Сжатие импульсов

Сжатие импульсов — это метод обработки сигналов, обычно используемый в радарах , гидролокаторах и эхографии для увеличения разрешения по дальности , когда длина импульса ограничена, или для увеличения отношения сигнал/шум, когда пиковая мощность и полоса пропускания (или, что эквивалентно, разрешение по дальности) передаваемого сигнала ограничены. Это достигается путем модуляции передаваемого импульса и последующей корреляции полученного сигнала с переданным импульсом.

Простой пульс

Описание сигнала

Идеальная модель простейшего и исторически первого типа сигналов, которые может передавать импульсный радар или гидролокатор, — это усеченный синусоидальный импульс (также называемый импульсом несущей волны CW) амплитуды $A$ и несущая частота , $f_{0}$, усеченный прямоугольной функцией ширины, $T$. Пульс передается периодически, но это не основная тема данной статьи; мы будем рассматривать только одиночный импульс, $s$. Если предположить, что импульс начинается в момент времени $t=0$сигнал можно записать следующим образом, используя комплексное обозначение :

$s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Разрешение диапазона

Определим разрешающую способность по дальности, которую можно получить с помощью такого сигнала. Обратный сигнал, записанный $r(t)$, представляет собой ослабленную и сдвинутую во времени копию исходного передаваемого сигнала (в действительности эффект Доплера тоже может играть роль, но здесь это не важно). В приходящем сигнале также присутствует шум, как на мнимом, так и на реальном канал. Предполагается, что шум ограничен по полосе, то есть имеет частоты только в $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$ (это обычно справедливо в реальности, где полосовой фильтр обычно используется в качестве одного из первых этапов в цепи приема); мы пишем $N(t)$ для обозначения этого шума. Для обнаружения входящего сигнала согласованный фильтр обычно используется . Этот метод оптимален, когда известный сигнал необходимо обнаружить среди аддитивного шума, имеющего нормальное распределение .

Другими словами, вычисляется взаимная корреляция принятого сигнала с переданным сигналом. Это достигается путем свертки входящего сигнала с сопряженной и обращенной во времени версией передаваемого сигнала. Эту операцию можно выполнить как программно, так и аппаратно. Мы пишем $\langle s,r\rangle (t)$ для этой взаимной корреляции. У нас есть:

$\langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'$

Если отраженный сигнал возвращается к приемнику за время $t_{r}$ и ослабляется коэффициентом $A$, это дает:

$r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.$

Зная передаваемый сигнал, получаем:

$\langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)$

где $N'(t)$, является результатом взаимной корреляции между шумом и передаваемым сигналом. Функция $\Lambda$ — функция треугольника, ее значение равно 0 на ${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$, оно линейно возрастает по ${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$ где он достигает максимума 1 и линейно убывает по ${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$ пока оно снова не достигнет 0. Цифры в конце этого абзаца показывают форму взаимной корреляции для выборочного сигнала (красным), в данном случае реального усеченного синуса, длительностью $T=1$ секунды, единичной амплитуды и частоты ${\textstyle f_{0}=10}$ герц. Два эха (синего цвета) возвращаются с задержкой 3 и 5 секунд и амплитудой, равной 0,5 и 0,3 амплитуды переданного импульса соответственно; это просто случайные значения для примера. Поскольку сигнал реальный, взаимная корреляция взвешивается дополнительным 1/2 ​ фактора .

Если два импульса возвращаются (почти) одновременно, взаимная корреляция равна сумме взаимных корреляций двух элементарных сигналов. Чтобы отличить одну «треугольную» огибающую от огибающей другого импульса, ясно видно, что время прихода двух импульсов должно быть разделено как минимум на $T$ так что максимумы обоих импульсов могут быть разделены. Если это условие не будет выполнено, оба треугольника будут перемешаны и их невозможно будет разделить.

Поскольку расстояние, пройденное волной за время $T$ является $cT$ (где c — скорость волны в среде), а поскольку это расстояние соответствует времени прохождения туда и обратно, получаем:

Результат 1
Разрешение по дальности при синусоидальном импульсе составляет ${\textstyle {\frac {1}{2}}cT}$ где $T$ - длительность импульса и, $c$, скорость волны. Вывод: для увеличения разрешения необходимо уменьшать длину импульса.

