Многомерное преобразование

В математическом анализе и приложениях многомерные преобразования используются для анализа частотного содержания сигналов в области двух или более измерений.

Многомерное преобразование Фурье

Одним из наиболее популярных многомерных преобразований является преобразование Фурье , которое преобразует сигнал из представления во временной/пространственной области в представление в частотной области. ^[1] Многомерное преобразование Фурье (FT) в дискретной области можно вычислить следующим образом:

F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m}}

где F означает многомерное преобразование Фурье, m означает многомерное измерение. Задайте f как многомерный сигнал дискретной области. Обратное многомерное преобразование Фурье имеет вид

f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})e^{iw_{1}n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}

Многомерное преобразование Фурье для сигналов в непрерывной области определяется следующим образом: ^[1]

F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-i\Omega _{1}t_{1}-i\Omega _{2}t_{2}\cdots -i\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}

Свойства преобразования Фурье

Применяются аналогичные свойства одномерного преобразования Фурье, но вместо того, чтобы входной параметр был единственной записью, это многомерный (MD) массив или вектор. Следовательно, это x(n ₁ ,…,n _M ) вместо x(n).

Линейность

если $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , и $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ затем,

ax_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})+bX_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})

Сдвиг

если $x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , затем
$x(n_{1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}e^{-i(\omega _{1}a_{1}+,...,+\omega _{M}a_{M})}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$

Модуляция

если $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , затем

e^{i(\theta _{1}n_{1}+\cdots +\theta _{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots ,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})

Умножение

если $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , и $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$

затем,

x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cdots \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})X_{2}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{M})\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{M}

( MD-свертка в частотной области )

или,

x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cdots \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{M})X_{2}(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{M}

( MD-свертка в частотной области )

Дифференциация

Если $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , затем

-in_{1}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{1})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

-in_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{2})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

(-i)^{M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial )^{M}}{(\partial \omega _{1}\partial \omega _{2}\cdots \partial \omega _{M})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

Транспонирование

Если $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , затем

x(n_{M},\ldots ,n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{M},\ldots ,\omega _{1})

Отражение

Если $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , затем

x(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\pm \omega _{1},\ldots ,\pm \omega _{M})

Комплексное сопряжение

Если $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ , затем

x^{*}(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X^{*}(\mp \omega _{1},\ldots ,\mp \omega _{M})

Теорема Парсеваля (MD)

если $x_{1}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , и $x_{2}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ затем,

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}(n_{1},...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})X_{2}^{*}(\omega _{1},...,\omega _{M})d\omega _{1}...d\omega _{M}$

если $x_{1}(n_{1},...,n_{M}){=}x_{2}(n_{1},...,n_{M})$ , затем

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }|x_{1}(n_{1},...,n_{M})|^{2}{=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }|X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})|^{2}d\omega _{1}...d\omega _{M}$

Особым случаем теоремы Парсеваля является ситуация, когда два многомерных сигнала одинаковы. В этом случае теорема описывает сохранение энергии сигнала, а член суммирования или интеграла представляет собой плотность энергии сигнала.

Разделимость

Сигнал или система называются разделимыми, если их можно выразить как произведение одномерных функций с различными независимыми переменными. Это явление позволяет вычислять преобразование FT как произведение одномерных FT вместо многомерных FT.

если $x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , $a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})$ , $b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega _{2})$ ... $y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega _{M})$ , и если $x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M})$ , затем

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})$ , так

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){=}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})$

МД БПФ

( БПФ Быстрое преобразование Фурье ) — это алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и обратного ему преобразования. БПФ вычисляет ДПФ и дает точно такой же результат, как и непосредственная оценка определения ДПФ; единственная разница в том, что БПФ работает намного быстрее. (При наличии ошибки округления многие алгоритмы БПФ также намного более точны, чем непосредственная оценка определения ДПФ). Существует множество различных алгоритмов БПФ, включающих широкий диапазон математики, от простой арифметики комплексных чисел до теории групп и чисел. теория. Подробнее см. в БПФ .

МД ДПФ

Многомерное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) представляет собой дискретную версию ПФ в дискретной области, оценивающую его на равномерно распределенных частотах дискретизации. ^[2] ДПФ N ₁ × N ₂ × ... Н _м определяется выражением:

Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}

для 0 ≤ K _i ≤ N _i - 1 , я знак равно 1, 2, ..., м .

