МУЗЫКА (алгоритм)

Радиопеленгация по алгоритму МУЗЫКА

МУЗЫКА ( Множественная классификация сигналов ) — это алгоритм, используемый для оценки частоты. и радиопеленгация .

История

Во многих практических задачах обработки сигналов целью является оценка на основе измерений набора постоянных параметров, от которых зависят принимаемые сигналы. Существовало несколько подходов к решению таких проблем, включая так называемый метод максимального правдоподобия (ML) Кэпона (1969) и метод максимальной энтропии (ME) Бурга. Хотя эти методы часто успешны и широко используются, они имеют определенные фундаментальные ограничения (особенно смещение и чувствительность в оценках параметров), главным образом потому, что они используют неправильную модель (например, AR, а не специальную ARMA ) измерений.

Писаренко (1973) был одним из первых, кто использовал структуру модели данных, делая это в контексте оценки параметров сложных синусоид в аддитивном шуме с использованием ковариационного подхода. Шмидт (1977), работая в Northrop Grumman и независимо Бьенвеню и Копп (1979), были первыми, кто правильно использовал модель измерения в случае матриц датчиков произвольной формы. Шмидт, в частности, достиг этого, сначала получив полное геометрическое решение в отсутствие шума, а затем ловко расширив геометрические концепции для получения разумного приближенного решения в присутствии шума. Получившийся алгоритм получил название MUSIC (Множественная классификация сигналов) и широко изучался.

В результате детальной оценки, основанной на тысячах симуляций, лаборатория Линкольна Массачусетского технологического института в 1998 году пришла к выводу, что среди принятых в настоящее время алгоритмов высокого разрешения MUSIC является наиболее многообещающим и ведущим кандидатом для дальнейшего изучения и реальной аппаратной реализации. Однако, хотя преимущества в производительности MUSIC значительны, они достигаются за счет вычислений (поиска в пространстве параметров) и хранения (данных калибровки массива).

Теория

Метод MUSIC предполагает, что вектор сигнала, $\mathbf {x}$, состоит из $p$ комплексные экспоненты, частоты которых $\omega$ неизвестны, при наличии гауссовского белого шума $\mathbf {n}$, как задано линейной моделью

$\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .$

Здесь $\mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _{1}),\cdots ,\mathbf {a} (\omega _{p})]$ это $M\times p$ Матрица Вандермонда векторов управления $\mathbf {a} (\omega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega },\ldots ,e^{j(M-1)\omega }]^{T}$ и $\mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{p}]^{T}$ – вектор амплитуды. Важным предположением является то, что количество источников, $p$, меньше количества элементов в векторе измерения, $M$, то есть $p<M$.

The $M\times M$ автокорреляционная матрица $\mathbf {x}$ затем дается

$\mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I} ,$

где $\sigma ^{2}$ это дисперсия шума, $\mathbf {I}$ является $M\times M$ идентификационная матрица и $\mathbf {R} _{s}$ это $p\times p$ автокорреляционная матрица $\mathbf {s}$.

Матрица автокорреляции $\mathbf {R} _{x}$ традиционно оценивается с использованием выборочной корреляционной матрицы

${\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}$

где $N>M$ количество векторных наблюдений и $\mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]$. Учитывая оценку $\mathbf {R} _{x}$, MUSIC оценивает частотный состав сигнала или матрицы автокорреляции, используя метод собственного пространства .

С $\mathbf {R} _{x}$ является эрмитовой матрицей, все ее $M$ собственные векторы $\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}$ ортогональны друг другу. Если собственные значения $\mathbf {R} _{x}$ отсортированы в порядке убывания, собственные векторы $\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}$ соответствующий $p$ наибольшие собственные значения (т.е. направления наибольшей изменчивости) охватывают подпространство сигнала ${\mathcal {U}}_{S}$. Остальные $M-p$ собственные векторы соответствуют собственному значению, равному $\sigma ^{2}$ и охватить шумовое подпространство ${\mathcal {U}}_{N}$, ортогональный сигнальному подпространству, ${\mathcal {U}}_{S}\perp {\mathcal {U}}_{N}$.

Обратите внимание, что для $M=p+1$МУЗЫКА идентична гармоническому разложению Писаренко . Общая идея метода MUSIC состоит в том, чтобы использовать все собственные векторы, охватывающие подпространство шума, для улучшения производительности средства оценки Писаренко.

