Периодограмма

В обработке сигналов периодограмма — это оценка спектральной плотности сигнала. Этот термин был придуман Артуром Шустером в 1898 году. ^[1] Сегодня периодограмма является компонентом более сложных методов (см. спектральную оценку ). Это наиболее распространенный инструмент для изучения амплитудно-частотных характеристик КИХ-фильтров и оконных функций . Анализаторы спектра БПФ также реализованы в виде временной последовательности периодограмм.

Определение

Сегодня используются как минимум два разных определения. ^[2] Один из них предполагает усреднение по времени, ^[3] а один нет. ^[4] Усреднение по времени также является предметом других статей ( метод Бартлетта и метод Уэлча ). Эта статья не об усреднении по времени. Здесь нас интересует определение, что спектральная плотность мощности непрерывной функции $x(t),$ является преобразованием Фурье его автокорреляционной функции (см. Теорему о взаимной корреляции , Спектральную плотность # Спектральная плотность мощности и теорему Винера – Хинчина ): ${\mathcal {F}}\{x(t)\circledast x^{*}(-t)\}=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}.$

Вычисление

Спектр мощности (квадрат модуля) двух синусоидальных базисных функций, рассчитанный методом периодограммы.

При достаточно малых значениях параметра $T$ сколь угодно точное приближение $X (f)$ может наблюдаться в области $-{\tfrac {1}{2T}}<f<{\tfrac {1}{2T}}$ функции:

$X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right),$

который точно определяется выборками $x (nT),$ которые охватывают ненулевую длительность $x (t)$ (см. Дискретное преобразование Фурье ).

при достаточно больших значениях параметра $N$ И $X_{1/T}(f)$ можно оценить на сколь угодно близкой частоте суммированием вида:

$X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},$

где $к$ — целое число. Периодичность $e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}$ позволяет очень просто записать это в терминах дискретного преобразования Фурье :

$X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)},$

где $x_{_{N}}$ представляет собой периодическое суммирование: $x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].$

При оценке всех целых чисел $k$ от 0 до $N$ -1 массив: $S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}$ представляет собой периодограмму . ^[4]^[5]^[6]

Приложения

Когда периодограмма используется для изучения подробных характеристик КИХ -фильтра или оконной функции , параметр $N$ выбирается равным нескольким кратным ненулевой длительности последовательности $x [n]$ , что называется заполнением нулями (см. § Выборка DTFT ). ^[А] Когда он используется для реализации банка фильтров , $N$ представляет собой несколько долей ненулевой длительности последовательности $x [n]$ (см. § Выборка DTFT ).

Одним из недостатков периодограммы является то, что дисперсия на заданной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в расчетах. Он не обеспечивает усреднение, необходимое для анализа шумоподобных сигналов или даже синусоид при низком отношении сигнал/шум. Оконные функции и импульсные характеристики фильтров бесшумны, но многие другие сигналы требуют более сложных методов спектральной оценки . Две альтернативы используют периодограммы как часть процесса:

Метод усредненных периодограмм , ^[8] более известный как метод Уэлча , ^[9]^[10] делит длинную последовательность x[n] на несколько более коротких и, возможно, перекрывающихся подпоследовательностей. Он вычисляет оконную периодограмму каждого из них и вычисляет среднее значение массива, то есть массив, в котором каждый элемент является средним значением соответствующих элементов всех периодограмм. Для стационарных процессов это уменьшает дисперсию шума каждого элемента примерно в коэффициент, обратный числу периодограмм.
Сглаживание — это метод усреднения по частоте, а не по времени. Сглаженную периодограмму иногда называют спектральным графиком . ^[11]^[12]

Методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие отклонения, которые неприемлемы в некоторых приложениях. Другие методы, не основанные на периодограммах, представлены в статье об оценке спектральной плотности .

См. также

Соответствующий фильтр
Фильтрованная обратная проекция (преобразование Радона)
метод Уэлча
метод Бартлетта
Преобразование Фурье дискретного времени
Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодограмм в данных, которые неравномерно распределены.
Классификация множественных сигналов (MUSIC), популярный параметрический сверхразрешения . метод
САМВ

Примечания

^ $N$ обозначается $NFFT$ в приложениях Matlab и Octave.