Обратное многомерное уравнение ДПФ имеет вид

fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}

для 0 ≤ n ₁ , n ₂ , ... , n _m ≤ N _{(1, 2, ... , m )} – 1 .

Многомерное дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование (DCT) используется в широком спектре приложений, таких как сжатие данных , извлечение признаков , реконструкция изображений , многокадровое обнаружение и так далее. Многомерное DCT определяется следующим образом:

Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+1)K_{r}}{2N_{r}}}

для k _i знак равно 0, 1, ..., N _i - 1 , я знак равно 1, 2, ..., р .

Многомерное преобразование Лапласа

Многомерное преобразование Лапласа полезно для решения краевых задач. Краевые задачи с двумя или более переменными, характеризуемые уравнениями в частных производных, могут быть решены путем прямого использования преобразования Лапласа. ^[3] Преобразование Лапласа для M-мерного случая определено ^[3] как

$F(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n-1}\cdots \cdots s_{1}t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}$

где F обозначает представление сигнала f(t) в s-области.

Определен частный случай (в двух измерениях) многомерного преобразования Лапласа функции f(x,y). ^[4] как

$F(s_{1},s_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\ f(x,y)e^{-s_{1}x-s_{2}y}\,dxdy$

$F(s_{1},s_{2})$ называется изображением $f(x,y)$ и $f(x,y)$ известен как оригинал $F(s_{1},s_{2})$ . ^{[ нужна ссылка ]} Этот особый случай можно использовать для решения уравнений Телеграфиста . ^{[ нужна ссылка ]}}

Многомерное Z-преобразование ^[5]

Многомерное Z-преобразование используется для отображения многомерного сигнала в области дискретного времени в область Z. Это можно использовать для проверки стабильности фильтров. Уравнение многомерного Z-преобразования имеет вид

$F(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}$

где F обозначает представление сигнала f(n) в z-области.

Особым случаем многомерного Z-преобразования является 2D Z-преобразование, которое задается как

$F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Z, оцениваемого по единичному кругу (в 1D) и единичному би-кругу (в 2D). то есть в

${\textstyle z=e^{iw}}$ где z и w — векторы.

Область конвергенции

Точки ( z ₁ , z ₂ ), для которых $F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }|f(n_{1},n_{2})||z_{1}|^{-n_{1}}|z_{2}|^{-n_{2}}$ $<\infty$ находятся в РПЦ.

Пример:

Если последовательность имеет опору, как показано на рисунке 1.1а, то ее ROC показан на рисунке 1.1b. Отсюда следует, что | F ( z ₁ , z ₂ )| < ∞ .

$(z_{01},z_{02})$ лежит в РПЦ, то все точки $(z_{1},z_{2})$ которые удовлетворяют |z1|≥|z01| и |z2|≥|z02 лежат в ROC.

Следовательно, для рисунков 1.1a и 1.1b ROC будет

\ln |z_{1}|\geq \ln |z_{01}|{\text{ and }}\ln |z_{2}|\geq L\ln |z_{1}|+\{\ln |z_{02}|-L\ln |z_{01}|\}

где L – наклон.

Двумерное Z-преобразование , аналогичное Z-преобразованию, используется при обработке многомерных сигналов для связи двумерного сигнала дискретного времени с комплексной частотной областью, в которой известна двумерная поверхность в четырехмерном пространстве, на которой лежит преобразование Фурье. как единичная поверхность или единичный бицикл.

Приложения

DCT и DFT часто используются при обработке сигналов. ^[6] и обработка изображений, а также они используются для эффективного решения уравнений в частных производных спектральными методами. ДПФ также можно использовать для выполнения других операций, таких как свертка или умножение больших целых чисел. ДПФ и ДКП широко используются во многих областях, ниже мы лишь набросаем несколько примеров.

Обработка изображений

DCT используется при JPEG сжатии изображений , MJPEG , MPEG , DV , Daala и Theora сжатии видео . Там вычисляются двумерные DCT-II из блоков N x N , а результаты квантоваются и энтропийно кодируются . В этом случае N обычно равно 8, и формула DCT-II применяется к каждой строке и столбцу блока. Результатом является массив коэффициентов преобразования 8x8, в котором элемент (0,0) (вверху слева) является компонентом постоянного тока (нулевой частоты), а записи с увеличивающимися значениями вертикального и горизонтального индекса представляют более высокие вертикальные и горизонтальные пространственные частоты, как показано на рисунке справа.

