Ядро Фейера

В математике ядро Фейера — это ядро суммируемости, используемое для выражения эффекта суммирования Чезаро в рядах Фурье . Это неотрицательное ядро, порождающее приблизительное тождество . Он назван в честь венгерского математика Липота Фейера (1880–1959).

Определение

Ядро Фейера имеет множество эквивалентных определений. Ниже мы приведем три таких определения:

1) Традиционное определение выражает ядро Фейера $F_{n}(x)$ в терминах ядра Дирихле: $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$

где

D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}{\rm {e}}^{isx}

— k -го порядка ядро Дирихле .

2) Ядро Фейера $F_{n}(x)$ также может быть записано в выражении замкнутой формы следующим образом ^{[ 1 ]}

$F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos(x)}}\right)$

Это выражение закрытой формы может быть получено из определений, использованных выше. Доказательство этого результата состоит в следующем.

Во-первых, мы воспользуемся тем фактом, что ядро Дирихле можно записать как: ^{[ 2 ]}

D_{k}(x)={\frac {\sin(k+{\frac {1}{2}})x}{\sin {\frac {x}{2}}}}

Следовательно, используя приведенное выше определение ядра Фейера, мы получаем:

F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]

Используя тригонометрическое тождество: $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$

F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]={\frac {1}{n}}{\frac {1}{2\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\cos(kx)-\cos((k+1)x)]

Отсюда следует, что:

F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}{\frac {1-\cos(nx)}{2}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sin ^{2}({\frac {nx}{2}})={\frac {1}{n}}({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}})^{2}

3) Ядро Фейера также можно выразить как:

$F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}$

Характеристики

Ядро Фейера также является ядром положительной суммируемости. Важным свойством ядра Фейера является $F_{n}(x)\geq 0$ со средней стоимостью $1$ .

Свертка

Свертка F n _при положительна: $f\geq 0$ периода $2\pi$ это удовлетворяет

0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy.

С $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ , у нас есть $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ , что представляет собой суммирование Чезаро ряда Фурье.

По неравенству свертки Юнга ,

\|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}{\text{ for every }}1\leq p\leq \infty {\text{ for }}f\in L^{p}.

Кроме того, если $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ , затем

f*F_{n}\rightarrow f

ае

С $[-\pi ,\pi ]$ конечно, $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ , поэтому результат справедлив и для других $L^{p}$ пространства, $p\geq 1$ также.

Если $f$ непрерывна, то сходимость равномерна, что дает доказательство теоремы Вейерштрасса .

Одним из следствий поточечной почти всюду сходимости является уникальность коэффициентов Фурье: если $f,g\in L^{1}$ с ${\hat {f}}={\hat {g}}$ , затем $f=g$ ae Это следует из написания $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ , который зависит только от коэффициентов Фурье.
Второе следствие состоит в том, что если $\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)$ существует п.в., то $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ ае, поскольку Чезаро означает $F_{n}*f$ сходятся к исходному пределу последовательности, если он существует.

Приложения

Для этого ядра нет известных способов использования или применения.

См. также

Ссылки

^ Хоффман, Кеннет (1988). Банаховы пространства аналитических функций . Дувр. п. 17. ISBN 0-486-45874-1 .
^ Кенигсбергер, Конрад. Анализ 1 (на немецком языке) (6-е изд.). Спрингер. п. 322.

[1] Хоффман, Кеннет (1988). Банаховы пространства аналитических функций . Дувр. п. 17. ISBN 0-486-45874-1 .

[2] Кенигсбергер, Конрад. Анализ 1 (на немецком языке) (6-е изд.). Спрингер. п. 322.

[ 1 ]

[ 2 ]