Оценка спектральной плотности

Информацию о статистическом методе см. в разделе «Оценка плотности вероятности» .

Для более широкого освещения этой темы см. Спектральная плотность .

В статистической обработке сигналов цель оценки спектральной плотности ( SDE ) или просто спектральной оценки состоит в том, чтобы оценить спектральную плотность (также известную как спектральная плотность мощности ) сигнала из последовательности временных выборок сигнала. Интуитивно говоря, спектральная плотность характеризует частотный состав сигнала. Одной из целей оценки спектральной плотности является обнаружение любых периодичностей в данных путем наблюдения пиков на частотах, соответствующих этим периодичностям.

Некоторые методы SDE предполагают, что сигнал состоит из ограниченного (обычно небольшого) числа генерируемых частот плюс шум, и стремятся определить местоположение и интенсивность генерируемых частот. Другие не делают предположений о количестве компонентов и стремятся оценить весь генерирующий спектр.

Обзор

Пример формы голосового сигнала и его частотного спектра

Периодическая форма волны ( треугольная волна ) и ее частотный спектр, показывающий «основную» частоту 220 Гц, за которой следуют кратные (гармоники) 220 Гц.

Спектральная плотность мощности музыкального сегмента оценивается двумя разными методами, для сравнения

Спектральный анализ , также называемый анализом частотной области или оценкой спектральной плотности, представляет собой технический процесс разложения сложного сигнала на более простые части. Как описано выше, многие физические процессы лучше всего описываются как сумма множества отдельных частотных составляющих. Любой процесс, который количественно определяет различные величины (например, амплитуды, мощности, интенсивности) в зависимости от частоты (или фазы ), можно назвать спектральным анализом .

Спектральный анализ может быть выполнен для всего сигнала. Альтернативно сигнал можно разбить на короткие сегменты (иногда называемые кадрами ), и к этим отдельным сегментам можно применить спектральный анализ. Периодические функции (например, $\sin(t)$) особенно хорошо подходят для этого подразделения. Общие математические методы анализа непериодических функций относятся к категории анализа Фурье .

Преобразование Фурье функции создает частотный спектр, который содержит всю информацию об исходном сигнале, но в другой форме. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена ​​( синтезирована ) обратным преобразованием Фурье . Для идеального восстановления анализатор спектра должен сохранять как амплитуду , так и фазу каждой частотной составляющей. Эти две части информации могут быть представлены как двумерный вектор, как комплексное число или как величина (амплитуда) и фаза в полярных координатах (т. е. как вектор ). Распространенным методом обработки сигналов является рассмотрение квадрата амплитуды или мощности ; в этом случае результирующий график называется спектром мощности .

Из-за обратимости преобразование Фурье называется представлением функции в терминах частоты, а не времени; таким образом, это представление в частотной области . Линейные операции, которые можно выполнить во временной области, имеют аналоги, которые часто легче выполнить в частотной области. Частотный анализ также упрощает понимание и интерпретацию эффектов различных операций во временной области, как линейных, так и нелинейных. Например, только нелинейные или изменяющиеся во времени операции могут создавать новые частоты в частотном спектре.

На практике почти все программное обеспечение и электронные устройства, генерирующие частотные спектры, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое работает с выборками сигнала и обеспечивает математическую аппроксимацию полного интегрального решения. ДПФ почти всегда реализуется с помощью эффективного алгоритма, называемого быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Массив компонентов квадрата величины ДПФ представляет собой тип спектра мощности, называемый периодограммой , который широко используется для изучения частотных характеристик бесшумных функций, таких как импульсные характеристики фильтра и оконные функции . Но периодограмма не обеспечивает выигрыша в обработке при применении к шумоподобным сигналам или даже синусоидам с низким отношением сигнал/шум. Другими словами, дисперсия его спектральной оценки на заданной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в расчетах. Это можно смягчить, усредняя по времени ( метод Уэлча ) или превышение частоты ( сглаживание ). Метод Уэлча широко используется для оценки спектральной плотности (SDE). Однако методы, основанные на периодограмме, вносят небольшие погрешности, которые неприемлемы в некоторых приложениях. Другие альтернативы представлены в следующем разделе.