При обработке изображений можно также анализировать и описывать нетрадиционные криптографические методы, основанные на 2D DCT, для вставки невидимых двоичных водяных знаков в плоскость 2D изображения. ^[7] и в соответствии с различными ориентациями двумерное направленное гибридное преобразование DCT-DWT может применяться для шумоподавления ультразвуковых изображений. ^[8] 3-D DCT также можно использовать для преобразования видеоданных или данных трехмерного изображения в схемах внедрения водяных знаков в области преобразования. ^[9]^[10]

Спектральный анализ

Когда ДПФ используется для спектрального анализа , последовательность { x _n } обычно представляет собой конечный набор равномерно расположенных временных отсчетов некоторого сигнала x ( t ), где t представляет время. Преобразование непрерывного времени в выборки (дискретное время) изменяет базовое преобразование Фурье x называемый ( t ) в преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT), что обычно влечет за собой тип искажения, сглаживанием . Выбор подходящей частоты дискретизации (см. Частота Найквиста ) является ключом к минимизации этого искажения. Аналогичным образом, преобразование очень длинной (или бесконечной) последовательности в управляемый размер влечет за собой тип искажения, называемого утечкой , которое проявляется как потеря детализации (так называемого разрешения) в DTFT. Выбор подходящей длины подпоследовательности является основным ключом к минимизации этого эффекта. Когда доступные данные (и время на их обработку) превышают объем, необходимый для достижения желаемого разрешения по частоте, стандартным методом является выполнение нескольких ДПФ, например, для создания спектрограммы . Если желаемым результатом является спектр мощности и в данных присутствует шум или случайность, усреднение компонентов величины нескольких ДПФ является полезной процедурой для уменьшения дисперсия спектра ( также называемая периодограммой в этом контексте ); двумя примерами таких методов являются метод Уэлча и метод Бартлетта ; Общий предмет оценки спектра мощности зашумленного сигнала называется спектральной оценкой .

Последним источником искажений (или, возможно, иллюзий ) является само ДПФ, поскольку это всего лишь дискретная выборка ДПФ, которая является функцией непрерывной частотной области. Это можно смягчить, увеличив разрешение ДПФ. Эта процедура проиллюстрирована в § Выборка DTFT .

Эту процедуру иногда называют заполнением нулями . Это конкретная реализация, используемая в сочетании с алгоритмом быстрого преобразования Фурье (БПФ). Неэффективность выполнения умножения и сложения с «выборками» с нулевым значением более чем компенсируется присущей БПФ эффективностью.
Как уже отмечалось, утечка накладывает ограничение на собственное разрешение DTFT. Таким образом, существует практический предел выгоды, которую можно получить от мелкозернистого ДПФ.

Уравнения в частных производных

Дискретные преобразования Фурье часто используются для решения уравнений в частных производных , где снова ДПФ используется в качестве аппроксимации ряда Фурье (который восстанавливается в пределе бесконечного N ). Преимущество этого подхода в том, что он разлагает сигнал в комплексную экспоненту e ^inx, которые являются собственными функциями дифференцирования: d / dx e ^inx = в е ^inx. Таким образом, в представлении Фурье дифференцирование простое — мы просто умножаем на . (Однако обратите внимание, что выбор n не является уникальным из-за наложения псевдонимов; чтобы метод сходился, тригонометрической интерполяции следует использовать выбор, аналогичный выбору в разделе выше.) Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразуется в легко решаемое алгебраическое уравнение. Затем используется обратное ДПФ для преобразования результата обратно в обычное пространственное представление. Такой подход называется спектральным методом .

ДКП также широко используются при решении уравнений в частных производных спектральными методами, где разные варианты ДКП соответствуют немного отличающимся четным/нечетным граничным условиям на двух концах массива.

