Сглаживание

В статистике и обработке изображений сглаживание , набора данных означает создание аппроксимирующей функции которая пытается уловить важные закономерности в данных, исключая при этом шум или другие мелкомасштабные структуры/быстрые явления. При сглаживании точки данных сигнала изменяются, поэтому отдельные точки, расположенные выше соседних точек (предположительно из-за шума), уменьшаются, а точки, расположенные ниже соседних точек, увеличиваются, что приводит к более сглаженному сигналу. Сглаживание может использоваться двумя важными способами, которые могут помочь в анализе данных (1) благодаря возможности извлечь больше информации из данных, если предположение о сглаживании является разумным, и (2) благодаря возможности обеспечить гибкий анализ. и прочный. ^[1] множество различных алгоритмов При сглаживании используется .

Сглаживание можно отличить от родственной и частично пересекающейся концепции подгонки кривой следующими способами:

подгонка кривой часто предполагает использование явной функциональной формы для результата, тогда как непосредственными результатами сглаживания являются «сглаженные» значения без дальнейшего использования функциональной формы, если таковая имеется;
Цель сглаживания — дать общее представление об относительно медленных изменениях значений, при этом мало внимания уделяется точному совпадению значений данных, тогда как подгонка кривой концентрируется на достижении как можно более близкого соответствия.
Методы сглаживания часто имеют связанный с ним параметр настройки, который используется для управления степенью сглаживания. Подбор кривой позволяет откорректировать любое количество параметров функции для получения «наилучшего» соответствия.

Линейные сглаживатели [ править ]

В случае, если сглаженные значения могут быть записаны как линейное преобразование наблюдаемых значений, операция сглаживания называется линейным сглаживателем ; матрица, представляющая преобразование, известна как более гладкая матрица или шляпчатая матрица . ^{[ нужна цитата ]}

Операция применения такого матричного преобразования называется сверткой . Таким образом, матрицу также называют матрицей свертки или ядром свертки . В случае простой серии точек данных (а не многомерного изображения) ядро свертки представляет собой одномерный вектор .

Алгоритмы [ править ]

Одним из наиболее распространенных алгоритмов является « скользящее среднее », которое часто используется для того, чтобы попытаться уловить важные тенденции в повторяющихся статистических исследованиях . В обработке изображений и компьютерном зрении идеи сглаживания используются в масштабного пространства представлениях . Простейшим алгоритмом сглаживания является «прямоугольное» или «невзвешенное сглаживание скользящего среднего». Этот метод заменяет каждую точку сигнала средним значением «m» соседних точек, где «m» — положительное целое число, называемое «гладкой шириной». Обычно m — нечетное число. Треугольное сглаживание похоже на прямоугольное сглаживание, за исключением того, что оно реализует функцию взвешенного сглаживания. ^[2]

Некоторые конкретные типы сглаживания и фильтра с указанием их применения, плюсов и минусов:


