религиозный тест

В математике тесты Дини и Дини-Липшица представляют собой высокоточные тесты, которые можно использовать для доказательства ряда Фурье функции сходимости в заданной точке. Эти тесты названы в честь Улиссе Дини и Рудольфа Липшица . ^[1]

Определение

Пусть $f$ — функция на [0,2 $π$ ], пусть $t$ — некоторая точка и пусть $δ$ — положительное число. Определим локальный модуль непрерывности в точке $t$ формулой

\left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|

Обратите внимание, что здесь мы рассматриваем $f$ как периодическую функцию, например, если $t = 0$ и $ε$ отрицательно, мы определяем $f (ε) = f (2π + ε)$ .

Глобальный модуль непрерывности (или просто модуль непрерывности ) определяется выражением

\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)

Используя эти определения, мы можем сформулировать основные результаты:

Теорема (тест Дини): предположим, что функция

f

в точке

t

удовлетворяет условию

\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .

Тогда ряд Фурье функции

f

сходится в точке

t

к

f (t)

.

Например, теорема справедлива при $ω f = log −2 ( .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / δ ⁠ ),$ но не выполняется с $log -1 (⁠ 1 / δ ⁠)$ .

Теорема (тест Дини–Липшица): предположим, что функция

f

удовлетворяет условию

\omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.

Тогда ряд Фурье функции

f

сходится равномерно к

f

.

В частности, любая функция, подчиняющаяся условию Гёльдера, удовлетворяет критерию Дини–Липшица.

Точность

Оба теста лучшие в своем роде. Для теста Дини-Липшица можно построить функцию $f$ с ее модулем непрерывности, удовлетворяющую тесту с $O$ вместо $o$ , т.е.

\omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.

и ряд Фурье функции $f$ расходится. Для теста Дини утверждение о точности немного длиннее: оно гласит, что для любой функции Ω такой, что

\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty

существует функция $f$ такая, что

\omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )

и ряд Фурье функции $f$ расходится в точке 0.

См. также

Ссылки

^ Густафсон, Карл Э. (1999), Введение в уравнения с частными производными и методы гильбертового пространства , Courier Dover Publications, стр. 121, ISBN 978-0-486-61271-3

[1] Густафсон, Карл Э. (1999), Введение в уравнения с частными производными и методы гильбертового пространства , Courier Dover Publications, стр. 121, ISBN 978-0-486-61271-3

[1]