Техники

Многие другие методы спектральной оценки были разработаны для устранения недостатков базовой периодограммы. Эти методы обычно можно разделить на непараметрические , параметрические и , в последнее время, полупараметрические (также называемые разреженными) методы. Непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо конкретную структуру. Некоторые из наиболее распространенных оценщиков, используемых для основных приложений (например, метод Уэлча ), являются непараметрическими оценщиками, тесно связанными с периодограммой. Параметрические подходы, напротив, предполагают, что лежащий в основе стационарный случайный процесс имеет определенную структуру, которую можно описать с помощью небольшого числа параметров (например, с помощью модели авторегрессии или модели скользящего среднего ). В этих подходах задачей является оценка параметров модели, описывающей случайный процесс. При использовании полупараметрических методов основной процесс моделируется с использованием непараметрической структуры с дополнительным предположением, что количество ненулевых компонентов модели невелико (т. е. модель разрежена). Подобные подходы также могут быть использованы для восстановления недостающих данных. а также восстановление сигнала .

Ниже приводится неполный список методов оценки спектральной плотности:

• Непараметрические методы , для которых выборки сигналов могут быть неравномерно разнесены во времени ( записи могут быть неполными )
  • Спектральный анализ методом наименьших квадратов , основанный на подборе методом наименьших квадратов известных частот.
  • Периодограмма Ломба – Скаргла , приближение спектрального анализа методом наименьших квадратов
  • Неравномерное дискретное преобразование Фурье

• Непараметрические методы , для которых выборки сигналов должны быть равномерно разнесены во времени ( записи должны быть полными ):
  • Периодограмма , квадрат модуля дискретного преобразования Фурье
  • Метод Бартлетта представляет собой среднее значение периодограмм, взятых из нескольких сегментов сигнала, чтобы уменьшить дисперсию оценки спектральной плотности.
  • Метод Уэлча — оконная версия метода Бартлетта, в которой используются перекрывающиеся сегменты.
  • Мультиконусность — это метод, основанный на периодограмме, который использует несколько конусов или окон для формирования независимых оценок спектральной плотности с целью уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности.
  • Анализ сингулярного спектра - это непараметрический метод, который использует разложение по сингулярным значениям для ковариационной матрицы оценки спектральной плотности.
  • Кратковременное преобразование Фурье
  • Критический фильтр — это непараметрический метод, основанный на теории информационного поля , который может работать с шумом, неполными данными и инструментальными функциями отклика.
• Параметрические методы (неполный список):
  • Оценка модели авторегрессии (AR), которая предполагает, что n -я выборка коррелирует с предыдущими p выборками.
  • модели скользящего среднего Оценка (MA), которая предполагает, что n -я выборка коррелирует с шумовыми условиями в предыдущих p выборках.
  • Оценка авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которая обобщает модели AR и MA.
  • Классификация множественных сигналов (МУЗЫКА) — популярный метод сверхразрешения .
  • Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности (ESPRIT) является еще одним методом сверхразрешения.
  • Спектральная оценка максимальной энтропии — это всеполюсный метод, полезный для SDE, когда ожидаются сингулярные спектральные особенности, такие как острые пики.
• Полупараметрические методы (неполный список):
  • Оценка SParse Iterative Covariance-based Estimation (SPICE), и более обобщенный $(r,q)$-СПАЙС.
  • Оценка итеративного адаптивного подхода (IAA).
  • Lasso , аналогичный спектральному анализу методом наименьших квадратов , но со штрафом за разрежение.

Параметрическая оценка

При параметрической спектральной оценке предполагается, что сигнал моделируется стационарным процессом , имеющим функцию спектральной плотности (SDF). $S(f;a_{1},\ldots ,a_{p})$ это функция частоты $f$ и $p$ параметры $a_{1},\ldots ,a_{p}$. Тогда проблема оценки становится проблемой оценки этих параметров.