Преобразования Лапласа используются для решения уравнений в частных производных. Общая теория получения решений в этом методе развита теоремами о преобразовании Лапласа в n измерениях. ^[3]

Многомерное Z-преобразование также можно использовать для решения уравнений в частных производных. ^[11]

Обработка изображений для анализа поверхности произведений искусства с помощью БПФ

Очень важным фактором является то, что мы должны применять неразрушающий метод для получения информации о редких ценностях (с точки зрения HVS, сосредоточенной на всей колориметрической и пространственной информации) о произведениях искусства и нулевом нанесении им ущерба.Мы можем понять искусство, наблюдая за изменением цвета или измеряя изменение однородности поверхности. Поскольку все изображение будет очень огромным, мы используем окно двойного приподнятого косинуса, чтобы обрезать изображение: ^[12]

w(x,y)={\frac {1}{4}}\left(1+\cos {\frac {x\pi }{N}}\right)\left(1+\cos {\frac {y\pi }{N}}\right)

где N — размер изображения, а x , y — координаты центра изображения от 0 до N /2.Автор хотел вычислить равное значение пространственной частоты, например: ^[12]

{\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right.&\operatorname {FFT} (-f,i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,f)^{2}\right]\end{aligned}}

где «БПФ» обозначает быстрое преобразование Фурье, а f — диапазон пространственных частот от 0 до N /2 – 1 . Предлагаемый подход к визуализации на основе БПФ представляет собой диагностическую технологию, обеспечивающую долгую жизнь и стабильность в культурном искусстве. Это простой и дешевый вариант, который можно использовать в музеи, не влияя на их повседневное использование. Но этот метод не позволяет количественно измерить скорость коррозии.

Приложение к моделированию слабо нелинейных цепей ^[13]

Обратное многомерное преобразование Лапласа можно применять для моделирования нелинейных цепей. Это делается путем формулирования схемы как пространства состояний и расширения обратного преобразования Лапласа на основе расширения функции Лагерра .

Метод Лагерра можно использовать для моделирования слабонелинейной схемы, а метод Лагерра может эффективно инвертировать многомерное преобразование Лапласа с высокой точностью.

Замечено, что высокая точность и значительное ускорение могут быть достигнуты при моделировании больших нелинейных цепей с использованием многомерных преобразований Лапласа.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Смит, В. Справочник по быстрым преобразованиям Фурье в реальном времени: алгоритмы тестирования продуктов, Wiley_IEEE Press, издание 1, страницы 73–80, 1995 г.
^ Даджен и Мерсеро, Многомерная цифровая обработка сигналов, 2-е издание, 1995 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Дебнат, Джояти; Дахия, РС (1 января 1989 г.). «Теоремы о многомерном преобразовании Лапласа для решения краевых задач» . Компьютеры и математика с приложениями . 18 (12): 1033–1056. дои : 10.1016/0898-1221(89)90031-X .
^ Операционное исчисление в двух переменных и его применение (1-е английское издание) - перевод DMG Wishart (Calcul opérationnel) .
^ «Народная книга» (PDF) .
^ Тан Сяо, Шао-хай Ху, Ян Сяо. Приложение 2-D DFT-DWT для обработки многомерных сигналов. Материалы ICSP2006, IEEE 2006 г.
^ Питер КУЛЛАИ, Павол САБАКАЙ, ЮзефХУСКАИ. Простые возможности применения 2D DCT в цифровом форматеКриптография монохромного изображения. Радиоэлектроника, 17-я Международная конференция, IEEE, 2007, стр. 1–6.
^ Синь-лин Вэнь, Ян Сяо. Двумерное направленное гибридное преобразование DCT-DWT и его применение для шумоподавления ультразвукового изображения. Обработка сигналов. ICSP 2008. 9-я Международная конференция, Страницы: 946–949.
^ Цзиньвэй Ван, Шиго Лянь, Чжунсюань Лю, Чжэнь Жэнь, Юэвей Дай, Хайла Ван. Схема водяных знаков изображения на основе 3-D DCT. Промышленная электроника и приложения, 1-я конференция IEEE, 2006 г., стр. 1–6.
^ Джин Ли, Монсеф Габбуж, Ярмо Такала, Хексин Чен. Алгоритм прямого изменения размера 3-D DCT в DCT для кодирования видео. Обработка и анализ изображений и сигналов, 2009. ISPA 2009. Материалы 6-го международного симпозиума.стр. 105–110
^ Грегор, Иржи (1998). «Кибернетика» (PDF) . Кибернетика . 24 .
^ Jump up to: ^а ^б Анджелини Э., Грассен С.; Пиантанида, М.; Корбеллини, С.; Феррарис, Ф.; Нери, А.; Парвис, М. Обработка изображений на основе БПФ для мониторинга культурного наследия. Конференция по приборостроению и измерительным технологиям (I2MTC), 2010 г., IEEE
^ Ван, Тинтин (2012). «Анализ слабонелинейных цепей на основе быстрого многомерного обратного преобразования Лапласа» . 17-я Азиатско-Тихоокеанская конференция по автоматизации проектирования . стр. 547–552. дои : 10.1109/ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7 . S2CID 15427178 .

