставив его в формулу для $S_{N}$ и выполнение некоторой алгебры дает это

$S_{N}(f)=f*D_{N}$

где ∗ означает периодическую свертку , а $D_{N}$ — ядро ​​Дирихле, имеющее явную формулу:

$D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.$

Ядро Дирихле не является положительным ядром, и фактически его норма расходится, а именно

$\int |D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t\to \infty$

факт, который играет решающую роль в дискуссии. Норма D _n в L ¹ ( T ) совпадает с нормой оператора свертки с D _n ,действующий на пространстве C ( T ) периодических непрерывных функций, или с нормой линейного функционала f ( Sn _→ f )(0) на C ( T ). Следовательно, это семейство линейных функционалов на C ( T ) неограничено при n → ∞.

коэффициентов

В приложениях часто бывает полезно знать величину коэффициента Фурье.

Если $f$ является абсолютно непрерывной функцией,

$\left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}$

для $K$ константа, которая зависит только от $f$.

Если $f$ — функция ограниченной вариации ,

$\left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.$

Если $f\in C^{p}$

$\left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.$

Если $f\in C^{p}$ и $f^{(p)}$ имеет модуль непрерывности $\omega _{p}$,

$\left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}$

и поэтому, если $f$ находится в α- классе Гёльдера

$\left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.$

Поточечная сходимость

Суперпозиция базисных функций синусоидальной волны (внизу) для формирования пилообразной волны (вверху); базисные функции имеют длину волны λ/ k ( k = целое число) короче длины волны λ самой пилообразной формы (за исключением k = 1). Все базисные функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, но все, кроме фундаментальных, имеют дополнительные узлы. Колебания вокруг пилообразной формы называются феноменом Гиббса.

Существует множество известных достаточных условий для того, чтобы ряд Фурье функции сходился в данной точке x , например, если функция дифференцируема в точке x . Даже скачок разрыва не представляет проблемы: если функция имеет левую и правую производные в точке x , то ряд Фурье сходится к среднему значению левого и правого пределов (но см. феномен Гиббса ).

Критерий Дирихле – Дини утверждает, что: если ƒ равно 2 π – периодично, локально интегрируемо и удовлетворяет

$\int _{0}^{\pi }\left|{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell \right|{\frac {\mathrm {d} t}{t}}<\infty ,$

тогда (S _n f )( x ₀ ) сходится к ℓ. Отсюда следует, что для любой функции f любого класса Гельдера α > 0 ряд Фурье всюду сходится к f ( x ).

Известно также, что для любой периодической функции ограниченной вариации ряд Фурье сходится всюду. См. также тест Дини .В общем, наиболее распространенными критериями поточечной сходимости периодической функции f являются следующие:

• Если f удовлетворяет условию Гёльдера, то его ряд Фурье сходится равномерно.
• Если f имеет ограниченную вариацию, то ее ряд Фурье сходится всюду.
• Если f непрерывна и ее коэффициенты Фурье абсолютно суммируемы, то ряд Фурье сходится равномерно.

Существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых сходится поточечно, но не равномерно; см. Антони Зигмунд, Тригонометрические ряды , т. 1, с. 1, глава 8, теорема 1.13, с. 300.

Однако ряд Фурье непрерывной функции не обязательно сходится поточечно. Возможно, самое простое доказательство использует неограниченность ядра Дирихле в L ¹ ( T Банаха–Штайнхауза ) и принцип равномерной ограниченности . Как это типично для аргументов существования, ссылающихся на теорему Бэра о категориях , это доказательство неконструктивно. Он показывает, что семейство непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится при заданном x, имеет первую категорию Бэра в банаховом пространстве непрерывных функций на окружности.

Таким образом, в некотором смысле поточечная сходимость нетипична , и для большинства непрерывных функций ряд Фурье не сходится в данной точке. Однако теорема Карлесона показывает, что для данной непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

Также можно привести явные примеры непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в точке 0: например, четная и 2π-периодическая функция f, определенная для всех x в [0,π] формулой

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].$

конвергенция

Предполагать $f\in C^{p}$, и $f^{(p)}$ имеет модуль непрерывности $\omega$; то частичные суммы ряда Фурье сходятся к функции со скоростью

$|f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N)$

для постоянного $K$ это не зависит от $f$, ни $p$, ни $N$.

