Теорема ATS

В математике теорема ATS — это теорема приближении о t ригонометрическую сумму суммируем на более короткую. Применение теоремы АТС в некоторых задачах математической и теоретической физики может оказаться весьма полезным.

История проблемы

В некоторых областях математики и математической физики суммы вида

$S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)$

находятся на стадии изучения.

Здесь $\varphi (x)$ и $f(x)$ являются вещественными функциями действительногоаргумент, и $i^{2}=-1.$Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе Дзета-функция Римана при решении задач, связанных сцелочисленные точки в областях на плоскости и в пространстве, при изучении ряд Фурье , а также при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение , уравнение потенциала, уравнение теплопроводности .

Задача аппроксимации ряда (1) подходящей функцией изучалась еще Эйлером и Пуассон .

Мы определим длина суммы $S$быть номером $b-a$ (для целых чисел $a$ и $b,$ это количество слагаемых в $S$).

При определенных условиях на $\varphi (x)$ и $f(x)$сумма $S$ может бытьзаменяется с хорошей точностью другой суммой $S_{1},$

$S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)$

где длина $\beta -\alpha$ гораздо меньше, чем $b-a.$

Первые отношения формы

$S=S_{1}+R,\qquad (3)$

где $S,$ $S_{1}$ представляют собой суммы (1) и (2) соответственно, $R$ являетсяостаточный член с конкретными функциями $\varphi (x)$ и $f(x),$были получены Г.Х. Харди и Дж. Э. Литтлвудом , когда онивыведено приближенное функциональное уравнение для дзета-функции Римана $\zeta (s)$ and by I. M. Vinogradov , в изученииколичества целых точек в областях на плоскости.В общем виде теоремадоказал Дж. Ван дер Корпут , (о недавнемрезультаты, связанные с теоремой Ван дер Корпута, можно прочитать на сайте ).

В каждом из перечисленных произведенийнекоторые ограничения на функции $\varphi (x)$ и $f(x)$ были наложены. Судобные (для приложений) ограничения на $\varphi (x)$ и $f(x),$ теорема была доказана А. А. Карацубой в (см. также, ).

Некоторые обозначения

[1]. Для $B>0,B\to +\infty ,$или $B\to 0,$ запись

$1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1$

означает, что существуют константы $C_{1}>0$

и $C_{2}>0,$

такой, что

$C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$

[2]. Для реального числа $\alpha ,$ запись $\|\alpha \|$ означает, что

$\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$

где

$\{\alpha \}$

это дробная часть $\alpha .$

Теорема ATS

Пусть действительные функции ƒ ( x ) и $\varphi (x)$ удовлетворять на отрезке [ a , b ] следующим условиям:

1) $f''''(x)$ и $\varphi ''(x)$ являются непрерывными;

2) существуют числа $H,$ $U$ и $V$ такой, что

$H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<b-a\leq V$

и

${\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}$

Тогда, если мы определим числа $x_{\mu }$ из уравнения

$f'(x_{\mu })=\mu ,$

у нас есть

$\sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,$

где

$R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);$

$T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}$

$j=a,b;$

$C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ or }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}$

$Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .$

Наиболее простым вариантом сформулированной теоремы является утверждение, которое в литературе называется леммой Ван дер Корпута .

Лемма Ван дер Корпута

Позволять $f$ — действительная дифференцируемая функция на интервале $]a,b],$ причем внутри этого интервала ее производная $f'$ является монотонной и сохраняющей знак функцией, а для константы $\delta$ такой, что $0<\delta <1$ удовлетворяет неравенству $|f'|\leq \delta .$ Затем

$\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),$

где $|\theta |\leq 1.$

Примечание

Если параметры $a$ и $b$ являются целыми числами, то последнее соотношение можно заменить следующими:

$\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},$

где $|\theta |\leq 1.$

Дополнительные источники

О приложениях АТС к задачам физики см.:

• Карацуба, Екатерина Александровна (2004). «Приближение сумм осциллирующих слагаемых в некоторых физических задачах». Журнал математической физики . 45 (11). Издательство AIP: 4310–4321. дои : 10.1063/1.1797552 . ISSN   0022-2488 .
• Карацуба, Екатерина А. (20 июля 2007 г.). «О подходе к изучению суммы Джейнса – Каммингса в квантовой оптике». Численные алгоритмы . 45 (1–4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 127–137. дои : 10.1007/s11075-007-9070-x . ISSN   1017-1398 . S2CID   13485016 .
• Шассан-Моттен, Эрик; Пай, Арчана (27 февраля 2006 г.). «Лучшая цепочка щебетаний: почти оптимальное обнаружение щебетаний гравитационных волн». Физический обзор D . 73 (4). Американское физическое общество (APS): 042003. arXiv : gr-qc/0512137 . дои : 10.1103/physrevd.73.042003 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-4BBD-B . ISSN   1550-7998 . S2CID   56344234 .
• Флейшхауэр, М.; Шляйх, В.П. (1 мая 1993 г.). «Простые возрождения: формула суммирования Пуассона как ключ к возрождению в модели Джейнса-Каммингса». Физический обзор А. 47 (5). Американское физическое общество (APS): 4258–4269. дои : 10.1103/physreva.47.4258 . ISSN   1050-2947 . ПМИД   9909432 .