Поскольку любой вектор сигнала $\mathbf {e}$ который находится в сигнальном подпространстве $\mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}$ должно быть ортогонально шумовому подпространству, $\mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}$, должно быть так $\mathbf {e} \perp \mathbf {v} _{i}$ для всех собственных векторов $\{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M}$ который охватывает подпространство шума. Чтобы измерить степень ортогональности $\mathbf {e}$ в отношении всех $\mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}}_{N}$, алгоритм MUSIC определяет квадрат нормы

$d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}$

где матрица $\mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]$ - матрица собственных векторов, охватывающих подпространство шума ${\mathcal {U}}_{N}$. Если $\mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}$, затем $d^{2}=0$ как следует из условия ортогональности. Взятие обратного выражения квадрата нормы создает резкие пики на частотах сигнала. Функция оценки частоты для МУЗЫКИ (или псевдоспектра) имеет вид

${\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},$

где $\mathbf {v} _{i}$ собственные векторы шума и

$\mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}$

— потенциальный управляющий вектор. Места проведения $p$ наибольшие пики функции оценки дают оценки частоты для $p$ компоненты сигнала

${\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).$

МУЗЫКА является обобщением метода Писаренко и сводится к методу Писаренко, когда $M=p+1$. В методе Писаренко для формирования знаменателя функции оценки частоты используется только один собственный вектор; а собственный вектор интерпретируется как набор коэффициентов авторегрессии , нули которых можно найти аналитически или с помощью алгоритмов поиска полиномиального корня. Напротив, MUSIC предполагает, что несколько таких функций были добавлены вместе, поэтому нули могут отсутствовать. Вместо этого существуют локальные минимумы, которые можно обнаружить путем вычислительного поиска функции оценки пиков.

Размер сигнального пространства

Фундаментальное наблюдение, на котором основаны MUSIC и другие методы декомпозиции подпространства, касается ранга матрицы автокорреляции. $\mathbf {R} _{x}$ что связано с количеством источников сигнала $p$ следующее.

Если источники сложные, то $M>p$ и размерность сигнального подпространства ${\mathcal {U}}_{S}$ является $p$.Если источники реальные, то $M>2p$ а размерность сигнального подпространства равна $2p$, т.е. каждая реальная синусоида порождается двумя базовыми векторами.

Этот фундаментальный результат, хотя его часто пропускают в книгах по спектральному анализу, является причиной того, что входной сигнал можно разделить на $p$ собственные векторы сигнального подпространства ${\mathcal {U}}_{S}$ ( $2p$ для действительных сигналов) и собственные векторы шумового подпространства, охватывающие ${\mathcal {U}}_{N}$. Он основан на теории встраивания сигналов. и также может быть объяснено топологической теорией многообразий .

Сравнение с другими методами

МУЗЫКА превосходит простые методы, такие как сбор пиков спектров ДПФ в присутствии шума, когда количество компонентов известно заранее, поскольку оно использует знание этого числа, чтобы игнорировать шум в своем окончательном отчете.

В отличие от ДПФ, он способен оценивать частоты с точностью выше, чем одна выборка, поскольку его оценочную функцию можно оценивать для любой частоты, а не только для интервалов ДПФ. Это форма сверхразрешения .

Его главный недостаток состоит в том, что он требует предварительного знания количества компонентов, поэтому оригинальный метод не может быть использован в более общих случаях. Существуют методы оценки количества компонентов источника исключительно на основе статистических свойств матрицы автокорреляции. Смотри, например Кроме того, МУЗЫКА предполагает, что сосуществующие источники не коррелируют, что ограничивает ее практическое применение.

Последние итеративные полупараметрические методы обеспечивают надежное сверхразрешение, несмотря на сильно коррелированные источники, например, SAMV.

Другие приложения

Модифицированная версия МУЗЫКИ, обозначенная как МУЗЫКА с обращением времени (TR-MUSIC), недавно была применена для компьютерной визуализации с обращением времени. Алгоритм MUSIC также был реализован для быстрого обнаружения частот DTMF ( двухтональная многочастотная сигнализация ) в виде библиотеки C — libmusic. (в том числе для реализации MATLAB).

См. также

• Оценка спектральной плотности
• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• метод Уэлча
• метод Бартлетта
• SAMV (алгоритм)
• Радиопеленгация
• Алгоритм определения высоты тона
• Микроскопия высокого разрешения

Дальнейшее чтение

• Оценка и отслеживание частоты, Куинн и Ханнан, Cambridge University Press, 2001.