Алгоритм	Обзор и использование	Плюсы	Минусы
Аддитивное сглаживание	используется для сглаживания категориальных данных .
Фильтр Баттерворта	Более медленный спад, чем у фильтра Чебышева типа I/типа II или эллиптического фильтра.	Более линейная фазовая характеристика в полосе пропускания , чем могут достичь фильтры Чебышева типа I/типа II и эллиптические фильтры. Разработан для обеспечения частотной характеристики в полосе пропускания. максимально плоской	требует более высокого порядка для реализации конкретной полосы задерживания спецификации
фильтр Чебышева	Имеет более крутой спад и большую в полосе пропускания неравномерность (тип I) или в полосе задерживания (тип II), чем фильтры Баттерворта .	Минимизирует ошибку между идеализированной и фактической характеристикой фильтра во всем диапазоне фильтра.	Содержит пульсации в полосе пропускания .
Цифровой фильтр	Используется в дискретном с дискретным временем сигнале для уменьшения или улучшения определенных аспектов этого сигнала.
Эллиптический фильтр
Экспоненциальное сглаживание	Используется для уменьшения неравномерностей (случайных колебаний) в данных временных рядов, обеспечивая тем самым более четкое представление об истинном поведении ряда. Также предоставляет эффективные средства прогнозирования будущих значений временного ряда (прогнозирование). ^[3]
Фильтр Калмана	Использует серию измерений, наблюдаемых с течением времени, содержащих статистический шум и другие неточности, путем оценки совместного распределения вероятностей по переменным для каждого периода времени.	Оценки неизвестных переменных, которые он производит, обычно более точны, чем оценки, основанные только на одном измерении.
Ядро более гладкое	используется для оценки действительнозначной функции как средневзвешенного значения соседних наблюдаемых данных. наиболее подходит, когда размерность предиктора низкая ( p <3), например, для визуализации данных.	Оцениваемая функция является гладкой, а уровень гладкости задается одним параметром.
Фильтр Колмогорова – Зурбенко	Тип фильтра нижних частот. Использует серию итераций фильтра скользящего среднего длины m , где m — положительное нечетное целое число.	надежный и почти оптимальный хорошо работает в среде с недостающими данными, особенно в многомерном времени и пространстве, где недостающие данные могут вызвать проблемы, возникающие из-за пространственной разреженности каждый из двух параметров имеет четкую интерпретацию, поэтому его могут легко использовать специалисты в разных областях. Программные реализации для временных рядов, продольных и пространственных данных были разработаны в популярном статистическом пакете R , который облегчает использование фильтра KZ и его расширений в различных областях.
Лапласово сглаживание	Алгоритм сглаживания полигональной сетки . ^[4]^[5]
Локальная регрессия , также известная как «лёсс» или «лёсс».	обобщение скользящего среднего и полиномиальной регрессии .	подгонка простых моделей к локализованным подмножествам данных для создания функции, которая описывает детерминированную часть изменения данных, точка за точкой. Одна из главных достопримечательностей этого метода заключается в том, что аналитику данных не требуется указывать глобальную функцию любой формы для подгонки модели к данным, а только для подгонки сегментов данных.	увеличенный объем вычислений. Поскольку LOESS требует больших вычислительных ресурсов, его было бы практически невозможно использовать в эпоху, когда разрабатывалась регрессия наименьших квадратов.
Фильтр нижних частот	Фильтр , пропускающий сигналы с частотой ниже выбранной частоты среза и ослабляющий сигналы с частотами выше выбранной частоты среза. Используется для реализации непрерывного и дискретного времени.
Скользящее среднее	Расчет для анализа точек данных путем создания серии средних значений различных подмножеств полного набора данных. метод сглаживания, используемый для более четкого определения долгосрочных тенденций временного ряда. ^[3] первый элемент скользящего среднего получается путем взятия среднего значения исходного фиксированного подмножества числового ряда обычно используется с данными временных рядов для сглаживания краткосрочных колебаний и выделения долгосрочных тенденций или циклов.	было скорректировано с учетом сезонных или циклических компонентов временного ряда
Алгоритм Рамера – Дугласа – Пойкера	уменьшает кривую, состоящую из сегментов прямой, до аналогичной кривой с меньшим количеством точек.
Сглаживающий фильтр Савицкого – Голея	на основе аппроксимации полиномов к сегментам данных методом наименьших квадратов
Сглаживающий сплайн
Метод растянутой сетки	численный метод поиска приближенных решений различных математических и инженерных задач, которые могут быть связаны с поведением упругой сетки. метеорологи используют метод растянутой сетки для прогнозирования погоды Инженеры используют метод натянутой сетки для проектирования палаток и других натяжных конструкций .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Симонофф, Джеффри С. (1998) Методы сглаживания в статистике , 2-е издание. Спрингер ISBN 978-0387947167 ^{[ нужна страница ]}
^ О'Хейвер, Т. (январь 2012 г.). «Сглаживание» . terpconnect.umd.edu .
^ Перейти обратно: ^а ^б Истон, виджей; И Макколл, Дж. Х. (1997) «Временные ряды» , Статистический словарь STEPS.
^ Херрманн, Леонард Р. (1976), «Схема создания изопараметрической лапласовской сетки» , Журнал отдела инженерной механики , 102 (5): 749–756, doi : 10.1061/JMCEA3.0002158 .
^ Соркин О., Коэн-Ор Д., Липман Ю., Алекса М. , Рёссль К., Зайдель Х.-П. (2004). «Редактирование лапласовой поверхности» . Материалы симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 г. по геометрической обработке . ПГП '04. Ницца, Франция: ACM. стр. 175–184. дои : 10.1145/1057432.1057456 . ISBN 3-905673-13-4 . S2CID 1980978 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Дальнейшее чтение [ править ]

Хасти, Т.Дж. и Тибширани, Р.Дж. (1990), Обобщенные аддитивные модели , Нью-Йорк: Чепмен и Холл.

[1] Симонофф, Джеффри С. (1998) Методы сглаживания в статистике , 2-е издание. Спрингер ISBN 978-0387947167 ^{[ нужна страница ]}

[2] О'Хейвер, Т. (январь 2012 г.). «Сглаживание» . terpconnect.umd.edu .

[EM-3] Перейти обратно: ^а ^б Истон, виджей; И Макколл, Дж. Х. (1997) «Временные ряды» , Статистический словарь STEPS.

[4] Херрманн, Леонард Р. (1976), «Схема создания изопараметрической лапласовской сетки» , Журнал отдела инженерной механики , 102 (5): 749–756, doi : 10.1061/JMCEA3.0002158 .

[5] Соркин О., Коэн-Ор Д., Липман Ю., Алекса М. , Рёссль К., Зайдель Х.-П. (2004). «Редактирование лапласовой поверхности» . Материалы симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 г. по геометрической обработке . ПГП '04. Ницца, Франция: ACM. стр. 175–184. дои : 10.1145/1057432.1057456 . ISBN 3-905673-13-4 . S2CID 1980978 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]