Эта теорема, впервые доказанная Д. Джексоном, говорит, например, что если $f$ удовлетворяет $\alpha$- условие Гельдера , тогда

$|f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}.$

Если $f$ является $2\pi$ периодическое и абсолютно непрерывное $[0,2\pi ]$, то ряд Фурье $f$ сходится равномерно, но не обязательно абсолютно, к $f$.

Абсолютная

Функция ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, если

$\|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .$

Очевидно, что если это условие выполнено, то $(S_{N}f)(t)$ сходится абсолютно для любого t и, с другой стороны, достаточно, чтобы $(S_{N}f)(t)$ сходится абсолютно даже для одного t , то этоусловие выполняется. Другими словами, для абсолютной сходимости не существует вопроса о том, где сумма сходится абсолютно — если она сходится абсолютно в одной точке, то она сходится везде.

Семейство всех функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье является банаховой алгеброй (операция умножения в алгебре представляет собой простое умножение функций). Она называется алгеброй Винера в честь Норберта Винера , который доказал, что если ƒ имеет абсолютно сходящиеся Фурьеряд и никогда не равен нулю, то 1/ ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Первоначальное доказательство теоремы Винера было трудным; упрощение с использованием теории банаховых алгебр было дано Израилем Гельфандом . Наконец, короткое элементарное доказательство было дано Дональдом Дж. Ньюманом в 1975 году.

Если $f$ принадлежит α-классу Гёльдера при α > 1/2, то

$\|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},\qquad \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2}$

для $\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}$ константа в условие Гёльдера , $c_{\alpha }$ константа, зависящая только от $\alpha$; $\|f\|_{K}$ является нормой алгебры Крейна. Заметим, что 1/2 здесь существенна — существуют 1/2-гёльдеровы функции, не принадлежащие алгебре Винера. Кроме того, эта теорема не может улучшить наиболее известную оценку размера коэффициента Фурье α-функции Гёльдера, т.е. $O(1/n^{\alpha })$ и тогда не суммируется.

Если ƒ имеет ограниченную вариацию и принадлежит α-классу Гёльдера для некоторого α > 0, то он принадлежит алгебре Винера.

Сближение норм

Самый простой случай — L ² , что является прямой транскрипцией общих результатов о гильбертовом пространстве . Согласно теореме Рисса–Фишера , если ƒ интегрируемо с квадратом , то

$\lim _{N\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=0$

то есть , $S_{N}f$ сходится к ƒ по норме L ² . Легко видеть, что верно и обратное: если приведенный выше предел равен нулю, ƒ должен находиться в L ² . Итак, это условие «если и только если» .

Если 2 в приведенных выше показателях заменить на некоторое p , вопрос станет намного сложнее. Оказывается, сходимость сохраняется, если 1 < p < ∞. Другими словами, для ƒ в L ^п ,  $S_{N}(f)$ сходится к ƒ в L ^п норма. Исходное доказательство использует свойства голоморфных функций и пространств Харди , а другое доказательство, принадлежащее Саломону Бохнеру, основано на интерполяционной теореме Рисса–Торина . Для p = 1 и бесконечности результат неверен. Построение примера дивергенции в L ¹ впервые сделал Андрей Колмогоров (см. ниже). Для бесконечности результат является следствием принципа равномерной ограниченности .

Если оператор частичного суммирования SN _{полученной} заменить подходящим ядром суммируемости (например, суммой Фейера, сверткой с ядром Фейера ), можно применить основные методы функционального анализа, чтобы показать, что сходимость по норме имеет место для 1 ≤ p < ∞.

Конвергенция почти везде

ряд Фурье любой непрерывной функции, Вопрос о том, сходится ли почти всюду был поставлен Николаем Лусиным в 1920-е годы.Он был положительно решен в 1966 году Леннартом Карлесоном . Его результат, ныне известный как теорема Карлесона , описывает разложение Фурье любой функции из L. ² сходится почти везде. Позже Ричард Хант обобщил это на L. ^п для любого р > 1.

Напротив, Андрей Колмогоров , будучи студентом в 19 лет, в своей первой же научной работе построил пример функции из L ¹ ряд Фурье которого расходится почти всюду (позже усовершенствованный, чтобы расходиться всюду).

