SAMV (алгоритм)

SAMV ( итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия ) — это безпараметрический алгоритм сверхразрешения для линейной обратной задачи спектральной оценки , оценки направления прибытия (DOA) и томографической реконструкции с приложениями в обработке сигналов , медицинской визуализации и дистанционном зондировании . Название было придумано в 2013 году. чтобы подчеркнуть его основу на критерии асимптотически минимальной дисперсии (AMV). Это мощный инструмент для восстановления как амплитудных, так и частотных характеристик нескольких сильно коррелированных источников в сложных условиях (например, при ограниченном количестве снимков и низком отношении сигнал/шум ). Приложения включают радар с синтезированной апертурой , компьютерная томография и магнитно-резонансная томография (МРТ) .

Определение

Формулировка алгоритма SAMV дана как обратная задача в контексте оценки DOA. Предположим, $M$-элемент однородной линейной матрицы (ULA) получает $K$ узкополосные сигналы, излучаемые источниками, расположенными в местах $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$, соответственно. Датчики в ULA накапливают $N$ снимки за определенное время. $M\times 1$ векторы размерных снимков:

$\mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N$

где $\mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]$ это рулевая матрица , ${\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}$ содержит исходные сигналы и ${\bf {e}}(n)$ это шумовой термин. Предположим, что $\mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}$, где $\delta _{n,{\bar {n}}}$ является дельтой Дирака и равна 1, только если $n={\bar {n}}$ и 0 в противном случае. Также предположим, что ${\bf {e}}(n)$ и ${\bf {x}}(n)$ независимы, и это $\mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}$, где ${\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})$. Позволять ${\bf {p}}$ быть вектором, содержащим неизвестные мощности сигнала и дисперсию шума, ${\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}$.

матрица Ковариационная ​ ${\bf {y}}(n)$ который содержит всю информацию о ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ является

${\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.$

Эту ковариационную матрицу можно традиционно оценить с помощью выборочной ковариационной матрицы. ${\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N$ где ${\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]$. После применения оператора векторизации к матрице ${\bf {R}}$, полученный вектор ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})$ линейно связана с неизвестным параметром ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ как

${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$,

где ${\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]$, ${\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]$, ${\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}$, $k=1,\ldots ,K$, и пусть ${\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})$где $\otimes$является произведением Кронекера.

Алгоритм SAMV

Чтобы оценить параметр ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ из статистики ${\bf {r}}_{N}$, мы разрабатываем серию итерационных подходов SAMV, основанных на критерии асимптотически минимальной дисперсии. От, ковариационная матрица $\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }$ произвольной последовательной оценки ${\boldsymbol {p}}$ на основе статистики второго порядка ${\bf {r}}_{N}$ ограничен вещественной симметричной положительно определенной матрицей

$\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},$

где ${\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}$. Кроме того, эта нижняя оценка достигается с помощью ковариационной матрицы асимптотического распределения ${\hat {\bf {p}}}$ полученный путем минимизации,

${\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),$

где $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$

Таким образом, оценка ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ можно получить итерационно.

The $\{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}$ и ${\hat {\sigma }}$ которые минимизируют $f({\boldsymbol {p}})$ можно вычислить следующим образом. Предполагать ${\hat {p}}_{k}^{(i)}$ и ${\hat {\sigma }}^{(i)}$ были в определенной степени аппроксимированы $i$на итерации они могут быть уточнены на $(i+1)$итерация,

${\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K$

${\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},$

где оценка ${\bf {R}}$ в $i$итерация определяется выражением ${\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}$ с ${\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})$.

За пределами точности сетки сканирования

Разрешение большинства методов локализации источника, основанных на сжатом зондировании, ограничено точностью сетки направлений, которая покрывает пространство параметров местоположения. В модели восстановления разреженного сигнала разреженность истинного сигнала $\mathbf {x} (n)$ зависит от расстояния между соседними элементами в неполном словаре ${\bf {A}}$Поэтому возникает трудность выбора оптимального сверхполного словаря . Вычислительная сложность прямо пропорциональна мелкости сетки направлений, очень плотная сетка непрактична в вычислительном отношении. бессеточный SAMV-SML ( итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия - стохастическое максимальное правдоподобие ): Чтобы преодолеть это ограничение разрешения, налагаемое сеткой, предлагается которые уточняют оценки местоположения ${\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}$ путем итеративной минимизации стохастической функции стоимости максимального правдоподобия по отношению к одному скалярному параметру $\theta _{k}$.

Применение к допплеровской визуализации

Сравнение результатов доплеровской визуализации диапазона SISO с тремя целями по 5 дБ и шестью целями по 25 дБ. (а) основная истина, (б) согласованный фильтр (MF), (в) алгоритм IAA, (d) алгоритм SAMV-0. Все уровни мощности указаны в дБ. Оба метода MF и IAA ограничены по разрешению относительно доплеровской оси. SAMV-0 обеспечивает превосходное разрешение как по дальности, так и по доплеровскому уровню.

Типичное применение алгоритма SAMV в задаче SISO радара / гидролокатора с доплеровской визуализацией . Эта задача визуализации представляет собой приложение с одним снимком, и в него включены алгоритмы, совместимые с оценкой с одним снимком, например, согласованный фильтр (MF, аналогичный периодограмме или обратному проецированию , который часто эффективно реализуется как быстрое преобразование Фурье (БПФ)), IAA , и вариант алгоритма SAMV (SAMV-0). Условия моделирования идентичны: А $30$ трехэлементного типа В качестве передаваемого импульса используется код P3 со сжатием многофазных импульсов , и всего моделируются девять движущихся целей. Из всех движущихся целей три имеют $5$ мощность дБ, а остальные шесть имеют $25$ мощность дБ. Предполагается, что полученные сигналы загрязнены однородным белым гауссовским шумом $0$ мощность дБ.

Результат обнаружения согласованного фильтра страдает от сильных эффектов размытия и утечки как в доплеровской области, так и в области дальности, поэтому невозможно различить $5$ Целевые значения дБ. Напротив, алгоритм IAA предлагает улучшенные результаты визуализации с наблюдаемыми оценками целевого диапазона и доплеровскими частотами. Подход SAMV-0 обеспечивает очень разреженный результат и полностью устраняет эффекты размытия, но не учитывает слабые $5$ Целевые значения дБ.

Реализация с открытым исходным кодом

с открытым исходным кодом Реализацию алгоритма SAMV в MATLAB можно скачать здесь .

См. также

• Обработка массивов - Область исследований в области обработки сигналов.
• Согласованный фильтр — фильтры, используемые при обработке сигналов, которые в некотором смысле оптимальны.
• Периодограмма – оценка спектральной плотности сигнала.
• Фильтрованная обратная проекция – Интегральное преобразование (преобразование Радона)
• Классификация нескольких сигналов - алгоритм, используемый для оценки частоты и радиопеленгации (МУЗЫКА), популярный параметрический сверхразрешения . метод
• Импульсно-доплеровский радар - Тип радиолокационной системы
• Визуализация со сверхвысоким разрешением - любой метод, позволяющий улучшить разрешение системы визуализации за пределами обычных пределов.
• Сжатое зондирование – техника обработки сигналов
• Обратная задача - процесс расчета причинных факторов, в результате которых был получен набор наблюдений.
• Томографическая реконструкция – оценка свойств объекта по конечному числу проекций.