Тригонометрический ряд

В математике тригонометрический ряд — это бесконечный ряд вида

A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx},

где $x$ это переменная и $\{A_{n}\}$ и $\{B_{n}\}$ являются коэффициентами . Это бесконечная версия тригонометрического полинома .

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье интегрируемой функции ${\textstyle f}$ если коэффициенты имеют вид:

A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx

B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx

Примеры

Любой ряд Фурье является примером тригонометрического ряда.Пусть функция $f(x)=x$ на $[-\pi ,\pi ]$ периодически расширяться (см. пилообразную волну ). Тогда его коэффициенты Фурье будут:

{\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos {nx}\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin {nx}\,dx\\[4pt]&=-{\frac {x}{n\pi }}\cos {nx}+{\frac {1}{n^{2}\pi }}\sin {nx}{\Bigg \vert }_{x=-\pi }^{\pi }\\[5mu]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}

Что дает пример тригонометрического ряда:

2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin {nx}=2\sin {x}-{\frac {2}{2}}\sin {2x}+{\frac {2}{3}}\sin {3x}-{\frac {2}{4}}\sin {4x}+\cdots

Однако обратное неверно: не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье. Серия

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin {nx}}{\log {n}}}={\frac {\sin {2x}}{\log {2}}}+{\frac {\sin {3x}}{\log {3}}}+{\frac {\sin {4x}}{\log {4}}}+\cdots

тригонометрический ряд, сходящийся при всех $x$ но не является рядом Фурье . ^[1]Здесь $B_{n}={\frac {1}{\log(n)}}$ для $n\geq 2$ а все остальные коэффициенты равны нулю.

Уникальность тригонометрического ряда

Уникальность и нули тригонометрических рядов были активной областью исследований в Европе XIX века. Во-первых, Георг Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к функции $f(x)$ на интервале $[0,2\pi ]$ , который тождественно равен нулю или, в более общем смысле, отличен от нуля не более чем в конечном числе точек, то все коэффициенты ряда равны нулю. ^[2]

Позднее Кантор доказал, что даже если множество S , на котором $f$ ненулевое, бесконечное, но производное множество S' из S конечно, то все коэффициенты равны нулю. На самом деле он доказал более общий результат. Пусть S ₀ = S и пусть S _k+1 — производное множество S _k . существует конечное число n, для которого Sn _Если конечно, то все коэффициенты равны нулю. Позже Лебег доказал, что если существует счетный бесконечный ординал α такой, что S _α конечен, то все коэффициенты ряда равны нулю. Работа Кантора над проблемой уникальности, как известно, привела его к изобретению трансфинитных порядковых чисел , которые появились как индексы α в S _α . ^[3]

Примечания

^ Харди, Годфри Гарольд ; Рогозинский, Вернер Вольфганг (1956) [1-е изд. 1944]. Ряд Фурье (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 4–5.
^ Кекрис, Александр С. (1997). «Теория множеств и единственность тригонометрических рядов» (PDF) . Калтех.
^ Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив истории точных наук . 45 (4): 281–334. дои : 10.1007/BF01886630 . S2CID 122744778 . {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Ссылки

Бари, Нина Карловна (1964). Трактат о тригонометрических рядах . Том. 1. Перевод Маллинза, Маргарет Ф. Пергамон.
Зигмунд, Антони (1968). Тригонометрический ряд . Том. 1 и 2 (2-е, переиздание). Издательство Кембриджского университета. МР 0236587 .

См. также

Теорема Данжуа–Лузина

[1] Харди, Годфри Гарольд ; Рогозинский, Вернер Вольфганг (1956) [1-е изд. 1944]. Ряд Фурье (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 4–5.

[2] Кекрис, Александр С. (1997). «Теория множеств и единственность тригонометрических рядов» (PDF) . Калтех.

[3] Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив истории точных наук . 45 (4): 281–334. дои : 10.1007/BF01886630 . S2CID 122744778 . {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[1]

[2]

[3]