Жан-Пьер Кахан и Ицхак Кацнельсон доказали, что для любого заданного множества E существует нулевой меры непрерывная функция ƒ такая, что ряд Фурье для ƒ не сходится ни в одной точке.Э. ​ ​

Суммируемость

Сходится ли последовательность 0,1,0,1,0,1,... (частичные суммы ряда Гранди ) к 1/2 ​ ​ ? Это не кажется необоснованным обобщением понятия конвергенции. Поэтому мы говорим, что любая последовательность $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ суммируем ли Чезаро с некоторым a if

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=a.$

Где с $s_{k}$ обозначим k- ю частичную сумму :

$s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}$

Нетрудно видеть, что если последовательность сходится к некоторому а , то она также суммируема к нему по Чезаро.

Чтобы обсудить суммируемость рядов Фурье, мы должны заменить $S_{N}$ с соответствующим понятием. Следовательно, мы определяем

$K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N\geq 1,$

и спросить: делает $K_{N}(f)$ сходятся к f ? $K_{N}$ больше нетсвязанный не с ядром Дирихле, а с ядром Фейера , а именно

$K_{N}(f)=f*F_{N}\,$

где $F_{N}$ также ядро ​​Фейера,

$F_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.$

Основное отличие состоит в том, что ядро ​​Фейера является положительным ядром. Теорема Фейера утверждает, что приведенная выше последовательность частичных сумм сходится равномерно к ƒ . Это подразумевает гораздо лучшие свойства сходимости.

• Если ƒ непрерывен в момент t , то ряд Фурье для ƒ суммируем в точке t до ƒ ( t ). Если ƒ непрерывен, его ряд Фурье равномерно суммируем (т.е. $K_{N}(f)$ сходится равномерно к ƒ ).
• Для любого ƒ интегрируемого $K_{N}(f)$ сходится к ƒ в $L^{1}$ норма.
• Феномена Гиббса не существует.

Результаты о суммируемости также могут подразумевать результаты о регулярной сходимости. Например, мы узнаем, что если ƒ непрерывен в момент t , то ряд Фурье ƒ не может сходиться к значению, отличному от ƒ ( t ). Она может либо сходиться к ƒ ( t ), либо расходиться. Это потому, что, если $S_{N}(f;t)$ сходится к некоторому значению x , оно также суммируемо к нему, поэтому из первого свойства суммируемости, приведенного выше, x = ƒ ( t ).

Порядок роста

Порядок роста ядра Дирихле логарифмический, т.е.

$\int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log N+O(1).$

См. обозначение Big O для обозначения O (1). Фактическая стоимость $4/\pi ^{2}$ одновременно трудно вычислить (см. Зигмунд 8.3) и практически бесполезно. Тот факт, что для некоторой постоянной c мы имеем

$\int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t>c\log N+O(1)$

совершенно ясно, если рассмотреть график ядра Дирихле. Интеграл по n -му пику больше, чем c / n, и поэтому оценка суммы гармоник дает логарифмическую оценку.

Эта оценка влечет за собой количественные версии некоторых предыдущих результатов. Для любой непрерывной функции f и любого t имеет место

$\lim _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0.$

Однако для любого порядка роста ω( n и можно найти непрерывную функцию f такую, что для некоторого t ), меньшего log, это уже не так ,

$\varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty .$

Эквивалентная задача о дивергенции всюду открыта. Сергею Конягину удалось построить интегрируемую функцию такую, что для каждого t имеется

$\varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\sqrt {\log N}}}=\infty .$

Неизвестно, является ли этот пример наилучшим. Единственная известная граница с другого направления — это log n .

Несколько измерений

При исследовании эквивалентной задачи более чем в одном измерении необходимо указать точный порядок суммирования, который используется. Например, в двух измерениях можно определить

$S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}{\widehat {f}}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2})}$

которые известны как «квадратные частичные суммы». Заменив приведенную выше сумму на

$\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}$

приводят к «круговым частичным суммам». Разница между этими двумя определениями весьма заметна. Например, норма соответствующего ядра Дирихле для частичных квадратных сумм имеет порядок $\log ^{2}N$ в то время как для круговых частичных сумм он имеет порядок ${\sqrt {N}}$.

