Основная частота

Вибрация и стоячие волны в струне. Основной и первые шесть обертонов.

Основная частота называемая просто основной , определяется как самая низкая частота периодического сигнала , часто . В музыке основой является музыкальная высота ноты, которая воспринимается как самая низкая часть настоящего. С точки зрения суперпозиции синусоидов основная частота — это синусоидальная частота самой низкой частоты в сумме гармонически связанных частот или частота разности между соседними частотами. В некоторых контекстах основной тон обычно обозначается сокращением f ₀ , что указывает на самую низкую частоту, отсчитываемую от нуля . В других контекстах его чаще называют f ₁ , первая гармоника . (Тогда вторая гармоника равна f ₂ = 2⋅ f ₁ и т. д. В этом контексте нулевая гармоника будет равна 0 Гц .)

Согласно книге Бенварда и Сейкера « Музыка: в теории и практике» :

Поскольку основная частота является самой низкой частотой и одновременно воспринимается как самая громкая, ухо идентифицирует ее как определенную высоту музыкального тона [ гармонический спектр ]... Отдельные частичные звуки не слышны отдельно, а смешиваются ухом в один тон.

Объяснение

Все синусоидальные и многие несинусоидальные сигналы точно повторяются во времени – они периодические. Период сигнала — это наименьшее значение $T$ для которого верно следующее:

$x(t)=x(t+T){\text{ for all }}t\in \mathbb {R}$

Где $x(t)$ значение формы волны $t$. Это означает, что значения сигнала в любом интервале длины равны $T$ — это все, что требуется для полного описания формы сигнала (например, с помощью соответствующего ряда Фурье ). Поскольку любое кратное периоду $T$ также удовлетворяет этому определению, фундаментальный период определяется как наименьший период, в течение которого функция может быть описана полностью. Основная частота определяется как ее обратная величина:

$f_{0}={\frac {1}{T}}$

Если единицей времени являются секунды, частота находится в $s^{-1}$, также известный как Герц .

Основная частота трубы

Для трубы длиной $L$ если один конец закрыт, а другой открыт, длина волны основной гармоники равна $4L$, как указано в первых двух анимациях. Следовательно,

$\lambda _{0}=4L$

Поэтому, используя соотношение

$\lambda _{0}={\frac {v}{f_{0}}}$

где $v$ — скорость волны, основная частота может быть найдена через скорость волны и длину трубы:

$f_{0}={\frac {v}{4L}}$

Если концы одной и той же трубы теперь оба закрыты или оба открыты, длина волны основной гармоники станет $2L$ . Тем же методом, что и выше, основная частота находится как

$f_{0}={\frac {v}{2L}}$

В музыке

В музыке основой является музыкальная высота ноты, которая воспринимается как самая низкая часть настоящего. Основной тон может быть создан за счет вибрации по всей длине струны или воздушного столба, либо за счет более высокой гармоники, выбранной игроком. Основная – это одна из гармоник . Гармоника — это любой член гармонического ряда, идеальный набор частот, которые являются целыми положительными кратными общей основной частоты. Причина, по которой основная гармоника также считается гармоникой, заключается в том, что она равна 1 раз самой себе.

Фундаментальным является частота, на которой колеблется вся волна. Обертоны — это другие синусоидальные компоненты, присутствующие на частотах выше основного. Все частотные компоненты, составляющие общую форму сигнала, включая основной тон и обертоны, называются частичными. Вместе они образуют гармонический ряд. Обертоны, которые являются целыми кратными основному тону, называются гармониками. Когда обертон близок к гармоническому, но не точный, его иногда называют гармоническим частичным, хотя их часто называют просто гармониками. Иногда создаются обертоны, далекие от гармонических, и их называют просто частичными или негармоничными обертонами.

Основная частота считается первой гармоникой и первой частичной . Нумерация частичных и гармоник в этом случае обычно одинакова; второй парциал — вторая гармоника и т. д. Но при наличии негармонических парциалов нумерация уже не совпадает. Обертоны нумеруются по мере их появления над основным. Строго говоря, первый обертон — это вторая частичная (и обычно вторая гармоника). Поскольку это может привести к путанице, обычно только гармоники обозначаются по их номерам, а обертоны и частичные описываются по их отношению к этим гармоникам.

Механические системы

Рассмотрим пружину, закрепленную на одном конце и имеющую груз, прикрепленный к другому; это будет генератор с одной степенью свободы (SDoF). Придя в движение, он будет колебаться на своей собственной частоте. Для генератора с одной степенью свободы, системы, в которой движение может быть описано одной координатой, собственная частота зависит от двух свойств системы: массы и жесткости; (при условии, что система не демпфирована). Собственную частоту, или основную частоту, ω ₀ можно найти с помощью следующего уравнения:

$\omega _{\mathrm {0} }={\sqrt {\frac {k}{m}}}\,$

где:

• k = жесткость пружины
• м = масса
• ω ₀ = собственная частота в радианах в секунду.

Чтобы определить собственную частоту в Гц, значение омеги делят на 2 π . Или:

$f_{\mathrm {0} }={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,$

где:

• f ₀ = собственная частота (единица СИ: герц)
• k = жесткость пружины (единицы СИ: ньютоны/метр или Н/м)
• m = масса (единица СИ: кг).

При модальном анализе частота первой моды является основной частотой.

Это также выражается как:

$f_{\mathrm {0} }={\frac {1}{2l}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}\,$

где:

• f ₀ = собственная частота (единица СИ: герц)
• l = длина струны (единица СИ: метр)
• μ = масса единицы длины струны (единица СИ: кг/м)
• T = натяжение струны (единица СИ: ньютон)

См. также

• Наибольший общий делитель
• Герц
• Отсутствует фундаментальный
• Собственная частота
• Колебания
• Гармонический сериал (музыка)#Терминология
• Алгоритм определения высоты тона
• Шкала гармоник