 

Пример (простой импульс): переданный сигнал красного цвета (несущая 10 герц, амплитуда 1, длительность 1 секунда) и два эха (синий цвет).

До согласованной фильтрации	После согласованной фильтрации
Если цели достаточно разделены...	...можно различить эхо.
Если цели слишком близки...	...эхо смешалось вместе.

Энергия и отношение сигнал/шум принятого сигнала

Мгновенная мощность принятого импульса равна $P(t)=|r|^{2}(t)$. Энергия, вложенная в этот сигнал, равна:

$E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T$

Если $\sigma$ — стандартное отклонение шума, который, как предполагается, имеет ту же полосу пропускания, что и сигнал, отношение сигнал/шум (SNR) в приемнике равно:

$SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}$

SNR пропорционально длительности импульса. $T$, если другие параметры остаются постоянными. Это вводит компромисс: увеличение $T$ улучшает SNR, но снижает разрешение, и наоборот.

Сжатие импульсов за счет линейной частотной модуляции (или чирпинга )

Основные принципы

Как можно иметь достаточно большой импульс (чтобы при этом иметь хорошее соотношение сигнал/шум на приемнике) без плохого разрешения? Именно здесь на сцену выходит сжатие импульсов. Основной принцип заключается в следующем:

• передается сигнал достаточно большой длины, чтобы энергетический баланс был правильным
• этот сигнал устроен так, что после согласованной фильтрации ширина взаимосвязанных сигналов становится меньше ширины, полученной стандартным синусоидальным импульсом, как объяснялось выше (отсюда и название метода: сжатие импульса).

В радарах или гидролокаторах линейные чирпы являются наиболее часто используемыми сигналами для сжатия импульсов. Поскольку импульс имеет конечную длину, амплитуда представляет собой прямоугольную функцию . Если передаваемый сигнал имеет длительность $T$, начинается в $t=0$ и линейно сканирует полосу частот $\Delta f$ сосредоточено на носителе $f_{0}$, можно написать:

$s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.$

Приведенное выше определение чирпа означает, что фаза чирпированного сигнала (то есть аргумент комплексной экспоненты) является квадратичной:

$\phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)$

таким образом, мгновенная частота (по определению):

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t$

предполагаемый линейный пандус, идущий от $f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}$ в $t=0$ к ${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$ в $t=T$.

Отношение фазы к частоте часто используется в другом направлении, начиная с желаемого. $f(t)$ и записываем фазу чирпа посредством интегрирования частоты:

$\phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du$

Этот передаваемый сигнал обычно отражается от цели и подвергается затуханию по разным причинам, поэтому принятый сигнал представляет собой ослабленную версию передаваемого сигнала с задержкой по времени плюс аддитивный шум постоянной спектральной плотности мощности на $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$, и ноль везде:

$r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.$

Взаимная корреляция между переданным и полученным сигналом

Теперь мы попытаемся вычислить корреляцию принятого сигнала с переданными сигналами. Для этого будут предприняты два действия:

— Первое действие — упрощение. Вместо вычисления взаимной корреляции мы собираемся вычислить автокорреляцию, что означает предположение, что пик автокорреляции находится в центре нуля. Это не изменит разрешение и амплитуды, но упростит математические вычисления:

$r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

- Второе действие, как показано ниже, заключается в установке амплитуды опорного сигнала, которая не равна единице, а $\rho \neq 1$. Постоянный $\rho$ должна быть определена так, чтобы энергия сохранялась посредством корреляции.

$s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

Теперь это можно показать что корреляционная функция $s_{c}'$ с $r'$ является:

$\langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)$

где $N'(t)$ – корреляция опорного сигнала с принятым шумом.