Наиболее распространенная форма параметрической оценки SDF использует в качестве модели авторегрессионную модель. ${\text{AR}}(p)$ порядка $p$. Сигнальная последовательность $\{Y_{t}\}$ подчинение нулевому среднему ${\text{AR}}(p)$ процесс удовлетворяет уравнению

$Y_{t}=\phi _{1}Y_{t-1}+\phi _{2}Y_{t-2}+\cdots +\phi _{p}Y_{t-p}+\epsilon _{t},$

где $\phi _{1},\ldots ,\phi _{p}$ фиксированные коэффициенты и $\epsilon _{t}$ представляет собой процесс белого шума с нулевым средним значением и инновационной дисперсией $\sigma _{p}^{2}$. SDF для этого процесса

$S(f;\phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma _{p}^{2}\Delta t}{\left|1-\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}e^{-2i\pi fk\Delta t}\right|^{2}}}\qquad |f|<f_{N},$

с $\Delta t$ временной интервал выборки и $f_{N}$ частота Найквиста .

Существует несколько подходов к оценке параметров. $\phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2}$ принадлежащий ${\text{AR}}(p)$ процесс и, следовательно, спектральная плотность:

• Оценщики Юла–Уокера находятся путем рекурсивного решения уравнений Юла–Уокера для ${\text{AR}}(p)$ процесс
• Оценки Бурга находятся путем рассмотрения уравнений Юла – Уокера как разновидности обычной задачи наименьших квадратов. Оценщики Бурга обычно считаются превосходящими оценки Юла – Уокера. Бург связал их с оценкой спектра максимальной энтропии .
• Оценщики методом наименьших квадратов вперед-назад рассматривают ${\text{AR}}(p)$ процесс как проблему регрессии и решает эту проблему, используя метод вперед-назад. Они конкурируют с оценщиками Бурга.
• Оценщики максимального правдоподобия оценивают параметры, используя подход максимального правдоподобия . Это предполагает нелинейную оптимизацию и является более сложным, чем первые три.

Альтернативные параметрические методы включают подгонку к модели скользящего среднего (MA) и полной авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA).

Оценка частоты

Оценка частоты — это процесс оценки частоты , амплитуды и фазового сдвига сигнала при наличии шума с учетом предположений о количестве компонентов. Это контрастирует с описанными выше общими методами, которые не делают предварительных предположений о компонентах.

Один тон

См. также: Синусоидальная модель.

Если нужно оценить только частоту одного самого громкого чистого тона сигнала , можно использовать алгоритм определения высоты тона .

Если доминирующая частота меняется со временем, то проблемой становится оценка мгновенной частоты , определенной в представлении время-частота . К методам мгновенной оценки частоты относятся методы, основанные на распределении Вигнера-Вилля и функциях неоднозначности более высокого порядка .

Если кто-то хочет знать все (возможно, сложные) частотные компоненты принятого сигнала (включая передаваемый сигнал и шум), он использует многотональный подход.

Несколько тонов

Типичная модель сигнала $x(n)$ состоит из суммы $p$ сложные экспоненты при наличии белого шума , $w(n)$

$x(n)=\sum _{i=1}^{p}A_{i}e^{jn\omega _{i}}+w(n)$.

Спектральная плотность мощности $x(n)$ состоит из $p$ импульсные функции в дополнение к функции спектральной плотности из-за шума.

Наиболее распространенные методы оценки частоты включают определение подпространства шума для извлечения этих компонентов. Эти методы основаны на собственном разложении на матрицы автокорреляции подпространство сигнала и подпространство шума. После того, как эти подпространства идентифицированы, функция оценки частоты используется для нахождения частот компонентов из подпространства шума. Наиболее популярными методами оценки частоты на основе шумового подпространства являются метод Писаренко , метод классификации множественных сигналов (MUSIC), метод собственных векторов и метод минимальной нормы.

