Законы Мерсенна

Законы Мерсенна – это законы описывающие частоту колебаний , натянутой струны или монохорда . ^{[ 1 ]} полезен при настройке музыки и изготовлении музыкальных инструментов .

Обзор

Уравнение было впервые предложено французским математиком и теоретиком музыки Марином Мерсенном в его работе «Harmonie Universelle» 1636 года . ^{[ 2 ]} Законы Мерсенна регулируют конструкцию и работу струнных инструментов , таких как фортепиано и арфы , которые должны выдерживать общую силу натяжения, необходимую для поддержания правильной высоты струн. Нижние струны толще, поэтому имеют большую массу на длину. Обычно они имеют более низкое напряжение . Гитары — привычное исключение из этого правила: для удобства игры натяжение струн одинаковое, поэтому меньший шаг струны в основном достигается за счет увеличения массы на длину. ^{[ примечание 1 ]} Струны с более высоким тоном обычно тоньше, имеют большее натяжение и могут быть короче. «Этот результат существенно не отличается от результата Галилея , однако он по праву известен как закон Мерсенна», поскольку Мерсенн физически доказал их истинность посредством экспериментов (в то время как Галилей считал их доказательство невозможным). ^{[ 3 ]} «Мерсенн исследовал и уточнял эти отношения экспериментальным путем, но не сам их создал». ^{[ 4 ]} Хотя его теории верны, его измерения не очень точны, а его расчеты были значительно улучшены Жозефом Совером (1653–1716) за счет использования акустических ритмов и метрономов . ^{[ 5 ]}

Уравнения

равна Собственная частота :

а) Обратно пропорциональна длине струны (закон Пифагора ^{[ 1 ]}),
б) пропорциональна квадратному корню из растягивающей силы и
в) Обратно пропорционально корню квадратному из массы на длину.

f_{0}\propto {\tfrac {1}{L}}.

(уравнение 26)

f_{0}\propto {\sqrt {F}}.

(уравнение 27)

f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}.

(уравнение 28)

Так, например, при прочих равных свойствах струны, чтобы сделать ноту на октаву выше (2/1), нужно либо уменьшить ее длину вдвое (1/2), либо увеличить натяжение до квадрата ( 4), либо уменьшить его массу по длине на обратный квадрат (1/4).

Гармоники	Длина,	Напряжение,	или Масса
1	1	1	1
2	1/2 = 0.5	2² = 4	1/2² = 0.25
3	1/3 = 0. 33	3² = 9	1/3² = 0. 11
4	1/4 = 0.25	4² = 16	1/4² = 0.0625
8	1/8 = 0.125	8² = 64	1/8² = 0.015625

Эти законы выведены из уравнения Мерсенна 22: ^{[ 6 ]}

f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}.

Формула основной частоты :

f_{0}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}},

где f — частота, L — длина, F — сила, а μ — масса на длину.

Подобные законы не были разработаны для труб и духовых инструментов одновременно, поскольку законы Мерсенна предшествовали представлению о том, что высота тона духовых инструментов зависит от продольных волн, а не от «ударов». ^{[ 3 ]}

См. также

Примечания

^ Масса обычно добавляется за счет увеличения площади поперечного сечения. Это увеличивает силовую константу струны (k). Более высокое k не влияет на высоту звука как таковое , но раздражение струны не только укорачивает ее, но и растягивает, а увеличение высоты звука из-за растяжения больше для более высоких значений k. Таким образом, интонация требует большей компенсации для нижних струн и (заметно) для стальных по сравнению с нейлоновыми. Этот эффект по-прежнему применим к струнам, масса которых увеличивается с намоткой, хотя и в меньшей степени, поскольку сердечник, поддерживающий натяжение струны, обычно должен быть больше, чтобы выдерживать большую массу намотки.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джинсы, Джеймс Хопвуд (1937/1968). Наука и музыка , стр.62-4. Дувр. ISBN 0-486-61964-8 . Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com.
^ Мерсенн, Марин (1636). Универсальная гармония ^{[ нужна страница ]}. Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com .
^ Перейти обратно: ^а ^б Коэн, Х.Ф. (2013). Количественная оценка музыки: наука о музыке на первом этапе научной революции 1580–1650 гг. , стр.101. Спрингер. ISBN 9789401576864 .
^ Гоцца, Паоло; ред. (2013). Звуковое число: музыкальный путь к научной революции , стр.279. Спрингер. ISBN 9789401595780 . Гоцца имеет в виду утверждения Сигалии Достровского «Ранняя теория вибрации», стр. 185-187.
^ Бейер, Роберт Томас (1999). Звуки нашего времени: двести лет акустики . Спрингер. стр.10. ISBN 978-0-387-98435-3 .
^ Штайнхаус, Хьюго (1999). Математические снимки ^{[ нужна страница ]}. Дувр, ISBN 9780486409146 . Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с законами Мерсенна, на Викискладе?