Ширина сигнала после корреляции

Предполагая, что шум равен нулю, максимум автокорреляционной функции $s_{c'}$ достигается при 0. Около 0 эта функция ведет себя как член sinc (или кардинальный синус), определенный здесь как $sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)$. Временная ширина этого кардинального синуса -3 дБ более или менее равна ${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$. Все происходит так, как если бы после согласованной фильтрации мы получили разрешение, которого можно было бы достичь с помощью простого импульса длительностью $T'$. За общие ценности $\Delta f$, $T'$ меньше, чем $T$отсюда и название сжатия импульса .

Поскольку кардинальный синус может иметь раздражающие боковые лепестки , общепринятой практикой является фильтрация результата по окну ( Хемминга , Ханна и т. д.). На практике это можно сделать одновременно с адаптированной фильтрацией, умножив опорный чирп на фильтр. В результате получится сигнал с несколько меньшей максимальной амплитудой, но боковые лепестки будут отфильтрованы, что более важно.

Результат 2
Разрешение по расстоянию, достижимое при линейной частотной модуляции импульса по полосе пропускания $\Delta f$ является: ${\textstyle {\frac {c}{2\Delta f}}}$ где $c$ это скорость волны.

 

Определение
Соотношение ${\textstyle {\frac {T}{T'}}=T\Delta f}$ – степень сжатия импульса. Обычно оно больше 1 (обычно его значение составляет от 20 до 30).

 

Пример (чипированный импульс): переданный сигнал красного цвета (несущая 10 герц, модуляция 16 герц, амплитуда 1, длительность 1 секунда) и два эха (синий цвет).

До согласованной фильтрации: эхо-сигналы длинные и имеют низкую амплитуду.

После согласованной фильтрации: эхо-сигналы короче по времени и имеют более высокую пиковую мощность.

Энергия и пиковая мощность после корреляции

Когда опорный сигнал $s_{c}'$ правильно масштабируется с использованием термина $\rho$, то можно сохранить энергию до и после корреляции. Пиковая (и средняя) мощность до корреляции равна:

$P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}$

Поскольку до сжатия импульс имеет коробчатую форму, энергия до корреляции равна:

$E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T$

Пиковая мощность после корреляции достигается при $t=0$:

$P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T$

Обратите внимание, что если $\rho =1$ эта пиковая мощность представляет собой энергию принятого сигнала до корреляции, что соответствует ожиданиям.После сжатия импульс аппроксимируется прямоугольником, ширина которого равна типичной ширине импульса. $sinc$ функция, то есть ширина $T'=1/\Delta f$, поэтому энергия после корреляции равна:

$E_{<s_{c}',r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c}',r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}$

Если энергия сохраняется:

$E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}$

... получается: $\rho ={\sqrt {\Delta f}}$ так что пиковая мощность после корреляции равна:

$P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=\rho ^{2}A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T$

Таким образом, пиковая мощность сжатого импульсного сигнала равна $\Delta f\times T$ исходного полученного сигнала (при условии, что шаблон $s_{c}'$ правильно масштабируется для сохранения энергии за счет корреляции).

Отношение сигнал/шум после корреляции

Эквивалентность чирпированного импульса и более короткого непрерывного импульса после сжатия импульса. Энергия — это площадь под синими кривыми (во временной области); мощность — площадь под красными кривыми (в спектральной области).

Как мы видели выше, все написано так, что энергия сигнала не меняется при сжатии импульса. Однако теперь он расположен в главной доле кардинального синуса, ширина которого составляет примерно ${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$. Если $P$ - мощность сигнала до сжатия, а $P'$ мощность сигнала после сжатия, энергия $E$ сохраняется, и мы имеем:

$E=P\times T=P'\times T'$

что дает прирост мощности после сжатия импульса:

$P'=P\times {\frac {T}{T'}}$

В спектральной области спектр мощности чирпа имеет почти постоянную спектральную плотность. $D=P/\Delta f$ в интервале $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$ и ноль в других местах, так что энергия эквивалентно выражается как $E=P\times T=D.\Delta f.T$. Эта спектральная плотность остается неизменной после согласованной фильтрации.