Pisarenko's method

${\hat {P}}_{\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{\text{min}}\right|^{2}}}$

МУЗЫКА

${\hat {P}}_{\text{MU}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}$,

Метод собственных векторов

${\hat {P}}_{\text{EV}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}$

Метод минимальной нормы

${\hat {P}}_{\text{MN}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {a} \right|^{2}}};\ \mathbf {a} =\lambda \mathbf {P} _{n}\mathbf {u} _{1}$

Пример расчета

Предполагать $x_{n}$, от $n=0$ к $N-1$ представляет собой временной ряд (дискретное время) с нулевым средним значением. Предположим, что это сумма конечного числа периодических составляющих (все частоты положительны):

${\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left(\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\\&=\sum _{k}\left(\overbrace {a_{k}} ^{A_{k}\sin(\phi _{k})}\cos(2\pi \nu _{k}n)+\overbrace {b_{k}} ^{A_{k}\cos(\phi _{k})}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\end{aligned}}$

Дисперсия $x_{n}$ для функции нулевого среднего, как указано выше, определяется выражением

${\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.$

Если бы эти данные были выборками, взятыми из электрического сигнала, это была бы его средняя мощность (мощность — это энергия в единицу времени, поэтому она аналогична дисперсии, если энергия аналогична квадрату амплитуды).

Теперь, для простоты, предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени, поэтому мы переходим к пределу как $N\to \infty .$ Если средняя мощность ограничена, что почти всегда имеет место в действительности, то существует следующий предел — это дисперсия данных.

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.$

Опять же, для простоты, перейдем к непрерывному времени и предположим, что сигнал бесконечно распространяется во времени в обоих направлениях. Тогда эти две формулы станут

$x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})$

и

$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}dt.$

Среднеквадратичный корень $\sin$ является $1/{\sqrt {2}}$, поэтому дисперсия $A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})$ является ${\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.$ Следовательно, вклад в среднюю мощность $x(t)$ исходящий от составляющей с частотой $\nu _{k}$ является ${\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.$ Все эти вклады в сумме составляют среднюю мощность $x(t).$

Тогда мощность как функция частоты равна ${\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},$ и ее статистическая кумулятивная функция распределения $S(\nu )$ будет

$S(\nu )=\sum _{k:\nu _{k}<\nu }{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}.$

$S$ — ступенчатая функция , монотонно неубывающая. Его скачки происходят на частотах периодических составляющих $x$, а значение каждого скачка — это мощность или дисперсия этого компонента.

Дисперсия — это ковариация данных относительно самих себя. Если теперь рассмотреть те же данные, но с лагом $\tau$, мы можем ковариацию взять $x(t)$ с $x(t+\tau )$и определите это как автокорреляционную функцию $c$ сигнала (или данных) $x$:

$c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )dt.$

Если он существует, то это четная функция $\tau .$ Если средняя мощность ограничена, то $c$ существует всюду, конечен и ограничен $c(0),$ что является средней степенью или дисперсией данных.

Можно показать, что $c$ можно разложить на периодические составляющие с теми же периодами, что и $x$:

$c(\tau )=\sum _{k}{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).$

Фактически это спектральное разложение $c$ на разных частотах и ​​связано с распределением мощности $x$ по частотам: амплитуда частотной составляющей $c$ – его вклад в среднюю мощность сигнала.

Спектр мощности в этом примере не является непрерывным и, следовательно, не имеет производной, и, следовательно, этот сигнал не имеет функции спектральной плотности мощности. В общем, спектр мощности обычно представляет собой сумму двух частей: линейного спектра, такого как в этом примере, который не является непрерывным и не имеет функции плотности, и остатка, который абсолютно непрерывен и имеет функцию плотности. .

См. также

• Многомерная спектральная оценка
• Периодограмма
• СигСпец
• Спектрограмма
• Частотно-временной анализ
• Частотно-временное представление
• Вероятность Уиттла
• Спектральное распределение мощности

Дальнейшее чтение

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-063751-2 .
• Пристли, МБ (1991). Спектральный анализ и временные ряды . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-564922-3 .

• Стойка, П.; Моисей, Р. (2005). Спектральный анализ сигналов . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-113956-5 .

• Томсон, ди-джей (1982). «Оценка спектра и гармонический анализ». Труды IEEE . 70 (9): 1055–1096. Бибкод : 1982IEEP..70.1055T . CiteSeerX   10.1.1.471.1278 . дои : 10.1109/PROC.1982.12433 . S2CID   290772 .