Ряд Фурье половинного диапазона

В математике полудиапазонный ряд Фурье — это ряд Фурье, определенный на интервале $[0,L]$ вместо более распространенного $[-L,L]$, подразумевая, что анализируемая функция $f(x),x\in [0,L]$ следует распространить на $[-L,0]$ как четная (f(-x)=f(x)) или нечетная функция (f(-x)=-f(x)). Это позволяет разложить функцию в ряд исключительно синусов (нечетных) или косинусов (четных). Выбор между нечетным и четным обычно мотивируется граничными условиями, связанными с дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет $f(x)$.

Пример

Вычислите полудиапазон синусоидального ряда Фурье для функции $f(x)=\cos(x)$ где $0<x<\pi$.

Поскольку мы вычисляем синусоидальный ряд, $a_{n}=0\ \quad \forall n$ Сейчас, $b_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x={\frac {2n((-1)^{n}+1)}{\pi (n^{2}-1)}}\quad \forall n\geq 2$

Когда n нечетно, $b_{n}=0$Когда n четно, $b_{n}={4n \over \pi (n^{2}-1)}$таким образом $b_{2k}={8k \over \pi (4k^{2}-1)}$

С особым случаем $b_{1}=0$, следовательно, требуемый синусоидальный ряд Фурье равен

$\cos(x)={{8 \over \pi }\sum _{n=1}^{\infty }{n \over (4n^{2}-1)}\sin(2nx)}$