Представив теперь эквивалентный синусоидальный (CW) импульс длительностью $T'=1/\Delta f$ и одинаковой входной мощности, этот эквивалентный синусоидальный импульс имеет энергию:

$E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}$

После согласованной фильтрации эквивалентный синусоидальный импульс превращается в сигнал треугольной формы, вдвое превышающий исходную ширину, но с той же пиковой мощностью. Энергия сохраняется. Спектральная область аппроксимируется почти постоянной спектральной плотностью $D'$ в интервале $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$ где $\Delta f\approx 1/T'$. Благодаря сохранению энергии мы имеем:

$E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'$

Поскольку по определению мы также имеем: $E'=D'\Delta fT'$ получается, что: $D'=D$ это означает, что спектральные плотности чирпированного импульса и эквивалентного непрерывного импульса почти идентичны и эквивалентны спектральной плотности полосового фильтра на $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$. Фильтрующий эффект корреляции также действует на шум, а это означает, что эталонная полоса шума равна $\Delta f$ и поскольку $D=D'$, после корреляции в обоих случаях достигается одинаковый эффект фильтрации шума. Это означает, что конечный эффект сжатия импульса заключается в том, что по сравнению с эквивалентным CW-импульсом отношение сигнал/шум (SNR) улучшилось в несколько раз. $T/T'$ потому что сигнал усиливается, но не шум.

Как следствие: 

Результат 3

После сжатия импульса отношение сигнал/шум можно считать усиленным за счет $T\Delta f$ по сравнению с базовой ситуацией непрерывного импульса длительностью $T'=1/\Delta f$ и ту же амплитуду, что и ЛЧМ-модулированный сигнал до сжатия, когда принятый сигнал и шум (неявно) подверглись полосовой фильтрации на $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$. Это дополнительное усиление может быть включено в уравнение радиолокации .

 

Пример: те же сигналы, что и выше, плюс аддитивный белый гауссиан, прошедший полосовую фильтрацию (стандартное отклонение действительной части: 0,125 после фильтрации). После корреляции мощность шума не меняется. Сам сигнал усиливается в четыре раза (или в 16 раз по мощности, как предсказывает теория).

Перед согласованной фильтрацией: сигнал скрыт в шуме

После согласованной фильтрации: эхо становится видимым.

По техническим причинам корреляция не обязательно выполняется для фактически полученных CW-импульсов, как для чирпированных импульсов. Однако во время сдвига основной полосы сигнал подвергается полосовой фильтрации на $[f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]$ который оказывает такое же суммарное влияние на шум, как и корреляция, поэтому общие рассуждения остаются теми же (т. е. отношение сигнал/шум имеет смысл только для шума, определенного в данной полосе пропускания, в данном случае это полоса пропускания сигнала).

Такое увеличение отношения сигнал/шум кажется волшебным, но помните, что спектральная плотность мощности не отражает фазу сигнала. В действительности фазы различны для эквивалентного импульса CW, импульса CW после корреляции, исходного чирпированного импульса и коррелированного чирпированного импульса, что объясняет разные формы сигналов (особенно разную длину), несмотря на то, что они имеют (почти) одинаковую мощность. Спектр во всех случаях. Если пиковая мощность передачи $P$ и пропускная способность $\Delta f$ ограничены, сжатие импульсов таким образом обеспечивает лучшую пиковую мощность (но то же разрешение) за счет передачи более длинного импульса (то есть большей энергии) по сравнению с эквивалентным непрерывным импульсом той же пиковой мощности. $P$ и пропускная способность $\Delta f$, и сжимая пульс по корреляции. Лучше всего это работает только для ограниченного числа типов сигналов, которые после корреляции имеют более узкий пик, чем исходный сигнал, и низкие боковые лепестки.

Растягивающая обработка

Хотя сжатие импульсов может одновременно обеспечить хорошее соотношение сигнал/шум и высокое разрешение по диапазону, цифровую обработку сигналов в такой системе может быть сложно реализовать из-за высокой мгновенной полосы пропускания сигнала ( $\Delta f$ может составлять сотни мегагерц или даже превышать 1 ГГц.) Растягивающая обработка — это метод согласованной фильтрации широкополосного ЛЧМ-сигнала, который подходит для приложений, требующих очень высокого разрешения по диапазону на относительно коротких интервалах.