[Smith-1] Jump up to: ^а ^б Смит, В. Справочник по быстрым преобразованиям Фурье в реальном времени: алгоритмы тестирования продуктов, Wiley_IEEE Press, издание 1, страницы 73–80, 1995 г.

[2] Даджен и Мерсеро, Многомерная цифровая обработка сигналов, 2-е издание, 1995 г.

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с Дебнат, Джояти; Дахия, РС (1 января 1989 г.). «Теоремы о многомерном преобразовании Лапласа для решения краевых задач» . Компьютеры и математика с приложениями . 18 (12): 1033–1056. дои : 10.1016/0898-1221(89)90031-X .

[4] Операционное исчисление в двух переменных и его применение (1-е английское издание) - перевод DMG Wishart (Calcul opérationnel) .

[5] «Народная книга» (PDF) .

[6] Тан Сяо, Шао-хай Ху, Ян Сяо. Приложение 2-D DFT-DWT для обработки многомерных сигналов. Материалы ICSP2006, IEEE 2006 г.

[7] Питер КУЛЛАИ, Павол САБАКАЙ, ЮзефХУСКАИ. Простые возможности применения 2D DCT в цифровом форматеКриптография монохромного изображения. Радиоэлектроника, 17-я Международная конференция, IEEE, 2007, стр. 1–6.

[8] Синь-лин Вэнь, Ян Сяо. Двумерное направленное гибридное преобразование DCT-DWT и его применение для шумоподавления ультразвукового изображения. Обработка сигналов. ICSP 2008. 9-я Международная конференция, Страницы: 946–949.

[9] Цзиньвэй Ван, Шиго Лянь, Чжунсюань Лю, Чжэнь Жэнь, Юэвей Дай, Хайла Ван. Схема водяных знаков изображения на основе 3-D DCT. Промышленная электроника и приложения, 1-я конференция IEEE, 2006 г., стр. 1–6.

[10] Джин Ли, Монсеф Габбуж, Ярмо Такала, Хексин Чен. Алгоритм прямого изменения размера 3-D DCT в DCT для кодирования видео. Обработка и анализ изображений и сигналов, 2009. ISPA 2009. Материалы 6-го международного симпозиума.стр. 105–110

[11] Грегор, Иржи (1998). «Кибернетика» (PDF) . Кибернетика . 24 .

[Angelini_et_al-12] Jump up to: ^а ^б Анджелини Э., Грассен С.; Пиантанида, М.; Корбеллини, С.; Феррарис, Ф.; Нери, А.; Парвис, М. Обработка изображений на основе БПФ для мониторинга культурного наследия. Конференция по приборостроению и измерительным технологиям (I2MTC), 2010 г., IEEE

[13] Ван, Тинтин (2012). «Анализ слабонелинейных цепей на основе быстрого многомерного обратного преобразования Лапласа» . 17-я Азиатско-Тихоокеанская конференция по автоматизации проектирования . стр. 547–552. дои : 10.1109/ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7 . S2CID 15427178 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Многомерное преобразование Фурье

Свойства преобразования Фурье

Линейность

Сдвиг

Модуляция

Умножение

Дифференциация

Транспонирование

Отражение

Комплексное сопряжение

Теорема Парсеваля (MD)

Разделимость

МД БПФ

МД ДПФ

Многомерное дискретное косинусное преобразование

Многомерное преобразование Лапласа

Многомерное Z-преобразование [5]

Область конвергенции

Приложения

Обработка изображений

Спектральный анализ

Уравнения в частных производных

Обработка изображений для анализа поверхности произведений искусства с помощью БПФ

Приложение к моделированию слабо нелинейных цепей [13]

См. также

Ссылки

Многомерное Z-преобразование ^[5]

Приложение к моделированию слабо нелинейных цепей ^[13]