[3] Масса обычно добавляется за счет увеличения площади поперечного сечения. Это увеличивает силовую константу струны (k). Более высокое k не влияет на высоту звука как таковое , но раздражение струны не только укорачивает ее, но и растягивает, а увеличение высоты звука из-за растяжения больше для более высоких значений k. Таким образом, интонация требует большей компенсации для нижних струн и (заметно) для стальных по сравнению с нейлоновыми. Этот эффект по-прежнему применим к струнам, масса которых увеличивается с намоткой, хотя и в меньшей степени, поскольку сердечник, поддерживающий натяжение струны, обычно должен быть больше, чтобы выдерживать большую массу намотки.

[Jeans-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джинсы, Джеймс Хопвуд (1937/1968). Наука и музыка , стр.62-4. Дувр. ISBN 0-486-61964-8 . Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com.

[mersenne-2] Мерсенн, Марин (1636). Универсальная гармония ^{[ нужна страница ]}. Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com .

[Cohen-4] Перейти обратно: ^а ^б Коэн, Х.Ф. (2013). Количественная оценка музыки: наука о музыке на первом этапе научной революции 1580–1650 гг. , стр.101. Спрингер. ISBN 9789401576864 .

[Gozza-5] Гоцца, Паоло; ред. (2013). Звуковое число: музыкальный путь к научной революции , стр.279. Спрингер. ISBN 9789401595780 . Гоцца имеет в виду утверждения Сигалии Достровского «Ранняя теория вибрации», стр. 185-187.

[6] Бейер, Роберт Томас (1999). Звуки нашего времени: двести лет акустики . Спрингер. стр.10. ISBN 978-0-387-98435-3 .

[Steinhaus-7] Штайнхаус, Хьюго (1999). Математические снимки ^{[ нужна страница ]}. Дувр, ISBN 9780486409146 . Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ примечание 1 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Акустика
Acoustical engineering	Architectural acoustics Monochord Reverberation Soundproofing String vibration Sympathetic resonance	Spectrogram
Psychoacoustics	Pitch Bark scale Mel scale Equal-loudness contour Fletcher–Munson curves
Audio frequency and pitch	Beat Formant Fundamental frequency Frequency spectrum harmonic spectrum Harmonic Series Inharmonicity Missing fundamental Combination tone Mersenne's laws Overtone Resonance Standing wave Node Subharmonic
Acousticians	John Backus Jens Blauert Ernst Chladni Hermann von Helmholtz Carleen Hutchins Franz Melde Marin Mersenne Werner Meyer-Eppler Lord Rayleigh Joseph Sauveur D. Van Holliday Thomas Young
Related topics	Echo Infrasound Sound Ultrasound Musical acoustics Piano Violin
Category

v т и Частота и высота звука
Notation	Concert pitch A440 Enharmonic Helmholtz pitch notation Letter notation Piano key frequencies Pitch class Scientific pitch notation
Perception	Absolute pitch Ear training Pitch circularity Relative pitch Tonal memory Tone deafness Virtual pitch
See also	Electronic tuner Mersenne's laws Microtuner Musical tuning Beating Pitch pipe Savart wheel Tuning fork

v т и Музыкальные струны , провода и инструменты
List ( Hornbostel–Sachs numbers)
Bow Bridge Third bridge Chordophone Course Drone Enharmonic Fingerboard Fret Fundamental/Harmonics/Overtones/String harmonic Longitudinal wave Long-string instrument Melde's experiment Mersenne's laws Monochord Music On A Long Thin Wire Node Nut Re-entry Scale length Soundboard Standing wave String vibration Transverse wave Tuning peg
Monochords and musical bows	Ahardin Berimbau Bladder fiddle Boom-ba Đàn bầu Diddley bow Duxianqin Ektara Ground bow Ichigenkin Japanese fiddle Jaw harp Genggong Gogona Khomuz Kubing Morsing Mukkuri Langeleik Lesiba Masenqo Onavillu Psalmodicon Tromba marina Tumbi Umuduri Unitar Washtub bass