Ссылки

^ Шустер, Артур (январь 1898 г.). «Об исследовании скрытых периодичностей с применением к предполагаемому 26-дневному периоду метеорологических явлений» (PDF) . Земной магнетизм . 3 (1): 13–41. Бибкод : 1898TeMag...3...13S . дои : 10.1029/TM003i001p00013 . Удобно иметь слово для обозначения некоторой переменной величины, которая должна соответствовать «спектру» светового излучения. Я предлагаю слово периодограмма и определяю его более конкретно следующим образом.
^ Максвини, Лаура А. (14 мая 2004 г.). «Сравнение тестов периодограммы». Журнал статистических вычислений и моделирования . 76 (4). онлайн (50 долларов): 357–369. дои : 10.1080/10629360500107618 . S2CID 120439605 .
^ «Периодограмма — документация на языке Wolfram» .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB» .
^ Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 732 (10,55). ISBN 0-13-754920-2 .
^ Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). «6.18» . Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 415 . ISBN 0-13-914101-4 .
^ «Наука своими руками — скрывается ли в этом графике Проксима c?» . www.eso.org . Проверено 11 сентября 2017 г.
^ Энгельберг, С. (2008), Цифровая обработка сигналов: экспериментальный подход , Springer, Глава. 7 р. 56
^ Уэлч, Питер Д. (июнь 1967 г.). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . АУ-15 (2): 70–73. Бибкод : 1967ITAE...15...70W . дои : 10.1109/ТАУ.1967.1161901 .
^ «Оценка спектральной плотности мощности Уэлча - MATLAB pwelch» .
^ Спектральный график , из Справочника инженерной статистики NIST .
^ «Справочное руководство DATAPLOT» (PDF) . NIST.gov . Национальный институт стандартов и технологий (NIST). 11 марта 1997 г. Проверено 14 июня 2019 г. Спектральный график по сути представляет собой «сглаженную» периодограмму, в которой сглаживание выполняется в частотной области.

Дальнейшее чтение

Бокс, Джордж Э.П.; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: Прогнозирование и контроль . Сан-Франциско: Холден-Дэй.
Скаргл, доктор юридических наук (15 декабря 1982 г.). «Исследования по анализу астрономических временных рядов. II - Статистические аспекты спектрального анализа неравномерно расположенных данных». Астрофизический журнал, Часть 1 . 263 : 835–853. Бибкод : 1982ApJ...263..835S . дои : 10.1086/160554 .
Воган, Саймон; Аттли, Филип (2006). «Обнаружение рентгеновских QPO в активных галактиках». Достижения в космических исследованиях . 38 (7): 1405–1408. arXiv : astro-ph/0506456 . Бибкод : 2006АдСпР..38.1405В . дои : 10.1016/j.asr.2005.02.064 . S2CID 21054467 .

[8] $N$ обозначается $NFFT$ в приложениях Matlab и Octave.

[Schuster-1] Шустер, Артур (январь 1898 г.). «Об исследовании скрытых периодичностей с применением к предполагаемому 26-дневному периоду метеорологических явлений» (PDF) . Земной магнетизм . 3 (1): 13–41. Бибкод : 1898TeMag...3...13S . дои : 10.1029/TM003i001p00013 . Удобно иметь слово для обозначения некоторой переменной величины, которая должна соответствовать «спектру» светового излучения. Я предлагаю слово периодограмма и определяю его более конкретно следующим образом.

[Comparison-2] Максвини, Лаура А. (14 мая 2004 г.). «Сравнение тестов периодограммы». Журнал статистических вычислений и моделирования . 76 (4). онлайн (50 долларов): 357–369. дои : 10.1080/10629360500107618 . S2CID 120439605 .

[Wolfram-3] «Периодограмма — документация на языке Wolfram» .

[Matlab-4] Перейти обратно: ^а ^б «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB» .

[Oppenheim-5] Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 732 (10,55). ISBN 0-13-754920-2 .

[Rabiner-6] Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). «6.18» . Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 415 . ISBN 0-13-914101-4 .

[7] «Наука своими руками — скрывается ли в этом графике Проксима c?» . www.eso.org . Проверено 11 сентября 2017 г.

[Engelberg-9] Энгельберг, С. (2008), Цифровая обработка сигналов: экспериментальный подход , Springer, Глава. 7 р. 56

[Welch-10] Уэлч, Питер Д. (июнь 1967 г.). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . АУ-15 (2): 70–73. Бибкод : 1967ITAE...15...70W . дои : 10.1109/ТАУ.1967.1161901 .

[Welch2-11] «Оценка спектральной плотности мощности Уэлча - MATLAB pwelch» .

[smoothing-12] Спектральный график , из Справочника инженерной статистики NIST .

[dataplot-13] «Справочное руководство DATAPLOT» (PDF) . NIST.gov . Национальный институт стандартов и технологий (NIST). 11 марта 1997 г. Проверено 14 июня 2019 г. Спектральный график по сути представляет собой «сглаженную» периодограмму, в которой сглаживание выполняется в частотной области.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[А]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]