Растягивающая обработка

На рисунке выше показан сценарий анализа обработки растяжения. Центральная контрольная точка (CRP) находится в середине интересующего окна диапазона на расстоянии $R_{0}$, что соответствует временной задержке $t_{0}$.

Если передаваемый сигнал представляет собой сигнал с ЛЧМ:

$x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T$

затем эхо от цели на расстоянии $R_{b}$может быть выражено как:

${\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T$

где $\rho$ пропорциональна отражательной способности рассеивателя.Затем мы умножаем эхо на ${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$ и эхо станет:

$y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T$

где $\lambda$ — длина волны электромагнитной волны в воздухе.

После проведения дискретизации и дискретного преобразования Фурье по y(t) частота синусоиды $F_{b}$ можно решить:

$F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)$

и дифференциальный диапазон $\delta R_{b}$ можно получить:

$\delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}$

Чтобы показать, что полоса пропускания y(t) меньше исходной полосы пропускания сигнала. $\Delta f$, мы предполагаем, что окно диапазона $R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}$ длинный. Если цель находится на нижней границе окна дальности, эхо придет. $t_{0}-T_{w}/2$ секунды после передачи; аналогично, если цель находится на верхней границе окна диапазона, эхо придет $t_{0}+T_{w}/2$ секунд после передачи.Разница во времени прибытия $\delta t_{b}$ для каждого случая есть $-T_{w}/2$ и $T_{w}/2$, соответственно.

Затем мы можем получить полосу пропускания, рассматривая разницу в частоте синусоиды для целей на нижней и верхней границе окна дальности: $$\Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f$$Как следствие: 

Результат 4
В результате обработки растяжения полоса пропускания на выходе приемника становится меньше исходной полосы пропускания сигнала, если $T_{w}<T$, тем самым облегчая внедрение системы DSP в радиолокационную систему с линейной частотной модуляцией.

 Чтобы продемонстрировать, что обработка растяжения сохраняет разрешение по дальности, нам нужно понять, что y(t) на самом деле представляет собой последовательность импульсов с длительностью импульса T и периодом $T_{trans}$, который равен периоду передаваемой последовательности импульсов. В результате преобразование Фурье y(t) на самом деле является функцией sinc с разрешением Рэлея. ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$. То есть процессор сможет разрешать скаттеры, чьи $F_{b}$ по крайней мере $\Delta F_{b}=1/T$ отдельно.

Следовательно,

${\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}$

и,

$\Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}$

что соответствует разрешению исходного сигнала линейной частотной модуляции.

Сигнал ступенчатой ​​частоты

Хотя обработка растяжения может уменьшить полосу пропускания принимаемого модулирующего сигнала, все аналоговые компоненты в схемах ВЧ-интерфейса по-прежнему должны поддерживать мгновенную полосу пропускания $\Delta f$. Кроме того, эффективная длина электромагнитной волны изменяется во время развертки частоты ЛЧМ-сигнала, и поэтому направление взгляда антенны неизбежно будет изменено в системе с фазированной решеткой .

Сигналы со ступенчатой ​​частотой — это альтернативный метод, который позволяет сохранить высокое разрешение по диапазону и отношение сигнал/шум принимаемого сигнала без большой мгновенной полосы пропускания. В отличие от чирпирующего сигнала, который линейно распространяется по всей полосе пропускания $\Delta f$ В одиночном импульсе сигнал со ступенчатой ​​частотой использует последовательность импульсов, в которой частота каждого импульса увеличивается на $\Delta F$ от предыдущего импульса. Модулирующий сигнал может быть выражен как:

$x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}$

где $x_{p}(t)$ представляет собой прямоугольный импульс длины $\tau$ M — количество импульсов в одной последовательности импульсов. Общая полоса пропускания сигнала по-прежнему равна $\Delta f=M\Delta F$, но аналоговые компоненты можно сбросить, чтобы поддерживать частоту следующего импульса в течение времени между импульсами. В результате вышеупомянутой проблемы можно избежать.