Многие результаты, верные для одного измерения, неверны или неизвестны в нескольких измерениях. В частности, эквивалент теоремы Карлесона все еще открыт для круговых частичных сумм. Почти повсеместно сходимость «квадратных частичных сумм» (а также более общих многоугольных частичных сумм) в нескольких измерениях была установлена ​​примерно в 1970 году Чарльзом Фефферманом .

Ссылки

Учебники

• Данхэм Джексон. Теория аппроксимации , публикация коллоквиума AMS, том XI, Нью-Йорк, 1930.
• Нина К. Бэри, Трактат о тригонометрических рядах , Vols. Я, II. Авторизованный перевод Маргарет Ф. Маллинз. Книга Пергамской прессы. Компания Macmillan Co., Нью-Йорк, 1964 год.
• Антони Зигмунд, Тригонометрический ряд , Том. Я, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. ISBN   0-521-89053-5
• Ицхак Кацнельсон, Введение в гармонический анализ , Третье издание. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2004. ISBN   0-521-54359-2
• Карл Р. Стромберг, Введение в классический анализ , Wadsworth International Group, 1981. ISBN   0-534-98012-0

В книге Кацнельсона из трех использована самая современная терминология и стиль. Первоначальные даты публикации: Зигмунд в 1935 году, Бари в 1961 году и Кацнельсон в 1968 году. Однако книга Зигмунда была значительно расширена во второй публикации в 1959 году.

Статьи, упомянутые в тексте

• Поль дю Буа-Реймон , «О рядах Фурье», Новости. Ge.Sci. Геттинген 21 (1873), 571–582.

Это первое доказательство того, что ряд Фурье непрерывной функции может расходиться. На немецком языке

• Андрей Колмогоров , «Одна серия расходящихся преск-парту Фурье – Лебега», Fundamentals of Mathematics 4 (1923), 324–328.
• Андрей Колмогоров, “Ряд Фурье–Лебега, всюду расходящийся”, ЧР акад. наук. Париж 183 (1926), 1327–1328 гг.

Первый представляет собой конструкцию интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Второе — повсеместное усиление дивергенции. На французском языке.

• Леннарт Карлесон , «О сходимости и росте частичных сумм рядов Фурье», Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Ричард А. Хант , «О сходимости рядов Фурье», Ортогональные разложения и их непрерывные аналоги (Proc. Conf., Эдвардсвилл, Иллинойс, 1967), 235–255. Университет Южного Иллинойса. Пресс, Карбондейл, Иллинойс.
• Чарльз Луи Фефферман , «Поточечная сходимость рядов Фурье», Ann. математики. 98 (1973), 551–571.
• Майкл Лейси и Кристоф Тиле , «Доказательство ограниченности оператора Карлесона», Math. Рез. Летт. 7:4 (2000), 361–370.
• Оле Г. Йорсбо и Лейф Мейлбро, Теорема Карлесона – Ханта о рядах Фурье . Конспекты лекций по математике 911, Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN   3-540-11198-0

Это оригинальная статья Карлесона, в которой он доказывает, что разложение Фурье любой непрерывной функции сходится почти всюду; статью Ханта, где он обобщает ее на $L^{p}$ пространства; две попытки упростить доказательство; и книга, которая дает самостоятельную экспозицию этого.

• Данэм Джексон , Ряды Фурье и ортогональные полиномы , 1963 г.
• DJ Ньюман, «Простое доказательство теоремы Винера 1/f», Proc. амер. Математика. Соц. 48 (1975), 264–265.
• Жан-Пьер Кахан и Ицхак Кацнельсон , «О множествах расходимости тригонометрических рядов», Studia Math. 26 (1966), 305–306

В данной работе авторы показывают, что для любого множества нулевой меры существует непрерывная на окружности функция, ряд Фурье которой расходится на этом множестве. На французском языке.

• Сергей Владимирович Конягин , "О расходимости тригонометрических рядов Фурье всюду", ЧР акад. наук. Париж 329 (1999), 693–697.
• Жан-Пьер Кахан, Некоторые случайные серии функций , второе издание. Издательство Кембриджского университета, 1993. ISBN   0-521-45602-9

Статья Конягина доказывает ${\sqrt {\log n}}$ Результат дивергенции обсуждался выше. Более простое доказательство, дающее только log log n, можно найти в книге Кахане.