Чтобы вычислить расстояние до цели, соответствующее задержке $t_{l}+\delta t$, отдельные импульсы обрабатываются через простой импульсно-согласованный фильтр:

$h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)$

и результат согласованного фильтра:

$y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}$

где

$s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)$

Если мы возьмем образец $y_{m}(t)$ в $t=t_{l}+mT$, мы можем получить:

$y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}$

где l означает интервал l диапазона.Проведем DTFT (здесь за время подается m) и получим:

$Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}$

, а пик суммирования возникает, когда $\omega =2\pi \Delta F\delta t$.

Следовательно, DTFT $y[l,m]$ обеспечивает меру задержки цели относительно задержки интервала диапазона $t_{l}$: $$\delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}$$и дифференциальный диапазон может быть получен:

$\delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}$

где с — скорость света.

Чтобы продемонстрировать, что сигнал со ступенчатой ​​частотой сохраняет разрешение по дальности, следует отметить, что $Y[l,\omega ]$ является синк-подобной функцией и, следовательно, имеет разрешение Рэлея $\Delta f_{p}=1/M$. Как результат:

$\Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}$

и, следовательно, разрешение дифференциального диапазона составляет:

$\Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}$

что соответствует разрешению исходного сигнала линейной частотной модуляции.

Сжатие импульсов посредством фазового кодирования

Существуют и другие способы модуляции сигнала. Фазовая модуляция — широко используемый метод; в этом случае импульс делится на $N$ временные интервалы продолжительности ${\textstyle {\frac {T}{N}}}$ для которого фаза в начале координат выбирается согласно заранее установленному соглашению. Например, можно не менять фазу для некоторых временных интервалов (что сводится к тому, чтобы просто оставить сигнал в этих слотах как есть) и дефазировать сигнал в других слотах путем $\pi$ (что эквивалентно изменению знака сигнала); это известно как двоичная фазовая манипуляция . Точный способ выбора последовательности $\{0,\pi \}$ фазы могут быть выполнены в соответствии с методом, известным как коды Баркера .

Преимущества кодов Баркера – их простота (как указано выше, $\pi$ дефазировка — это простая смена знака), но степень сжатия импульса ниже, чем в случае чирпа, и сжатие очень чувствительно к изменениям частоты из-за эффекта Доплера, если это изменение больше, чем ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$.

Другие псевдослучайные двоичные последовательности имеют почти оптимальные свойства сжатия импульсов, такие как коды Голда , коды JPL или коды Касами , поскольку их пик автокорреляции очень узок. У этих последовательностей есть и другие интересные свойства, делающие их пригодными GNSS , например, для позиционирования .

Последовательность можно кодировать более чем на двух фазах (многофазное кодирование). Как и в случае с линейным чирпом, сжатие импульса достигается за счет взаимной корреляции.

См. также

• Радар непрерывного действия
• Распространение спектра
• Чип-сжатие

Дальнейшее чтение

• Надав Леванон и Эли Мозесон. Сигналы радара. Уайли. ком, 2004.
• Хао Хэ, Цзянь Ли и Петре Стойка . Проектирование сигналов для активных сенсорных систем: вычислительный подход . Издательство Кембриджского университета, 2012.
• М. Солтаналян. Проектирование сигналов для активного зондирования и связи . Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатано Elanders Sverige AB), 2014 г.
• Соломон В. Голомб и Гуан Гун . Проектирование сигналов для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радаров . Издательство Кембриджского университета, 2005.
• Фульвио Джини, Антонио Де Майо и Ли Паттон, ред. Проектирование и разнообразие форм сигналов для современных радиолокационных систем. Инженерно-технологический институт, 2012.
• Джон Дж. Бенедетто, Иоаннис Константинидис и Муралидхар Рангасвами. « Фазокодированные сигналы и их конструкция ». Журнал обработки сигналов IEEE, 26.1 (2009): 22-31.
• Дюкофф, Майкл Р. и Байрон В. Титджен. «Радар сжатия импульсов». Справочник по радиолокации (2008 г.): 8-3.